高考数学科学创新复习方案提升版第41讲空间直线、平面的平行学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第41讲空间直线、平面的平行学案（Word版附解析），共21页。


1．直线与平面平行
(1)判定定理
(2)性质定理
2.平面与平面平行
(1)判定定理
(2)性质定理
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
5．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
6．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
7．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
8．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
9．三种平行关系的转化
1．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
答案 B
解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B.
2.(人教A必修第二册复习参考题8 T7改编)如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．矩形
答案 B
解析 因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据面面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．故选B.
3．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
答案 BCD
解析 对于A，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；对于B，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于C，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于D，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选BCD.
4．(2023·中山摸底)考查下列两个命题，在横线处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为________．
①eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b⊂α，,a∥b，, ))⇒a∥α；②eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a∥b，,b∥α，, ))⇒a∥α.
答案 a⊄α
解析 根据线面平行的判定定理可知①②缺少的条件是“a为平面α外的直线”，即a⊄α.
5.(人教B必修第四册11.3.3练习B T3改编)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．
答案 eq \f(5,2)
解析 ∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq \f(PC,PA)＝eq \f(CD,AB)，∴AB＝eq \f(PA·CD,PC)＝eq \f(5×1,2)＝eq \f(5,2).
例1 (1)(多选)(2023·天津和平区期中)已知三条直线a，b，c和两个平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若α∥β，a⊂α，则a∥β
B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
C．若a∥α，a∥b，b∥β，则β∥α
D．若α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∥c，则a∥b
答案 AD
解析 对于A，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，A正确；对于B，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，得a，b可能平行或异面，B错误；对于C，若a∥α，a∥b，b∥β，则β，α可能相交或平行，C错误；对于D，由α，β为两个平面且b⊂α，c⊂β，b∥c，得b⊄β且c⊄α，又b⊂α，则c∥α，又α∩β＝a，c⊂β，c⊄α，则c∥a，所以a∥b，D正确．故选AD.
(2)(多选)(2023·辽宁沈阳二模)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则( )
A．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D．平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
答案 ABD
解析 若平面PAD内存在直线与BC平行，则BC∥平面PAD，由BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，可得BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形，与已知矛盾，故A正确；平面PAD和平面PBC的一个交点为P，故二者存在过点P的一条交线，在平面PBC内，与平面PAD和平面PBC的交线平行的所有直线均与平面PAD平行，故B正确；由AB∥CD得AB∥平面PCD，进而AB平行于平面PAB与平面PCD的交线，所以平面PAB与平面PCD的交线与底面ABCD平行，故C错误；若平面PAD与平面PBC的交线与底面ABCD平行，则平面PAD与平面PBC的交线与BC平行，与AD也平行，则四边形ABCD为平行四边形，与已知底面ABCD为梯形矛盾，故D正确．故选ABD.
线面平行、面面平行的基本问题的求解策略
(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
注意：线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．
1.(多选)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是( )
A．①②③⇒④ B．①③④⇒②
C．①②④⇒③ D．②③④⇒①
答案 AC
解析 对于A，若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n⊄β，所以有④n∥β成立，故A正确；对于B，若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，故B错误；对于C，若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m⊄α，所以有③m∥α成立，故C正确；对于D，若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交或平行，故D错误．
2．(2024·江苏南京外国语学校月考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是( )
A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADE
C．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE
答案 C
解析 根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O，连接ON，BO，易知ON綊BM，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN∥BO，∵BO与平面ABE(即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE∥平面BCF，MN∩平面BCF＝M，∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF，即BO⊂平面BDH，又MN∥BO，MN⊄平面BDH，∴MN∥平面BDH，故C正确；显然M，N在平面CDEF的两侧，∴MN与平面CDEF相交，故D错误．故选C.
多角度探究突破
角度 用线线平行证明线面平行
例2 如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
证明 证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又因为H为BC的中点，所以HM∥BD.
因为HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.
证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形HBEF为平行四边形，所以BE∥HF.
在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH∥AB.
又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，GH，HF⊂平面FGH，AB，BE⊂平面ABED，所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.
角度 用线面平行证明线线平行
例3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在MD上取一点G，过G和PA作平面交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥MO.
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2．证明线线平行的三种方法
(1)利用基本事实4(a∥b，b∥c⇒a∥c)．
(2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
解 (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m.证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理m∥AM，所以l∥m.
例4 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
1．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．
(1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求eq \f(AR,A1R)的值；
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．
解 (1)因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，△ARQ∽△DPC，则eq \f(AR,DP)＝eq \f(AQ,DC)，
又DC＝a，DP＝eq \f(1,2)a，AQ＝eq \f(1,2)a，则eq \f(AR,\f(1,2)a)＝eq \f(\f(1,2)a,a)，即AR＝eq \f(1,4)a，A1R＝eq \f(3,4)a，所以eq \f(AR,A1R)＝eq \f(1,3).
(2)取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，EM，则BE∥RQ，
又RQ⊂平面PQC，BE⊄平面PQC，则BE∥平面PQC.
又BM∥平面PQC，BM，BE⊂平面BME且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PQC，
设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM，
因为平面BME∥平面PQC，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PQC∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，
又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，
同理四边形PREF也是平行四边形，所以CM＝PF＝ER＝eq \f(1,4)a，所以λ＝eq \f(CM,CC1)＝eq \f(\f(1,4)a,a)＝eq \f(1,4).
课时作业
一、单项选择题
1．(2023·茂名二模)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
答案 D
解析 若m∥n，则m∥α成立，即充分性成立，∵m∥α，∴m不一定平行于n，即“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选D.
