贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测卷（三）数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测卷（三）数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 中，角所对的边分别为，若，则，08斛B等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若（，为虚数单位），则的值为（ ）
A. 1B. C. 5D. 2
2. 设，，，则三者的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：
①若，则；
②若，则；
③若是两条异面直线，且，则.
其中正确结论的序号为
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③
5. 对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）
A. 60.08斛B. 171.24斛
C. 61.73斛D. 185.19斛
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ）
A. 图象关于直线对称B. 图象关于点对称
C. 函数在区间内是增函数D. 是偶函数
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上是单调递增
B. 函数在上是单调递增
C. 当时，函数有最大值
D. 当或时，函数有最小值
11. 在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量，是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 若，，，则只有一解
D. 已知平面向量，，满足，，则为等边三角形
12. 定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确是（ ）
A. 的图象关于（1，0）对称B. 的图象关于对称
C. 4为的周期D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围______．
14. 已知，，则______.
15. 已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
16. 已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，，．
（1）若，求值；
（2）若，求的值．
18. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且．
（1）求角B的值；
（2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长．
19. 党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）
（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
20. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
21. 如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求：
（1）正四棱锥S-ABCD的表面积；
（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求值；若不存在，试说明理由.
22. 对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.
（1）当时，判断函数在上是否“友好”；
（2）若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.贵阳一中2023级高一年级教学质量监测卷（三）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若（，为虚数单位），则的值为（ ）
A. 1B. C. 5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2. 设，，，则三者的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题可借助于指数函数和对数函数的单调性以及中间量比较大小.
【详解】，
，
，
.
故选：A.
3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
4. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：
①若，则；
②若，则；
③若是两条异面直线，且，则.
其中正确结论的序号为
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，若，，则与平行或异面，故①错误；
若，则与可能平行也可能相交，故②错误；
若，是两条异面直线，且，则，故③正确.
故正确的结论只有③，故选D.
【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
5. 对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：D
6. 中，角所对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案.
【详解】，则，
即，
因为，所以，所以，
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7. 《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）
A. 60.08斛B. 171.24斛
C. 61.73斛D. 185.19斛
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．
【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺，
则底面周长为尺，解得尺，
又高为尺，
所以圆锥的体积为（立方尺）；
又（斛），
所以估算堆放的稻谷约有（斛）．
故选：C．
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ）
A. 图象关于直线对称B. 图象关于点对称
C. 函数在区间内是增函数D. 是偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间内是增函数，C对；
对于D选项，为奇函数，D错.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 函数在上是单调递增
B. 函数在上是单调递增
C. 当时，函数有最大值
D. 当或时，函数有最小值
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．
【详解】，作出函数的图象如下：
由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增，故A错误，B正确；
由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故C错误，D正确；
故选：BD．
11. 在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量，是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 若，，，则只有一解
D. 已知平面向量，，满足，，则为等边三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，利用正弦定理求出即可判断，对D，首先可得，根据可得为的角平分线即可判断.
【详解】对于A，若，则，
即，则，且有公共点，故共线，故A正确；
对于B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；
对于C，由正弦定理，即，则，
又，所以，则，故只有一解，故C正确；
对于D，，，即，所以，
因为表示与同向单位向量，表示与同向的单位向量，
则为的角平分线上的向量，又，
所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故D错误.
故选：AC
12. 定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于（1，0）对称B. 的图象关于对称
C. 4为的周期D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为为偶函数，则，可知函数关于对称，
，把换成可得，
两式相加可得，关于对称，
又关于轴对称，则可得，，
可知4为的周期，所以ABC都正确．
令，，，，
，D选项错误.
故选:ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】函数在区间上为增函数，
若函数在区间上有零点，则，，
即，解之得
故答案为：
14. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】因为，，
所以
.
故答案为：
15. 已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，则为外接圆的圆心，得到平面，结合三棱锥的体积求得，结合球的截面圆的性质，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】因为，取的中点，则为外接圆的圆心，
所以平面，
因为，，，所以，
所以，
又由三棱锥的体积为，所以，解得，
所以球的半径为，
故球的表面积.
故答案为：.
16. 已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.

【答案】
【解析】
【分析】由，推出，从而知，再由，求得的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．
【详解】由图知，所以，
因为，所以，即，
由，知，
因为在上恰有一个最大值和一个最小值，
所以，解得．
故答案为：．
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值；
（2）根据向量垂直的坐标表示得出的值．
【小问1详解】
由得，∴，∴
【小问2详解】
由已知，
又，∴，解得
18. 在△ABC中，角的对边分别为，若，且．
（1）求角B的值；
（2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案;
（2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案.
【小问1详解】
因为
由正弦定理得
所以，或
又因为，则，故
故答案为：
【小问2详解】
由（1）知，又，所以 ，则，所以.
又，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：
19. 党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）
（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及年利润年销售收入固定成本变动成本即可求解；
（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．
小问1详解】
由题可知，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以当时，取得最大值为；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
因为，
所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．
20. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
21. 如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求：
（1）正四棱锥S-ABCD的表面积；
（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积；
（2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.
【小问1详解】
正四棱锥S-ABCD中，，则侧面的高，
所以正四棱锥S-ABCD的表面积.
【小问2详解】
在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足，
理由如下：
取SD中点为Q，因为，则，
过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE.
在中有，平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC，
由，则，平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC，而，故面面PAC，
又面，则平面PAC，此时.
22. 对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.
（1）当时，判断函数在上是否“友好”；
（2）若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上“友好”
（2）
【解析】
【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断；
（2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
因在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以， ，
所以，
即，有，
所以当时，函数在上是 “友好”的.
【小问2详解】
依题意可得在上单调递减，
则，，
则有，
即，
即，可得，即，
令，因为，则且，
则，
令，，
令，
令任意的且，
则，
即，所以函数在上单调递减，
同理可得在上单调递增，
又，，
当或时，取最大值，此时，
于是当或时，取最大值，
依题意，
又对于任意的，恒成立，即恒成立，
因为，所以，
即，所以，此时，
综上可得的取值范围是.