高考数学科学创新复习方案提升版第47讲圆的方程学案(Word版附解析)
展开1.圆的定义、方程
(1)平面上到eq \x(\s\up1(01))定点的距离等于eq \x(\s\up1(02))定长的点的集合是圆.
(2)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圆心为eq \x(\s\up1(03))(a,b),半径为eq \x(\s\up1(04))r.
(3)圆的一般方程
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0:
①方程表示圆的充要条件:eq \x(\s\up1(05))D2+E2-4F>0,其中圆心坐标:eq \x(\s\up1(06))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))),
半径r=eq \x(\s\up1(07))eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F);
②当D2+E2-4F=0时,该方程表示eq \x(\s\up1(08))点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2)));
③当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
(1)理论依据
eq \x(\s\up1(09))点与圆心的距离与半径的大小关系.
(2)三个结论
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),d为圆心到点M的距离.
①eq \x(\s\up1(10))(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上⇔d=r;
②eq \x(\s\up1(11))(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r;
③eq \x(\s\up1(12))(x0-a)2+(y0-b)2
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A=C≠0,,B=0,,D2+E2-4AF>0.))
3.求圆的方程,如果借助圆的几何性质,能使解题思路简化减少计算量,常用的几何性质有:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
1.(人教A选择性必修第一册2.4.2练习T1改编)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2,3),3 B.(-2,3),eq \r(3)
C.(-2,-3),13 D.(2,-3),eq \r(13)
答案 D
解析 圆x2+y2-4x+6y=0化成标准形式为(x-2)2+(y+3)2=13.故圆心坐标为(2,-3),半径r=eq \r(13).故选D.
2.(人教A选择性必修第一册习题2.4 T5改编)已知A(1,0),B(0,3),则以AB为直径的圆的方程是( )
A.x2+y2-x-3y=0B.x2+y2+x+3y=0
C.x2+y2+x-3y=0D.x2+y2-x+3y=0
答案 A
解析 圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(3,2))),半径r=eq \f(1,2)|AB|=eq \f(1,2)×eq \r(12+32)=eq \f(\r(10),2),故圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(3,2)))eq \s\up12(2)=eq \f(5,2).整理得x2+y2-x-3y=0.故选A.
3.(人教B选择性必修第一册2.3.1练习B T4改编)若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-eq \r(3),eq \r(3))
C.(-eq \r(2),eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 ∵原点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,∴(0-m)2+(0+m)2<4,解得-eq \r(2)
A.-2 B.0
C.eq \f(4,5) D.1
答案 CD
解析 若方程x2+y2+(k-1)x+2ky+k=0表示圆,则(k-1)2+4k2-4k>0,解得k
5.(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________.
答案 (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(4,3)))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(7,3)))eq \s\up12(2)=eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(8,5)))eq \s\up12(2)+(y-1)2=eq \f(169,25)(写出一个即可)
解析 设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有下列四种情况:
①若圆过A,B,C三点,则圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=9+(a-1)2⇒a=3,r=eq \r(4+a2)=eq \r(13),所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
②若圆过A,B,D三点,同①设圆心坐标为(2,a),则4+a2=4+(a-2)2⇒a=1,r=eq \r(4+a2)=eq \r(5),所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
③若圆过A,C,D三点,则线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD的中垂线方程为y=-2x+5,联立解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(4,3),,y=\f(7,3),))所以圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),\f(7,3))),r=eq \r(\f(16,9)+\f(49,9))=eq \f(\r(65),3),所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(4,3)))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(7,3)))eq \s\up12(2)=eq \f(65,9).
④若圆过B,C,D三点,则线段BD的中垂线方程为y=1,线段BC的中垂线方程为y=5x-7,联立解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(8,5),,y=1,))所以圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5),1)),r=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)-4))\s\up12(2)+1)=eq \f(13,5),所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(8,5)))eq \s\up12(2)+(y-1)2=eq \f(169,25).
例1 (1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为( )
A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1
C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 C
解析 到两直线3x-4y=0,3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x-4y+5=0,,y=-x-4,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-3,,y=-1.))又两平行线间的距离为eq \f(10,\r(32+(-4)2))=2,所以圆M的半径为1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.故选C.
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在⊙M上,则⊙M的方程为________.
