高考数学科学创新复习方案提升版第49讲椭圆（一）学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第49讲椭圆（一）学案（Word版附解析），共21页。


1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做eq \x(\s\up1(01))椭圆．这两个定点叫做椭圆的eq \x(\s\up1(02))焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的eq \x(\s\up1(03))焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若eq \x(\s\up1(04))a>c，则集合P表示椭圆；
(2)若eq \x(\s\up1(05))a＝c，则集合P表示线段；
(3)若eq \x(\s\up1(06))a2．椭圆的标准方程和几何性质
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ＝b2taneq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·csθ.
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
答案 B
解析 4＝eq \r(25－m2)(m>0)⇒m＝3.故选B.
2．(人教A选择性必修第一册习题3.1 T1改编)方程eq \r(（x－4）2＋y2)＋eq \r(（x＋4）2＋y2)＝10的化简结果是( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 C
解析 由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
3．(人教A选择性必修第一册3.1.2例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为eq \f(1,2) B．焦距为eq \f(\r(3),4)
C．短轴长为eq \f(1,4) D．离心率为eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq \f(\r(3),2)，短轴长2b＝eq \f(1,2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).故选D.
4．若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
答案 (3，4)∪(4，5)
解析 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3，))解得3＜k＜5且k≠4.
5．(人教B选择性必修第一册习题2－5B T2改编)已知点P(x1，y1)是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，F1，F2分别是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是________．
答案 12
解析 ∵椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq \r(25－16)＝3，∴F1(－3，0)，F2(3，0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)×2×3×4＝12.
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．
(2)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,49)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．26
C．22eq \r(2) D．24eq \r(2)
答案 A
解析 由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，则c2＝a2－b2＝49－24＝25，所以a＝7，c＝5，由3|PF1|＝4|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积等于eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×8×6＝24.故选A.
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
2．焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
1.(多选)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5)
D.eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝2
答案 BCD
解析 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，所以d＝eq \f(2\r(10),5)，故C正确；eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D正确．故选BCD.
2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
答案 5
解析 ∵椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值为5.
例2 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a，2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：
1.已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A(0，b)，点B在椭圆C上，eq \(AF1,\s\up6(→))＝2eq \(F1B,\s\up6(→))，D，E分别是AF2，BF2的中点，且△DEF2的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,4)＝1 D．x2＋eq \f(3y2,2)＝1
答案 B
解析 因为eq \(AF1,\s\up6(→))＝2eq \(F1B,\s\up6(→))，所以A，F1，B三点共线，且|AF1|＝2|F1B|，因为D，E分别为AF2，BF2的中点，所以4a＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2(|DE|＋|DF2|＋|EF2|)＝8，所以a＝2.设B(x0，y0)，F1(－c，0)，A(0，b)，由eq \(AF1,\s\up6(→))＝2eq \(F1B,\s\up6(→))，可得(－c，－b)＝2(x0＋c，y0)，求得x0＝－eq \f(3c,2)，y0＝－eq \f(b,2)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3c,2)，－\f(b,2)))，因为点B在椭圆C上，所以eq \f(9c2,16)＋eq \f(1,4)＝1，求得c2＝eq \f(4,3)，b2＝eq \f(8,3)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,8)＝1.故选B.
2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
多角度探究突破
角度椭圆的长轴、短轴、焦距
例3 (多选)某月球探测器在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列说法正确的是( )
A．焦距约为300公里
B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为(±150，0)
D．离心率约为eq \f(75,994)
答案 AD
解析 设该椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.依题意可得月球半径约为eq \f(1,2)×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，2c＝300，椭圆的离心率约为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1988)＝eq \f(75,994)，所以A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，所以焦点坐标不确定，C错误．
角度 离心率问题
例4 (1)(2023·深圳模拟)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(21),6)
C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝eq \f(a,2)，|PF1|＝eq \f(3a,2)，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs∠F1PF2，即4c2＝eq \f(9a2,4)＋eq \f(a2,4)－eq \f(3a2,4)＝eq \f(7a2,4)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(7,16)，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4).故选C.
(2)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析 若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq \f(1,2)，又e<1，所以e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
角度 与椭圆有关的最值(范围问题)
例5 (1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A.eq \f(5,2) B.eq \r(6)
C.eq \r(5) D．2
答案 A
解析 由P在C上，设P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2，由eq \f(xeq \\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，得xeq \\al(2,0)＝5－5yeq \\al(2,0)，y0∈[－1，1]，代入上式，得|PB|2＝5－5yeq \\al(2,0)＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,4)，y0∈[－1，1]．因此当且仅当y0＝－eq \f(1,4)时，|PB|取得最大值eq \f(5,2).故选A.
