高考数学科学创新复习方案提升版第54讲抛物线（二）学案（Word版附解析）

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直线与抛物线的位置关系
已知直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p>0)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝kx＋m，))得k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)直线l与抛物线相eq \x(\s\up1(01))切：k≠0，Δ＝0；
(2)直线l与抛物线相eq \x(\s\up1(02))交：k≠0，Δ>0或k＝0；
(3)直线l与抛物线相eq \x(\s\up1(03))离：k≠0，Δ<0.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1－csα)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1＋csα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)为定值eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径为过焦点且与对称轴垂直的弦，其长为2p.
1．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行或重合，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A.
2．(人教A选择性必修第一册习题3.3 T12改编)直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
答案 A
解析 直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)，∵12<4×2，∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部，∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交．故选A.
3．(2023·河南联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
解析 设点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2xM＝4.由过抛物线的焦点的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6.故选C.
4．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点(A在第一象限)，交抛物线C的准线于点D，若eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))，|AF|＝4，则下列结论正确的是( )
A．p＝2
B．直线l的倾斜角为eq \f(π,3)
C．|BF|＝2
D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切
答案 ABD
解析 过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1.由抛物线定义知|AA1|＝|AF|＝eq \f(1,2)|AD|，所以在Rt△A1AD中，知∠A1AD＝eq \f(π,3)，故直线l的倾斜角θ为eq \f(π,3)，|AF|＝eq \f(p,1－csθ)＝2p＝4，p＝2，|BF|＝eq \f(p,1＋csθ)＝eq \f(4,3)，因此A，B正确，C错误；过AB的中点E作准线的垂线EE1(E1为垂足)，由梯形的中位线可知|EE1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq \f(|AF|＋|BF|,2)＝eq \f(|AB|,2)，所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以D正确．故选ABD.
5．(人教B选择性必修第一册习题2－8B T4改编)已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
答案 0或1
解析 直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.
例1 (1)(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形PAB”，下列结论正确的是( )
A．P(eq \r(3)，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
答案 BCD
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝8y，,y＝x＋2，))消去y可得x2－8x－16＝0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，y＝eq \f(x2,8)，y′＝eq \f(x,4)，kPA＝eq \f(x1,4)，PA：y＝eq \f(x1,4)(x－x1)＋eq \f(xeq \\al(2,1),8)＝eq \f(x1,4)x－eq \f(xeq \\al(2,1),8)，PB：y＝eq \f(x2,4)x－eq \f(xeq \\al(2,2),8)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,4)x－\f(xeq \\al(2,1),8)，,y＝\f(x2,4)x－\f(xeq \\al(2,2),8)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)＝4，,y＝\f(x1x2,8)＝－2，))∴P(4，－2)，A错误；xC＝eq \f(x1＋x2,2)＝4，∴PC⊥x轴，B正确；kPA·kPB＝eq \f(x1x2,16)＝－1，∴PA⊥PB，C正确；kPF＝eq \f(－2－2,4－0)＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确．故选BCD.
(2)已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，则实数a的值为________．
答案 0或－1或－eq \f(4,5)
解析 联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝（a＋1）x－1，,y2＝ax.))
①当a＝0时，此方程组恰有一组解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0.))
②当a≠0时，消去x，得eq \f(a＋1,a)y2－y－1＝0.
a．若a＝－1，方程组恰有一组解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1；))
b．若a≠－1，令Δ＝0，得1＋eq \f(4（a＋1）,a)＝0，解得a＝－eq \f(4,5)，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－eq \f(4,5).
(1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切．
(2)在讨论时应考虑全面，不要忽略二次项的系数为零的情况．
1.过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为________．
答案 y＝2x－4
解析 解法一：设切线方程为y－4＝k(x－4)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－4＝k（x－4），,x2＝4y))⇒x2＝4(kx－4k＋4)⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0，∴k＝2.故切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4.
解法二：由x2＝4y得y＝eq \f(x2,4)，∴y′＝eq \f(x,2).∴y′|x＝4＝eq \f(4,2)＝2.∴切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4.
2．过点P(2，－1)作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 由x2＝2y，得y＝eq \f(x2,2)，所以y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两条切线的斜率分别为k1＝x1，k2＝x2，两条切线的方程分别为y－y1＝x1(x－x1)，y－y2＝x2(x－x2)，又点A处的切线过点P(2，－1)，所以－1－y1＝x1(2－x1)＝2x1－xeq \\al(2,1)＝2x1－2y1，即2x1－y1＋1＝0，同理，2x2－y2＋1＝0，所以直线AB的方程为2x－y＋1＝0.