答案 (x-1)2+(y+1)2=5
解析 ∵点M在直线2x+y-1=0上,∴设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在⊙M上,∴点M到两点的距离相等且为半径R,∴eq \r((a-3)2+(1-2a)2)=eq \r(a2+(-2a)2)=R,解得a=1,∴M(1,-1),R=eq \r(5),⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设出圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设出圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
1.已知圆E经过两点A(0,1),B(2,0),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,4)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(25,16)
解析 因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-eq \f(1,2)=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),0)).则圆E的半径为|EB|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(3,4)))\s\up12(2)+(0-0)2)=eq \f(5,4),所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,4)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(25,16).
2.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的一般方程为________________.
答案 x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
解析 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2D-4E-F=20, ①,3D-E+F=-10. ②))
在圆C的方程中,令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④
联立①②④得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.
故圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
例2 (2024·武汉模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC的斜率均存在,
所以kAC·kBC=-1,
又kAC=eq \f(y,x+1),kBC=eq \f(y,x-3),所以eq \f(y,x+1)·eq \f(y,x-3)=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
解法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=eq \f(1,2)|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0),
因为B(3,0),且M是线段BC的中点,
所以由中点坐标公式得x=eq \f(x0+3,2),y=eq \f(y0+0,2),
所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C(x0,y0)满足(x0-1)2+yeq \\al(2,0)=4(y≠0),
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,
即(x-2)2+y2=1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2024·合肥质检)已知动点P到点M(-2,0)与到点N(1,0)的距离之比为2∶1,则动点P的轨迹方程为________;若动点A满足eq \(MA,\s\up6(→))=2eq \(MP,\s\up6(→)),则动点A的轨迹方程为________.
答案 (x-2)2+y2=4 (x-6)2+y2=16
解析 设P(x,y),则|PM|=eq \r((x+2)2+y2),|PN|=eq \r((x-1)2+y2),因为动点P到点M(-2,0)与到点N(1,0)的距离之比为2∶1,所以eq \f(\r((x+2)2+y2),\r((x-1)2+y2))=eq \f(2,1),所以(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],化简得x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,所以动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.设点A(x,y),P(x0,y0),则eq \(MA,\s\up6(→))=(x+2,y),eq \(MP,\s\up6(→))=(x0+2,y0),因为eq \(MA,\s\up6(→))=2eq \(MP,\s\up6(→)),所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+2=2(x0+2),,y=2y0,))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0=\f(1,2)x-1,,y0=\f(1,2)y,))所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x-1-2))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)y))eq \s\up12(2)=4,化简得(x-6)2+y2=16,所以动点A的轨迹方程为(x-6)2+y2=16.
多角度探究突破
角度 借助几何性质求最值
例3 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
解 (1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,eq \r(3)为半径的圆,eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设eq \f(y,x)=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时eq \f(|2k-0|,\r(k2+1))=eq \r(3),解得k=±eq \r(3).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3),最小值为-eq \r(3).
(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时eq \f(|2-0+b|,\r(2))=eq \r(3),解得b=-2±eq \r(6).
所以y-x的最大值为-2+eq \r(6),最小值为-2-eq \r(6).
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2,
所以x2+y2的最大值是(2+eq \r(3))2=7+4eq \r(3),
x2+y2的最小值是(2-eq \r(3))2=7-4eq \r(3).
角度 构建目标函数求最值
例4 设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0).则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________.
答案 12
解析 解法一:由题意,得eq \(PA,\s\up6(→))=(2-x,-y),eq \(PB,\s\up6(→))=(-2-x,-y),所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以当y=4时,eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大,最大值为6×4-12=12.
解法二:设O为坐标原点,易知eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=|eq \(PO,\s\up6(→))|2-|eq \(OA,\s\up6(→))|2=|eq \(PO,\s\up6(→))|2-4,又|eq \(PO,\s\up6(→))|max=3+1=4,故(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))max=42-4=12.
角度 利用对称性求最值
例5 (2024·济宁模拟)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,点M(7,12),直线l:y=x.点P是圆C上的动点,点Q是l上的动点,则|PQ|+|QM|的最小值为( )
A.11 B.12
C.13 D.14
答案 B
解析 由题设圆C:x2+(y-2)2=1,即圆心为C(0,2),半径为1,又72+(12-2)2=149>1,所以点M在圆外同时不在直线l:y=x上,如图所示,若M′为M关于l:y=x的对称点,则M′(12,7),则|PQ|+|QM|=|PQ|+|QM′|≥|PM′|,而|PM′|min=|CM′|-1,所以|PQ|+|QM|≥|CM′|-1=12,当且仅当C,P,Q,M′共线且P在C,Q之间时,等号成立,故|PQ|+|QM|的最小值为12.故选B.
