河南省南阳市镇平县2023-2024学年下学期九年级开学摸底考试数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市镇平县2023-2024学年下学期九年级开学摸底考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，同类二次根式．将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案．
【详解】解：因为，，，，
所以与是同类二次根式，
故选：B．
2. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（ ）
A. 12个B. 15个C. 18个D. 20个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴估计口袋中白球大约有15个．
故选：B
3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，整理方程得到一般形式，计算根的判别式即可得到答案．
【详解】解：整理得，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A
4. 将一副三角尺按如图方式叠放在一起，边与相交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．由直角三角形的性质可得，，，，可证，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：，，，
，，，，
，
，
故选：C．
5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到相同颜色的棋子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果有5种，
两次摸到相同颜色的棋子的概率为．
故选：D．
6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：D．
7. 二次函数的图象如图所示，无论x为何值时，的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据函数图象，结合二次函数与一元二次方程的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为抛物线开口向上，
所以．
又因为抛物线与轴没有交点，
所以．
故选：C．
8. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求弧长，圆锥的侧面展开图；设扇形的半径为r，利用圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，即可求解．
【详解】解：设扇形的半径为r，
由题意得：，
解得：；
故选：B．
9. 如图，在中，，，．是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形，平行线的性质，角平分线定义．由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，得到，令，得到，判定，推出，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，得到，求出，得到，由平行线分线段成比例定理推出，即可求出．
【详解】解：，
，
平分时，
，
，
，
是的中点，
，
令，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与系数的关系．根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
，
，
，
当，时，直线经过第一、二、三象限，
当，时，直线经过第二、三、四象限，
综上，直线一定经过二、三象限．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______．
【答案】答案不唯一，例如：
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知，且过点，然后问题可求解．
【详解】解：由抛物线开口向下可知，且与y轴交于点，因此符合条件的抛物线表达式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
12. 《水浒传》是中学生必读名著之一．王林将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片（除图案和文字不同外，其他完全相同）．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求简单事件的概率．根据画树状图法即可求解．
【详解】解：将四张卡片从左到右依次记作，根据题意，画树状图如下：

由树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的结果有4种，故（抽取的卡片人物画像与绰号完全对应）．
故答案为：．
13. 如图，中，弦，垂足为点，连接，若，，则的值为_____．

【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．先根据垂径定理得出的长，再根据勾股定理得到，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：弦，，，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为______.
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．依据题意，设根据矩形的周长公式得到，从而根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】解：设，
四边形周长．
当时，四边形周长有最大值，最大值为16．
故答案为16．
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。
连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，
由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时．
【详解】解：连接，如图：

将绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为的中点，
，
，为中点，
，
在中，，
当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：

的最小值为．
故答案：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）0；（2），．
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、完全平方公式、二次根式的性质，进行计算即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
本题主要考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、特殊角的三角函数值、完全平方公式、二次根式的性质，是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
解：，
解得：，．
17. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若与相切，求的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可证明；
（2）由切线的性质得出，由，得出是等腰直角三角形，即可求出；
（3）利用尺规作图，作的平分线交于点，则点即是劣弧的中点．
【小问1详解】
证明：是直径，
，
．
，
；
【小问2详解】
解：与相切，为直径，
，
又，
是等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
解：如图所示：
作的平分线交于点，则点即是劣弧的中点．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，尺规作图等知识．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，顶点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图中作出该函数的图象并结合图象回答：
①该抛物线的对称轴为直线_______；
②该抛物线的最大值为_______．
（3）①若，则______；
②当时，x取值范围是______；
③方程的根是_____．
【答案】（1）
（2）图形见解析，①，②4
（3）①0或2；②；③，
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程根的关系，图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）将，，代入，可得三元一次方程组，解方程组，即可得出函数表达式；
（2）经过，，，，画出函数图象，即得所求图象；再根据图象，即可得到①，②答案；
（3）①若，则，求解方程即得答案；
②根据抛物线与x轴的交点坐标与一元二次不等式的关系，即得答案；
③将方程变形为，再根据抛物线与x轴的交点与方程的根的关系，即可求得答案．
【小问1详解】
将，，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，
抛物线的顶点为，
令，则，
，
经过，，，，画出函数图象如图所示：
由图可知，①该抛物线的对称轴为直线；
故答案为：．
②该抛物线的最大值为4；
故答案为：4．
【小问3详解】
①若，则，
解得，；
故答案为：0或2．
②抛物线与x轴的交点为，，
方程的根为，，
，
抛物线开口向下，
当时，x的取值范围是；
故答案为：．
③，
，
整理得，
由题意，抛物线与x轴的交点为，，
方程的根为，，
即方程的根是，．
故答案为：，．
19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为14米．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解．
【详解】解：，，
，
，
即，
解得，
，，，
，
四边形是矩形，
，
（米）．
答：旗杆的高度为14米．
20. 小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用：
（1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式；
（2）令，求出x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知抛物线顶点为，
可设解析式为，过点，即，
解得．
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
令，
．
解得或（舍去）．
花坛半径至少为．
21. 如图，在中，，，的三条角平分线交于点，过作的垂线分别交、于点、．
（1）直接写出的度数为_______；
（2）写出图中的一对相似三角形并进行证明（全等三角形除外）；
（3）若，，请直接写出的长为______．
【答案】（1）
（2）∽，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平分，平分推出，，，然后根据三角形内角和推出，代换即可得到，根据的度数即可求出；
（2）根据得到，根据平分求出的度数，即可求出的度数，推出，根据平分推出，即可判定；
（3）根据得到，根据，和比例的基本性质即可求出的长．
【小问1详解】
解：平分，平分，
，，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：；
【小问2详解】
解：（答案不唯一）．
证明：，
，
平分，
，
，
由（1）知，
，
平分，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
又，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形相似综合题，主要考查三角形角平分线定义，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，深入理解题意是解决问题的关键．
22. 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元?
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）①该品牌头盔的实际售价应定为50元；②65
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）①设该品牌头盔的实际售价为a元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可求出答案．
②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意可得，，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：①设该品牌头盔的实际售价应定为a元，
由题意得，
整理得，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则
，
，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为12250．
∴该品牌头盔每个的售价为65元．
故答案为：65
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决增长率问题和利润问题，以及根据二次函数的性质求最大值问题．找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
23. 【特例感知】
（1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）通过证明，可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，即可求解．
【详解】解：（1）和是等边三角形，
，，，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
和是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
；
（3）如图，过点作，且，连接，，
，，
等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，解答本题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大．黑
白
白
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，白）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，白）