例2 (1)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案 AC
解析 对于A，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3)，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝eq \f(1,2)(d1＋d2)＝eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(1,2)|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－eq \r(3)×(3－1)＝－2eq \r(3)，y2＝－eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1))＝eq \f(2\r(3),3)，所以|OM|＝eq \r(32＋（－2\r(3)）2)＝eq \r(21)，|ON|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(13),3)，所以△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.
(2)(2023·湛江一模)已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆x2＋(y－2)2＝4交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则|AD|·|BE|＝( )
A．1 B．4
C．8 D．16
答案 B
解析 由题意可知F(0，2)，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＝8y，))得x2－8kx－16＝0，故x1x2＝－16.又y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),8)，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),8)，所以y1y2＝eq \f(（x1x2）2,64)＝4.圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为F(0，2)，半径r＝2，所以|AD|＝|AF|－r＝|AF|－2，|BE|＝|BF|－r＝|BF|－2.又|AF|＝y1＋2，|BF|＝y2＋2，所以|AD|＝y1＋2－2＝y1，|BE|＝y2＋2－2＝y2，所以|AD|·|BE|＝y1y2＝4.故选B.
(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点：
①设抛物线y2＝2px(p>0)上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；
②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，故满足yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2；
③利用yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．
1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 易知抛物线中p＝eq \f(3,2)，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝eq \f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝eq \f(p,2)sin30°＝eq \f(3,8)，所以△OAB的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
2．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误．
例3 已知抛物线C的方程为y2＝4x，直线l过定点M(0，1)，斜率为k.
(1)当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
(2)若直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P，若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求直线l的方程．
解 (1)由于直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝kx＋1，
代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)
直线l与抛物线C只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根，
①当k＝0时，y＝1，符合题意；
②当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1.
综上可得，当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，0)，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，
∴(t－x1，－y1)＝3(x2－t，y2)，
∴y1＝－3y2，①
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得ky2－4y＋4＝0(k≠0)．
∴y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝eq \f(4,k).②
把①代入②，可得－2y2＝eq \f(4,k)，－3yeq \\al(2,2)＝eq \f(4,k)，
解得k＝－3，此时Δ>0.
∴直线l的方程为y＝－3x＋1.
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
已知点P(4，4)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，直线l：y＝kx＋2与抛物线C有两个不同的交点．
(1)求k的取值范围；
(2)设直线l与抛物线C的交点分别为A，B，过点A作与C的准线平行的直线，分别与直线OP，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：|AM|＝|MN|.
解 (1)由抛物线C：y2＝2px过点P(4，4)，可得42＝2p×4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝4x，))得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.
由题意k≠0，且Δ＝(4k－4)2－16k2＝16－32k>0，即k因此k的取值范围是(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2均不为0.
由(1)可知x1＋x2＝eq \f(4－4k,k2)，①
x1x2＝eq \f(4,k2).②
由题意可得M，N的横坐标相等且同为x1，
因为点P的坐标为(4，4)，所以直线OP的方程为y＝x，点M的坐标为(x1，x1)．
直线OB的方程为y＝eq \f(y2,x2)x，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(x1y2,x2))).
若要证明|AM|＝|MN|，只需证2yM＝yA＋yN，即证eq \f(x1y2,x2)＋y1＝2x1，
即证x1y2＋x2y1＝2x1x2，
即证(kx2＋2)x1＋(kx1＋2)x2＝2x1x2，
即证(k－1)x1x2＋(x1＋x2)＝0，③
将①②代入③，得eq \f(4（k－1）,k2)＋eq \f(4－4k,k2)＝0，此等式显然成立．
所以2yM＝yA＋yN恒成立，故|AM|＝|MN|.
课时作业
一、单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值一定是( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝eq \f(p,2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，则eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，则x1x2＝eq \f(p2,4).∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，∴yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2＝p4.又y1y2<0，∴y1y2＝－p2，∴eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.综上，eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.故选A.
2．(2023·成都模拟)已知过抛物线C：y＝eq \f(x2,8)的焦点F，且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝( )
A．32 B.eq \f(32,3)
C.eq \f(28,3) D．8
答案 A
解析 因为抛物线C：x2＝8y，所以F(0，2)，p＝4，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋2，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x＋2，,x2＝8y，))得x2－8eq \r(3)x－16＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8eq \r(3)，所以y1＋y2＝eq \r(3)(x1＋x2)＋4＝28，由抛物线的定义可知|AB|＝y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)＝y1＋y2＋p＝28＋4＝32.故选A.