与圆有关的最值问题的求解方法
1.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[eq \r(2),3eq \r(2)] D.[2eq \r(2),3eq \r(2)]
答案 A
解析 ∵直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于点A,B,∴A(-2,0),B(0,-2),则|AB|=2eq \r(2).∵点P在圆(x-2)2+y2=2上,圆心为(2,0),∴圆心到直线的距离d1=eq \f(|2+0+2|,\r(2))=2eq \r(2),故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围为[eq \r(2),3eq \r(2)],则S△ABP=eq \f(1,2)|AB|d2=eq \r(2)d2∈[2,6].故选A.
2.设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________.
答案 10
解析 由题意,知eq \(PA,\s\up6(→))=(-x,2-y),eq \(PB,\s\up6(→))=(-x,-2-y),所以eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))=(-2x,-2y),所以|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|=2eq \r(x2+y2).因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以点P的坐标(x,y)满足方程(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以y2=-(x-3)2+4,所以|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|=2eq \r(x2-(x-3)2+4)=2eq \r(6x-5).因为1≤x≤5,所以当x=5时,|eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大,最大值为2eq \r(6×5-5)=10.
3.已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为________.
答案 5eq \r(2)-4
解析 圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为(-2,1),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心为(3,4),半径为3.如图,圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′:(x+2)2+(y+1)2=1.连接C1′C2,交x轴于P,则P为使|PM|+|PN|最小的点,此时点M为线段PC1与圆C1的交点,N为线段PC2与圆C2的交点,最小值为|C1′C2|-(3+1),而|C1′C2|=eq \r((3+2)2+(4+1)2)=5eq \r(2),∴|PM|+|PN|的最小值为5eq \r(2)-4.
课时作业
一、单项选择题
1.(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=( )
A.eq \f(1,2) B.-eq \f(1,2)
C.1 D.-1
答案 A
解析 由题意可知,圆心为(a,0),因为直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以圆心在直线上,即2a+0-1=0,解得a=eq \f(1,2).故选A.
2.设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则(-1)2+32-4a=10-4a>0,解得a
A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x-1)2+(y+2)2=25
C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y-2)2=25
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=4,圆心C(1,-2),故排除C,D;设要求的圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=r2,代入点(-2,2),得r2=25.故选B.
4.已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过点P作圆C的切线有两条,则k的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(3),3),0))
答案 C
解析 圆C:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(k,2)))eq \s\up12(2)+(y+1)2=1-eq \f(3,4)k2,因为过点P有两条切线,所以点P在圆外,从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1+4+k+4+k2>0,,1-\f(3,4)k2>0,))解得-eq \f(2\r(3),3)
A.1+eq \f(3\r(2),2) B.4
C.1+3eq \r(2) D.7
答案 C
解析 解法一:令x-y=k,则x=k+y,代入原式,化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-3eq \r(2)≤k≤1+3eq \r(2),故x-y的最大值是1+3eq \r(2).故选C.
解法二:x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3csθ+2,y=3sinθ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3csθ-3sinθ+1=3eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))+1,因为θ∈[0,2π],所以θ+eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(9π,4))),当θ+eq \f(π,4)=2π,即θ=eq \f(7π,4)时,x-y取得最大值1+3eq \r(2).故选C.
解法三:由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=eq \f(|2-1-k|,\r(2))≤3,解得1-3eq \r(2)≤k≤1+3eq \r(2).故选C.
6.(2024·湖南郴州模拟)已知A,B是⊙C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点,若|AB|=6,则点P的轨迹方程为( )
A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-4)2=11
C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11
答案 C
解析 A,B是⊙C:(x-2)2+(y-4)2=25上的两个动点,P是线段AB的中点,|AB|=6,圆的半径为5,可得|PC|=eq \r(25-9)=4,所以点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-4)2=16.故选C.
7.(2023·北京昌平二模)已知点P在直线eq \r(3)x-y-10=0上,点Q(2csθ,2sinθ)(θ∈R),则|PQ|的最小值为( )
A.1 B.3
C.5 D.7
答案 B
解析 设Q(x,y),由Q(2csθ,2sinθ)(θ∈R)可知x=2csθ,y=2sinθ,所以x2+y2=4,即Q是圆心为(0,0),半径为2的圆上的动点,圆心到直线eq \r(3)x-y-10=0的距离d=eq \f(|0-0-10|,\r(3+1))=5,所以|PQ|min=5-2=3.故选B.
