高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（八）概率与函数、数列的交汇问题学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版素能培优（八）概率与函数、数列的交汇问题学案（Word版附解析），共8页。

考情分析：概率是历年高考的必考点之一，其中概率中的函数建模问题、借助条件概率建立递推关系问题等等都是高考命题的核心点，有时出现在试卷的压轴位置，难度较大，可以较好地考查考生对知识点的综合运用能力．
考向一 概率中的函数问题
例1 (2024·烟台模拟)某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位：元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润．
(1)求X的分布列；
(2)当n＝19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断n＝17与n＝18应选择哪一个．
解 (1)设甲市场需求量为x的概率为P(x)，乙市场需求量为y的概率为P(y)，则由题意得
P(x＝8)＝0.3，P(x＝9)＝0.4，P(x＝10)＝0.3；
P(y＝8)＝0.2，P(y＝9)＝0.5，P(y＝10)＝0.3.
由题意得，X的所有可能取值为16，17，18，19，20，且
P(X＝16)＝P(x＝8，y＝8)＝P(x＝8)P(y＝8)＝0.3×0.2＝0.06，
P(X＝17)＝P(x＝8，y＝9)＋P(x＝9，y＝8)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23，
P(X＝18)＝P(x＝8，y＝10)＋P(x＝10，y＝8)＋P(x＝9，y＝9)＝0.3×0.3＋0.3×0.2＋0.4×0.5＝0.35，
P(X＝19)＝P(x＝9，y＝10)＋P(x＝10，y＝9)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27，
P(X＝20)＝P(x＝10，y＝10)＝0.3×0.3＝0.09.
所以X的分布列为
(2)由题意得，当X≥19时，T＝500×19＝9500，
当X<19时，T＝500X－(19－X)×100＝600X－1900，
所以T＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9500，X≥19，,600X－1900，X<19.))
设事件A＝“销售利润不少于8900元”，则
当X≥19时，T＝9500>8900，
当X<19时，T＝600X－1900≥8900，解得X≥18.
由(1)中X的分布列可知，P(A)＝P(X≥18)＝0.35＋0.27＋0.09＝0.71.
(3)由(1)知，P(X＝16)＝0.06，P(X＝17)＝0.23.
当n＝17时，T的分布列为
所以E(T)＝[500×16－(17－16)×100]×0.06＋500×17×0.94＝8464；
当n＝18时，T的分布列为
所以E(T)＝[500×16－(18－16)×100]×0.06＋[500×17－(18－17)×100]×0.23＋500×18×0.71＝8790.
因为8790>8464，所以应选n＝18.
概率统计中的最值问题的求解思路
(2023·东莞模拟)现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹击中目标飞行物的概率不低于0.936；
(2)若p＋q＝1，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
解 (1)因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连续发射三发B型号炮弹，用X表示击中目标飞行物的炮弹数，则X～B(3，q)，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \\al(0,3)q0(1－q)3≥0.963，
即1－(1－q)3≥0.936，则(1－q)3≤0.064＝0.43，即1－q≤0.4，则q≥0.6，
又0所以当0.6≤q<1时，才能使得至少有一发炮弹击中目标飞行物的概率不低于0.936.
(2)在一次训练中，连续发射三发A型号炮弹，用Y表示击中目标飞行物的炮弹数，则Y～B(3，p)，记事件C为“选用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件D为“选用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则P(C)＝0.6×P(Y＝1)＋P(Y≥2)
＝0.6×Ceq \\al(1,3)p(1－p)2＋Ceq \\al(2,3)p2(1－p)＋Ceq \\al(3,3)p3
＝1.8p(1－p)2＋3p2(1－p)＋p3
＝1.8p(1－2p＋p2)＋3p2－3p3＋p3
＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p，
P(D)＝0.4P(X＝1)＋0.8P(X＝2)＋P(X＝3)
＝0.4Ceq \\al(1,3)q(1－q)2＋0.8Ceq \\al(2,3)q2(1－q)＋Ceq \\al(3,3)q3
＝1.2q(1－q)2＋2.4q2(1－q)＋q3
＝1.2q(1－2q＋q2)＋2.4q2－2.4q3＋q3
＝－0.2q3＋1.2q，
因为p＋q＝1，所以q＝1－p，
则P(C)－P(D)＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p＋0.2(1－p)3－1.2(1－p)
＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p＋0.2(1－3p＋3p2－p3)－1.2＋1.2p
＝－0.4p3＋2.4p－1.