3．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ∵x2＝2y，∴y＝eq \f(x2,2)，∴y′＝x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，∴直线l的方程为y＝eq \f(1,2)，∴|AF|＝|BF|＝1.故选A.
4．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A.eq \f(71,12)＋eq \r(26) B．9＋eq \r(10)
C.eq \f(83,12)＋eq \r(26) D．9＋eq \r(26)
答案 D
解析 对于y2＝4x，令y＝1，得x＝eq \f(1,4)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得xAxB＝1，所以xB＝eq \f(1,xA)＝4，故|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(25,4).将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，故|MB|＝eq \r(（4－3）2＋（－4－1）2)＝eq \r(26).故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|MB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,4)))＋eq \f(25,4)＋eq \r(26)＝9＋eq \r(26).故选D.
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若|BC|＝2|BN|，则△AFM的面积为( )
A．4eq \r(3) B．4
C．2eq \r(3) D．2
答案 A
解析 解法一：由题意可知，p＝2，则F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1，则|BF|＝|BN|，|AF|＝|AM|，因为|BC|＝2|BN|，所以|BC|＝2|BF|，所以eq \f(|BC|,|CF|)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(|BN|,p)＝eq \f(2,3)，所以|BN|＝|BF|＝eq \f(4,3)，|BC|＝eq \f(8,3)，所以|CF|＝4.因为eq \f(p,|AM|)＝eq \f(|CF|,|CA|)，所以eq \f(2,|AM|)＝eq \f(|CF|,|CF|＋|AF|)＝eq \f(4,4＋|AF|)＝eq \f(4,4＋|AM|)，解得|AM|＝4，所以|AF|＝4，点F到AM的距离为eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，所以S△AFM＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)＝4eq \r(3).故选A.
解法二：因为|BC|＝2|BN|，所以∠BCN＝30°，即∠CAM＝60°.又|AM|＝|AF|，所以△AFM为等边三角形．易得|AM|＝4，所以S△AFM＝eq \f(\r(3),4)×42＝4eq \r(3).故选A.
6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
答案 A
解析 由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－eq \f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝k（x－1），))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq \f(4,k2)≥8＋2eq \r(16)＝16.当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号．故|AB|＋|DE|的最小值为16.
7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E交于A，B两点，与E的准线交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比eq \f(S△BCF,S△ACF)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,7)
答案 C
解析 如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知|BF|＝|BD|＝3，设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m>0，则y1>0，y2<0，所以x2＋2＝3，解得x2＝1，则yeq \\al(2,2)＝8x2＝8，解得y2＝－2eq \r(2)，则B(1，－2eq \r(2))，所以－2eq \r(2)m＋4＝1，解得m＝eq \f(3\r(2),4)，则直线AB的方程为x＝eq \f(3\r(2),4)y＋4，所以当x＝－2时，即eq \f(3\r(2),4)y＋4＝－2，解得y＝－4eq \r(2)，则C(－2，－4eq \r(2))，联立x＝my＋4与y2＝8x，得y2－8my－32＝0，则y1y2＝－32，所以y1＝8eq \r(2)，所以eq \f(S△BCF,S△ACF)＝eq \f(|BC|,|AC|)＝eq \f(y2－yC,y1－yC)＝eq \f(2\r(2),12\r(2))＝eq \f(1,6).故选C.
8．已知抛物线y2＝2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
答案 B
解析 因为点A(2，2)在抛物线y2＝2px上，故22＝2p×2，即p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.易知直线AB，AC的斜率都存在，设过点A(2，2)与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，则圆心(2，0)到切线的距离d＝eq \f(|2k－0＋2－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \r(3).如图，直线AB：y－2＝eq \r(3)(x－2)，直线AC：y－2＝－eq \r(3)(x－2)．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－2＝\r(3)（x－2），,y2＝2x，))得3x2＋(4eq \r(3)－14)x＋16－8eq \r(3)＝0，故xAxB＝eq \f(16－8\r(3),3)，由xA＝2得xB＝eq \f(8－4\r(3),3)，故yB＝eq \f(2\r(3)－6,3).联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－2＝－\r(3)（x－2），,y2＝2x，))得3x2－(4eq \r(3)＋14)x＋16＋8eq \r(3)＝0，故xAxC＝eq \f(16＋8\r(3),3)，由xA＝2得xC＝eq \f(8＋4\r(3),3)，故yC＝eq \f(－2\r(3)－6,3)，故yB＋yC＝eq \f(2\r(3)－6,3)＋eq \f(－2\r(3)－6,3)＝－4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率kBC＝eq \f(yB－yC,xB－xC)＝eq \f(yB－yC,\f(1,2)yeq \\al(2,B)－\f(1,2)yeq \\al(2,C))＝eq \f(2,yB＋yC)＝eq \f(2,－4)＝－eq \f(1,2)，故直线BC的方程为y－eq \f(2\r(3)－6,3)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8－4\r(3),3)))，即3x＋6y＋4＝0.故选B.