(2)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(m)，tanα＝eq \f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq \r(3)，∴0②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝eq \r(m)，b＝eq \r(3)，tanα＝eq \f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq \r(3)，∴m≥9.综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．故选A.
1．求椭圆的离心率的方法
(1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等式．
1.(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝eq \f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq \f(y1,－x1＋a)，故kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1＋a)·eq \f(y1,－x1＋a)＝eq \f(yeq \\al(2,1),－xeq \\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，又eq \f(xeq \\al(2,1),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，则yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2（a2－xeq \\al(2,1)）,a2)，所以eq \f(\f(b2（a2－xeq \\al(2,1)）,a2),－xeq \\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
2．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
D．若eq \(PF1,\s\up6(→))＝eq \(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)
答案 ACD
解析 由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以2a－1≤|QF1|＋|QP|≤2a＋1，所以A正确；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以b＞1，2b＞2，所以B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＜1，即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0，解得a2＞eq \f(3＋\r(5),2)或a2＜eq \f(3－\r(5),2)(舍去)，则椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＜eq \f(1,\r(\f(3＋\r(5),2)))＝eq \f(1,\f(\r(5)＋1,2))＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以C正确；由eq \(PF1,\s\up6(→))＝eq \(F1Q,\s\up6(→))可得，F1为PQ的中点，而P(1，1)，F1(－1，0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|＝eq \r(（－3＋1）2＋（－1－0）2)＋
eq \r(（－3－1）2＋（－1－0）2)＝eq \r(5)＋eq \r(17)＝2a，所以D正确．故选ACD.
课时作业
一、单项选择题
1．已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝( )
A．5 B．6
C．9 D．10
答案 C
解析 由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.
2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D.eq \r(6)
答案 A
解析 由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).故选A.
3．(2023·湖南模拟)曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
答案 C
解析 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq \f(4,5)，焦距为8的椭圆．曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为2eq \r(（25－k）－（9－k）)＝8，离心率为eq \f(4,\r(25－k))的椭圆．故选C.
4．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
答案 B
解析 解法一：因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B.
解法二：因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B.
5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案 B
解析 因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(8,9)，b2＝eq \f(8,9)a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为C的上顶点，所以B(0，b)，所以eq \(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)．因为eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝eq \f(8,9)a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.故选B.
6．已知点M在椭圆eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为( )
A．1＋eq \r(19) B．1＋2eq \r(5)
C．5 D．6
答案 B
解析 设圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，则|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1，设M(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),18)＋eq \f(yeq \\al(2,0),9)＝1⇒xeq \\al(2,0)＝18－2yeq \\al(2,0)，所以|MC|＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋（y0－1）2)＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2y0＋1)＝eq \r(18－2yeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2y0＋1)＝eq \r(－yeq \\al(2,0)－2y0＋19)＝eq \r(－（y0＋1）2＋20)≤2eq \r(5)，当且仅当y0＝－1时取等号，所以|MN|≤|MC|＋1≤2eq \r(5)＋1.故选B.
7．(2023·全国甲卷)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|PO|＝( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(\r(30),2)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(\r(35),2)
答案 B
解析 解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜eq \f(π,2)，所以S△PF1F2＝b2taneq \f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cs∠F1PF2＝cs2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(3,5)，解得tanθ＝eq \f(1,2).由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|yP|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×|yP|＝6×eq \f(1,2)，解得yeq \\al(2,P)＝3，所以xeq \\al(2,P)＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,6)))＝eq \f(9,2)，因此|PO|＝eq \r(xeq \\al(2,P)＋yeq \\al(2,P))＝eq \r(3＋\f(9,2))＝eq \f(\r(30),2).故选B.
解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 ①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12 ②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq \f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→)))，所以|PO|＝|eq \(PO,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|，即|eq \(PO,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(|\(PF1,\s\up6(→))|2＋2\(PF1,\s\up6(→))·\(PF2,\s\up6(→))＋|\(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,2)eq \r(21＋2×\f(3,5)×\f(15,2))＝eq \f(\r(30),2).故选B.
解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 ①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12 ②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq \r(3)，解得|PO|＝eq \f(\r(30),2).故选B.
8．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案 C
解析 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1，可得xeq \\al(2,0)＝a2－eq \f(a2,b2)yeq \\al(2,0)，则|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq \f(c2,b2)yeq \\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－eq \f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).故选C.