令f(p)＝－0.4p3＋2.4p－1(0则f′(p)＝－1.2p2＋2.4，
显然，当00恒成立，
所以f(p)在(0，0.4]上单调递增，
又f(0.4)＝－0.44＋2.4×0.4－1＝－0.0256＋0.96－1<0，
则f(p)≤f(0.4)<0，
故P(C)－P(D)<0，即P(C)所以选用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大．
考向二 概率中的数列问题
例2 (2023·杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt)．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元；每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A(A∈N*，A当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值；
(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d；
(3)当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当B→＋∞时，P(A)的统计含义．
解 (1)当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P(0)＝1.
当n＝B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)＝0.
(2)记事件M：“赌徒有n元，最后输光”，事件N：“赌徒有n元，下一场赢”，
P(M)＝P(N)P(M|N)＋P(eq \(N,\s\up6(－)))P(M|eq \(N,\s\up6(－)))，
即P(n)＝eq \f(1,2)P(n－1)＋eq \f(1,2)P(n＋1)，
所以P(n)－P(n－1)＝P(n＋1)－P(n)，
所以{P(n)}是一个等差数列，
设P(n)－P(n－1)＝d，
则P(n－1)－P(n－2)＝d，
…，
P(1)－P(0)＝d，
累加得P(n)－P(0)＝nd，
故P(B)－P(0)＝Bd，得d＝－eq \f(1,B).
(3)A＝100，由P(n)－P(0)＝nd，得P(A)－P(0)＝Ad，即P(A)＝1－eq \f(A,B)，
当B＝200时，P(A)＝50%，
当B＝1000时，P(A)＝90%，
当B→＋∞时，P(A)→1，
因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会有接近100%的概率输光．
本题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清题意，明确P(n)＝eq \f(1,2)P(n－1)＋eq \f(1,2)P(n＋1)，即可求解．
(2023·广州一模)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为eq \f(3,4)，各次答题结果互不影响．
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．
①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)；
②若E(Xi)>100，求i的最小值．
解 (1)“甲前3次答题得分之和为40分”的事件是“甲前3次答题中只答对一次”的事件，记为A，
所以P(A)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,64).
(2)①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，则E(X1)＝20×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(35,2)，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为eq \f(3,4)×eq \f(3,4)，eq \f(1,4)×eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，
则E(X2)＝40×eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋20×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(115,4)，显然E(X2)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20×\f(3,4)＋10×\f(1,4)))×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)E(X1)＋eq \f(5,2)，i∈N*，i≥2，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，
因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(1,4)，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×eq \f(3,4)＋10×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)E(Xi－1)＋eq \f(5,2)，
所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是E(Xi)＝eq \f(3,2)E(Xi－1)＋eq \f(5,2)，i∈N*，i≥2，且E(X1)＝eq \f(35,2).
②由①知，E(X1)＝eq \f(35,2)，当i∈N*，i≥2时，
E(Xi)＋5＝eq \f(3,2)[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝eq \f(45,2)，
因此数列{E(Xi)＋5}是以eq \f(45,2)为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列，
所以E(Xi)＋5＝eq \f(45,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(i－1)＝15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(i)，
于是E(Xi)＝15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(i)－5，由15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(i)－5>100，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(i)>7，
显然数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(i)))是递增数列，
而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(81,16)<7，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(5)＝eq \f(243,32)>7，则有正整数imin＝5，
所以i的最小值是5.考点
难度
2023
Ⅱ卷T19
频率分布直方图、函数
难
Ⅰ卷T21
分布列、期望、数列
难
2021
Ⅱ卷T21
分布列、期望、函数
难
X
16
17
18
19
20
P
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
X
X＝16
X≥17
T
500×16－(17－16)×100
500×17
P
0.06
0.94
X
X＝16
X＝17
X≥18
T
500×16－(18－16)×100
500×17－(18－17)×100
500×18
P
0.06
0.23
0.71
建模
建立函数模型或概率模型
求最值
方法一：借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值；
方法二：利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解
检验
反思回顾，注意实际问题的实际意义