二、多项选择题
9．(2023·揭阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点(O为坐标原点)，则( )
A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切
B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条
C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0
D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有两条
答案 AC
解析 由抛物线C：y2＝4x可知，C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.对于A，由抛物线的定义可知，以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切，故A正确；对于B，当过点P(－2，1)的直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线无公共点；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点P(－2，1)的直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线有且只有一个公共点，当k≠0时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x＋2）＋1，,y2＝4x，))整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化简得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq \f(1,2)，所以与抛物线有且只有一个公共点的直线l有三条，故B错误；对于C，线段PF的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，又kPF＝eq \f(1－0,－2－1)＝－eq \f(1,3)，所以线段PF的垂直平分线方程为y－eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即3x－y＋2＝0，故C正确；对于D，因为|AB|＝4＝2p，此时线段AB为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，故D错误．故选AC.
10．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(1,2)))在抛物线上，则( )
A．p＝1
B．当AB⊥y轴时，|AB|＝4
C.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值1
D．若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±eq \f(\r(2),4)
答案 BCD
解析 对于A，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(1,2)))的坐标代入抛物线方程，可得p＝2，故A错误；对于B，焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，A，B两点的坐标分别为(2，1)，(－2，1)，可得|AB|＝4，故B正确；对于C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋1，))消去y后整理得x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝eq \f(xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2),16)＝1，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,y1＋1)＋eq \f(1,y2＋1)＝eq \f(y1＋y2＋2,y1y2＋y1＋y2＋1)＝eq \f(y1＋y2＋2,y1＋y2＋2)＝1，故C正确；对于D，有(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，可得2x2＝－x1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝4k，,x1x2＝－4，,2x2＝－x1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＝4k，,－2xeq \\al(2,2)＝－4，))解得k＝±eq \f(\r(2),4)，故D正确．故选BCD.
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
解析 如图，因为抛物线C过点A(1，1)，所以1＝2p，解得p＝eq \f(1,2)，所以抛物线C：x2＝y的准线为y＝－eq \f(1,4)，所以A错误；因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以抛物线C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与抛物线C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝y，))得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以|OP|·|OQ|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))＝eq \r(（xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(4,1)）（xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(4,2)）)＝eq \r(（1＋xeq \\al(2,1)）（1＋xeq \\al(2,2)）)·|x1x2|＝eq \r(1＋（x1＋x2）2－2x1x2＋xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2))＝|k|＞2＝|OA|2，所以C正确；|BP|·|BQ|＝eq \r(1＋k2)·|x1－0|·eq \r(1＋k2)·|x2－0|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2023·云南模拟)已知抛物线C：x2＝8y，在直线y＝－4上任取一点P，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB的距离的最大值为________．
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xeq \\al(2,1)＝8y1，xeq \\al(2,2)＝8y2，由x2＝8y得y＝eq \f(x2,8)，y′＝eq \f(x,4)，在A处的切线方程为y－y1＝eq \f(x1,4)(x－x1)，即y＝eq \f(x1,4)x－y1，在B处的切线方程为y－y2＝eq \f(x2,4)(x－x2)，即y＝eq \f(x2,4)x－y2，设P(t，－4)，则－4＝eq \f(x1,4)t－y1，－4＝eq \f(x2,4)t－y2，则直线AB的方程为－4＝eq \f(x,4)t－y，即y＝eq \f(t,4)x＋4，直线AB恒过定点(0，4)，所以原点到直线AB的距离的最大值为4.