二、多项选择题
9.2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2eq \r(（m＋r）（n＋r）)
D．a2c1答案 BC
解析 由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b2＝2eq \r(aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2))＝2eq \r(（a2－c2）（a2＋c2）)＝2eq \r(（m＋r）（n＋r）)，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方得aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，∴a1c210．(2024·重庆开学考试)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4
B．若△F1PF2的面积为2eq \r(7)，则点P的横坐标为±eq \f(4\r(5),3)
C．存在点P满足∠F1PF2＝90°
D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－eq \f(9,16)
答案 BD
解析 依题意，得a＝4，b＝3，c＝eq \r(7)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；设P(x0，y0)，|F1F2|＝2eq \r(7)，eq \f(1,2)×2eq \r(7)×|y0|＝2eq \r(7)，|y0|＝2，xeq \\al(2,0)＝eq \f(144－16yeq \\al(2,0),9)＝eq \f(144－64,9)＝eq \f(80,9)，x0＝±eq \f(4\r(5),3)，B正确；cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)≥eq \f(\f(（|PF1|＋|PF2|）2,2)－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(2a2－4c2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(32－28,2|PF1||PF2|)＝eq \f(2,|PF1||PF2|)>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在点P满足∠F1PF2＝90°，C错误；设P(x0，y0)，则eq \f(xeq \\al(2,0),16)＋eq \f(yeq \\al(2,0),9)＝1，即yeq \\al(2,0)＝eq \f(9,16)(16－xeq \\al(2,0))，又A1(－4，0)，A2(4，0)，所以kPA1·kPA2＝eq \f(y0－0,x0＋4)·eq \f(y0－0,x0－4)＝eq \f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0)－16)＝eq \f(\f(9,16)（16－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0)－16)＝－eq \f(9,16)，D正确．故选BD.
11．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(eq \r(2)，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是( )
A．离心率e的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
B．存在点Q，使得eq \(QF1,\s\up6(→))＋eq \(QF2,\s\up6(→))＝0
C．当e＝eq \f(\r(2),4)时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋eq \f(\r(6),2)
D.eq \f(1,|QF1|)＋eq \f(1,|QF2|)的最小值为1
答案 ACD
解析 对于A，∵点P(eq \r(2)，1)在椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的内部，∴eq \f(2,4)＋eq \f(1,b2)<1，∴b2>2，又椭圆焦点在x轴上，∴b2<4，∴2三、填空题
12．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为eq \r(3)，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．
答案 eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1 eq \f(1,2)
解析 焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝eq \r(3)，又a＝2c，∴c＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)，b＝3，∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
13．(2023·邵阳二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 (eq \r(2)－1，1)
解析 由eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，得eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(|PF1|,2a－|PF1|)，得|PF1|＝eq \f(2ac,a＋c)，又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c0，又e∈(0，1)，∴e∈(eq \r(2)－1，1)．
14．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
答案 8
解析 由|PQ|＝|F1F2|，得|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
四、解答题
15．(2023·德州期中)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)若点A是曲线C上的动点，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最大值(其中O为坐标原点)．
解 (1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径r＝2eq \r(2)，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2eq \r(2)，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝2eq \r(2)>2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝eq \r(2)，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹C的方程为eq \f(y2,2)＋x2＝1.
(2)设A(x，y)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(－x，－1－y)，
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，①
又eq \f(y2,2)＋x2＝1，所以x2＝1－eq \f(1,2)y2，将其代入①得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)y2－y－1＝－eq \f(1,2)(y＋1)2－eq \f(1,2)，
由椭圆的有界性可知－eq \r(2)≤y≤eq \r(2)，所以当y＝－1时，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))取得最大值－eq \f(1,2).
16．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，
故C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2).
又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2).
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
eq \x(\s\up1(07))－a≤x≤eq \x(\s\up1(08))a
eq \x(\s\up1(09))－b≤y≤eq \x(\s\up1(10))b
eq \x(\s\up1(11))－b≤x≤eq \x(\s\up1(12))b
eq \x(\s\up1(13))－a≤y≤eq \x(\s\up1(14))a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为eq \x(\s\up1(15))2a；短轴B1B2的长为eq \x(\s\up1(16))2b
焦距
|F1F2|＝eq \x(\s\up1(17))2c
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝eq \x(\s\up1(18))eq \f(c,a)∈eq \x(\s\up1(19))(0，1)
a，b，c的关系
c2＝eq \x(\s\up1(20))a2－b2
考向一 椭圆的定义及其应用
考向二 椭圆的标准方程
考向三 椭圆的几何性质