8.(2023·邯郸三模)在平面直角坐标系内,已知A(-3,4),B(-3,1),动点P(x,y)满足|PA|=2|PB|,则(x-1)2+(y-t)2(t∈R)的最小值是( )
A.eq \r(2) B.2
C.4 D.16
答案 C
解析 因为A(-3,4),B(-3,1),动点P(x,y)满足|PA|=2|PB|,则(x+3)2+(y-4)2=4(x+3)2+4(y-1)2,整理得(x+3)2+y2=4,eq \r((x-1)2+(y-t)2)可以看成圆(x+3)2+y2=4上的动点P(x,y)与定直线x=1上的动点Q(1,t)的距离,其最小值为圆心M(-3,0)到直线x=1的距离减去圆的半径2,即|PQ|≥4-2=2,因此(x-1)2+(y-t)2的最小值是22=4.故选C.
二、多项选择题
9.已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1,3)B.圆M的半径为eq \r(5)
C.圆M关于直线x+y=0对称D.点(2,3)在圆M内
答案 ABD
解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1+4-D+2E+F=0,,4+1+2D+E+F=0,,9+16+3D+4E+F=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D=-2,,E=-6,,F=5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),半径为eq \r(5),因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内.故选ABD.
10.(2023·常德模拟)已知圆x2+y2=16与x轴的左、右交点分别为A,B,点M(1,1)在圆内,以下说法正确的是( )
A.过M的圆的最短弦长为2eq \r(14)
B.若P为圆上的动点,且与B不重合,则BP的中点N的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(x≠4)
C.若P为圆上的动点,且与B不重合,则BP的中点N的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(y≠0)
D.若P,Q为圆上的动点,且PM⊥QM,则PQ的中点T的轨迹方程为x2+y2-x-y-7=0
答案 ABD
解析 对于A,过M的圆的最短弦与OM(O为坐标原点)垂直,其长度为2eq \r(16-2)=2eq \r(14),故A正确;对于B,C,若P为圆上的动点,且与B不重合,则BP的中点N满足ON⊥BN,N在以OB为直径的圆上,但点B除外,故点N的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(x≠4),故B正确,C错误;对于D,若P,Q为圆上的动点,且PM⊥QM,设PQ的中点T(x,y),则|PT|=|MT|,OT⊥PQ,|MT|2+|OT|2=|PT|2+|OT|2=16,可得x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=16,整理可得x2+y2-x-y-7=0,故D正确.故选ABD.
11.(2023·武汉模拟)已知直线l:x-y+1=0与圆CK:(x+k-1)2+(y+2k)2=1,下列说法正确的是( )
A.所有圆CK均不经过点(0,3)
B.若圆CK关于直线l对称,则k=-2
C.若直线l与圆CK交于A,B两点,且|AB|=eq \r(2),则k=-1
D.不存在圆CK与x轴、y轴均相切
答案 ABD
解析 对于A,将(0,3)代入(x+k-1)2+(y+2k)2=1,则(k-1)2+(2k+3)2=1,所以5k2+10k+9=0,此时Δ=100-4×5×9=-80<0,所以不存在k值,使圆CK经过点(0,3),A正确;对于B,若圆CK关于直线l对称,则(1-k,-2k)在直线l:x-y+1=0上,所以1-k+2k+1=0,则k=-2,B正确;对于C,由题意,圆心CK到直线l的距离d=eq \r(1-\f(|AB|2,4))=eq \f(\r(2),2),所以eq \f(|1-k+2k+1|,\r(2))=eq \f(|k+2|,\r(2))=eq \f(\r(2),2),则|k+2|=1,可得k=-3或k=-1,C错误;对于D,若圆CK与x轴、y轴均相切,则|1-k|=2|k|=1,显然无解,即不存在这样的圆CK,D正确.故选ABD.
三、填空题
12.(2023·昆明模拟)已知点A(-2,0),B(0,2),动点M满足eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))=0,则点M到直线y=x+2的距离可以是________.(写出一个符合题意的整数值)
答案 0或1(只写一个即可)
解析 由题设知eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→)),即点M在以AB为直径的圆上,且圆心为(-1,1),半径为eq \r(2),所以点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=2,而直线y=x+2过圆心(-1,1),所以点M到直线y=x+2的距离的取值范围为[0,eq \r(2)],所以点M到直线y=x+2的距离的整数值可以是0或1.