13.(2023·重庆模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)，P(2，1)为抛物线内一点，不经过点P的直线l：y＝2x＋m与抛物线交于A，B两点，连接AP，BP，分别交抛物线于点C，D，若对任意直线l，总存在λ，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(PD,\s\up6(→))(λ>0，λ≠1)成立，则该抛物线方程为________．
答案 y2＝4x
解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)(x3≠x4)，由eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PC,\s\up6(→))可得(2－x1，1－y1)＝λ(x3－2，y3－1)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋λx3＝2＋2λ，,y1＋λy3＝1＋λ，))同理可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋λx4＝2＋2λ，,y2＋λy4＝1＋λ，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＋λ（x3＋x4）＝4（1＋λ），,y1＋y2＋λ（y3＋y4）＝2（1＋λ）.)) (*)
将A，B两点的坐标代入抛物线方程得yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，作差可得eq \f(y1－y2,x1－x2)(y1＋y2)＝2p，而eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2，即y1＋y2＝p，同理可得y3＋y4＝p，代入(*)，可得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
14．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长，交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|－1，则当∠AFB最大时，|AD|＝________．
答案 16
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，由抛物线的定义得y1＋y2＋2＝|AF|＋|BF|，因为eq \f(y1＋y2,2)＝|AB|－1，所以|AF|＋|BF|＝2|AB|，所以cs∠AFB＝eq \f(|AF|2＋|BF|2－|AB|2,2|AF||BF|)＝eq \f(3（|AF|2＋|BF|2）－2|AF||BF|,8|AF||BF|)≥eq \f(6|AF||BF|－2|AF||BF|,8|AF||BF|)＝eq \f(1,2)，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，AB∥x轴．不妨设此时直线AD的方程为y＝eq \r(3)x＋1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x＋1，,x2＝4y，))消去y，得x2－4eq \r(3)x－4＝0，所以x1＋x3＝4eq \r(3)，所以y1＋y3＝eq \r(3)(x1＋x3)＋2＝14，所以|AD|＝y1＋y3＋2＝16.
四、解答题
15．(2023·湖北期中)点F是抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线Γ交于A，B两点，|AB|＝4，抛物线Γ的准线与x轴交于点K.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)设C，D是抛物线Γ上异于A，B的两个不同的点，直线AC，BD相交于点E，直线AD，BC相交于点G，证明：E，G，K三点共线．
解 (1)由题意，得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
因为|AB|＝4，AB⊥x轴，
不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，
代入抛物线，得22＝2p·eq \f(p,2)⇒p＝2(负值舍去)，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)证明：A(1，2)，B(1，－2)，准线方程为x＝－1，K(－1，0)，
设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)，y1))，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),4)，y2))，
y1≠±2，y2≠±2，
直线AC的方程为y－2＝eq \f(y1－2,\f(yeq \\al(2,1),4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y1＋2)(x－1)，①
直线BD的方程为y＋2＝eq \f(y2＋2,\f(yeq \\al(2,2),4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y2－2)(x－1)，②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)，,y＝\f(2（y1＋y2）,y1－y2＋4)，))
即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)，\f(2（y1＋y2）,y1－y2＋4)))，
直线AD的方程为y－2＝eq \f(y2－2,\f(yeq \\al(2,2),4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y2＋2)(x－1)，③
直线BC的方程为y＋2＝eq \f(y1＋2,\f(yeq \\al(2,1),4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y1－2)(x－1)，④
联立③④，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(y1y2－y2＋y1,y2－y1＋4)，,y＝\f(2（y1＋y2）,y2－y1＋4)，))
即Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1y2－y2＋y1,y2－y1＋4)，\f(2（y1＋y2）,y2－y1＋4)))，
直线EK的斜率kEK＝eq \f(\f(2（y1＋y2）,y1－y2＋4),\f(y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)－（－1）)＝eq \f(2（y1＋y2）,y1y2＋4)，
直线GK的斜率kGK＝eq \f(\f(2（y1＋y2）,y2－y1＋4),\f(y1y2－y2＋y1,y2－y1＋4)－（－1）)＝eq \f(2（y1＋y2）,y1y2＋4)，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，
所以E，G，K三点共线．
16．已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
解 (1)证明：设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则xeq \\al(2,1)＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq \f(1,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)，))可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝eq \r(1＋t2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋t2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1)．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝eq \r(t2＋1)，d2＝eq \f(2,\r(t2＋1)).
因此四边形ADBE的面积S＝eq \f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq \r(t2＋1).
设M为线段AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，t2＋\f(1,2))).
因为eq \(EM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq \(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq \r(2).
因此四边形ADBE的面积为3或4eq \r(2).考向一 抛物线的切线
考向二 焦点弦问题
考向三 直线与抛物线的综合问题