13.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.
答案 74
解析 设P(x,y),则d=|PB|2+|PA|2=x2+(y+1)2+x2+(y-1)2=2(x2+y2)+2,x2+y2表示圆上任一点到原点距离的平方,∴(x2+y2)max=(5+1)2=36,∴dmax=74.
14.阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262~190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.
(1)若定点为A(-1,0),B(1,0),写出k=eq \f(1,2)的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为________;
(2)△ABC中,|AB|=2,|AC|=k|BC|(k>1),则当△ABC面积的最大值为2eq \r(2)时,k=________.
答案 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(5,3)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(16,9)(填一个即可)
(2)eq \r(2)
解析 (1)设动点为P(x,y),则eq \f(|PA|,|PB|)=eq \f(1,2)或eq \f(|PB|,|PA|)=eq \f(1,2),所以eq \f(\r((x+1)2+y2),\r((x-1)2+y2))=eq \f(1,2)或
eq \f(\r((x-1)2+y2),\r((x+1)2+y2))=eq \f(1,2),化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(5,3)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(16,9).所以k=eq \f(1,2)的阿波罗尼斯圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(5,3)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(16,9).
(2)设A(-1,0),
B(1,0),C(x,y),
因为|AC|=k|BC|,所以(x+1)2+y2=k2[(x-1)2+y2],所以x2+y2-2·eq \f(k2+1,k2-1)x+1=0(y≠0),点C的轨迹是图中的圆D.当△ABC面积的最大值为2eq \r(2)时,CD⊥x轴,此时CD就是圆的半径,所以圆D的半径为2eq \r(2).所以eq \f(\r(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k2+1,k2-1)))\s\up12(2)-4),2)=2eq \r(2),所以k=eq \r(2).
四、解答题
15.(2023·杭州模拟)已知圆E经过A(2,3),B(3,2),C(4,3)三点,且交直线l:3x+4y-18=0于M,N两点.
(1)求圆E的标准方程;
(2)求△CMN的面积.
解 (1)设圆E:(x-a)2+(y-b)2=r2,
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((2-a)2+(3-b)2=r2,,(3-a)2+(2-b)2=r2,,(4-a)2+(3-b)2=r2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=3,,b=3,,r=1,))
所以圆E的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=1.
(2)因为C(4,3)到直线l:3x+4y-18=0的距离为eq \f(|3×4+4×3-18|,\r(32+42))=eq \f(6,5),
圆心E(3,3)到直线l:3x+4y-18=0的距离为eq \f(|3×3+4×3-18|,\r(32+42))=eq \f(3,5),
故弦长|MN|=2×eq \r(12-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))\s\up12(2))=eq \f(8,5),
所以S△CMN=eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×eq \f(8,5)=eq \f(24,25).
16.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.
解 令y=0,得x2-mx+2m=0.
设点A(x1,0),B(x2,0),
则Δ=m2-8m>0,
即m<0或m>8,
x1+x2=m,x1x2=2m.
令x=0,得y=2m,故点C(0,2m).
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆,则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=0,得x1x2+4m2=0,
即2m+4m2=0,解得m=0或m=-eq \f(1,2).
因为m<0或m>8,所以m=-eq \f(1,2),
此时点C(0,-1),所求圆的圆心为线段AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,4),0)),半径r=|CM|=eq \f(\r(17),4),故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,4)))eq \s\up12(2)+y2=eq \f(17,16).
(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,
将点C(0,2m)的坐标代入,可得E=-1-2m,
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,
整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+y2-y=0,,x+2y-2=0,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=0,,y=1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(2,5),,y=\f(4,5).))
故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5),\f(4,5))).考向一 求圆的方程
考向二 与圆有关的轨迹问题
考向三 与圆有关的最值问题
方法
适用类型
借助几何性质求最值
形如μ=eq \f(y-b,x-a)形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题
形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题
形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值
动化定、曲化直法求最值
求解形如|PM|±|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题
高考数学科学创新复习方案提升版第49讲椭圆(一)学案(Word版附解析): 这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第49讲椭圆(一)学案(Word版附解析),共21页。
高考数学科学创新复习方案提升版第50讲椭圆(二)学案(Word版附解析): 这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第50讲椭圆(二)学案(Word版附解析),共27页。
高考数学科学创新复习方案提升版第51讲双曲线(一)学案(Word版附解析): 这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第51讲双曲线(一)学案(Word版附解析),共22页。