2．(2023·襄阳模拟)已知不重合的直线l，m和不重合的平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥m，则m∥α
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
D．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β
答案 C
解析 对于A，若l∥α，l∥β，则平面α，β的位置关系有平行、相交，故A错误；对于B，若l⊥α，l⊥m，则m，α的位置关系有m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若l⊥α，l⊥β，根据线面垂直的性质可知，α∥β，故C正确；对于D，根据面面平行的判定定理可得，若l，m相交，则α∥β，否则不一定成立，故D错误．故选C.
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
答案 B
解析 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝eq \f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝eq \f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．
4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝PA′2∶PA2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
答案 A
解析 如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.
6．(2023·兰州一中期末)如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，并将eq \(AB,\s\up8(︵))三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则eq \f(SM,SN)的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面α，因为SB∥α，平面SMB∩α＝DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN，因为AB为底面圆的直径，点M，C将eq \(AB,\s\up8(︵))三等分，连接MC，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，所以MC∥AB且MC＝BC＝eq \f(1,2)AB，所以eq \f(DM,DB)＝eq \f(MC,AB)＝eq \f(1,2).又SB∥DN，所以eq \f(MN,SN)＝eq \f(DM,DB)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(SM,SN)＝eq \f(3,2).故选B.
7.(2023·许昌模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2eq \r(5)，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的长度的最大值为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C.eq \r(10) D．3
答案 A
解析 如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，MB1，所以DE∥BC1，又DE⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB，又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，又DE∩MD＝D，DE，MD⊂平面DEM，所以平面DEM∥平面ABC1.又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，所以N在线段DE上，又因为ME＝eq \r(MBeq \\al(2,1)＋B1E2)＝eq \r(（\r(3)）2＋（\r(5)）2)＝2eq \r(2)，MD＝1，所以线段MN的长度的最大值为2eq \r(2).故选A.
8．(2024·厦门模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(9,8)
C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM⊄平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，所以平面AMN∥平面BDFE，BD＝B1D1＝eq \r(2)，EF＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \f(\r(2),2)，DF＝BE＝eq \f(\r(5),2)，等腰梯形BDFE如图2，过E，F作BD的垂线，垂足分别为H，G，则四边形EFGH为矩形，所以FG＝eq \r(DF2－DG2)＝eq \r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq \f(3\r(2),4)，故所得截面的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq \f(3\r(2),4)＝eq \f(9,8).
二、多项选择题
9.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
答案 ACD
解析 由题图，显然A正确，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即eq \f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq \f(2V,BC)(定值)，所以D正确．故选ACD.
10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，E，F分别是AB，AC的中点，且B，C，G，H四点共面，则下列结论正确的是( )
A．EF∥GH
B．GH∥平面A1EF
C.eq \f(GH,EF)＝eq \f(4,3)
D．平面A1EF∥平面BCC1B1
答案 ABC
解析 对于A，因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG＝GH，平面ABC∩平面BCHG＝BC，所以GH∥BC，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC，eq \f(EF,BC)＝eq \f(1,2)，所以EF∥GH，所以A正确；对于B，由A项可知EF∥GH，因为GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，所以B正确；对于C，因为GH∥BC，B1C1∥BC，所以GH∥B1C1，因为GH经过△A1B1C1的重心，所以eq \f(GH,B1C1)＝eq \f(2,3)，因为B1C1＝BC，所以eq \f(GH,BC)＝eq \f(2,3)，因为eq \f(EF,BC)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(GH,EF)＝eq \f(4,3)，所以C正确；对于D，因为FC＝eq \f(1,2)AC，AC＝A1C1，所以FC＝eq \f(1,2)A1C1，因为FC∥A1C1，所以四边形A1FCC1为梯形，且A1F与CC1为腰，所以A1F与CC1必相交，因为A1F⊂平面A1EF，CC1⊂平面BCC1B1，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交，所以D错误．故选ABC.
11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq \f(1,2)，则下列结论中正确的是( )
A．线段B1D1上存在点E，F使得AE∥BF
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥A－BEF的体积为定值
答案 BD
解析 如图所示，AB与B1D1为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；B1D1∥BD，故EF∥平面ABCD，故B正确；由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；连接BD交AC于点O，则AO为三棱锥A－BEF的高，S△BEF＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4)，三棱锥A－BEF的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),24)，为定值，D正确．故选BD.
三、填空题
12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
13．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M在线段FH上
解析 如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需点M在线段FH上，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq \f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
答案 eq \f(2\r(2),3)a
解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.∵AP＝eq \f(a,3)，∴eq \f(PD,AD)＝eq \f(PQ,AC)＝eq \f(2,3).∴PQ＝eq \f(2,3)AC＝eq \f(2,3)×eq \r(2)a＝eq \f(2\r(2),3)a.
四、解答题
15.如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，
因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，
又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
16.如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．
(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．
解 (1)证明：在平面图形中，连接MN(图略)，设MN与AB交于点G.
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，
∴AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.
又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，
∴MN∥AD.当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.
又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，MG，NG⊂平面MNG，AD，AF⊂平面FAD，
∴平面MNG∥平面FAD.
又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面FAD.
故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
(2)这个结论不正确．要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下：
当点F，A，D共线时，如题图，易证得MN∥FD.
当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FAD，则要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可．
∵FM⊂平面ABEF，DN⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足．
由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面．
∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FAD＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
17.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解 (1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝eq \f(1,2)AB.
又因为AB∥CD，CD＝eq \f(1,2)AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
所以四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH.
又因为DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)存在．
证明：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝eq \f(1,2)AB，
因为CD＝eq \f(1,2)AB，所以AF＝CD，
又因为AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
所以CF∥AD.
因为AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.
由(1)知CE∥平面PAD，
又因为CE∩CF＝C，CE，CF⊂平面CEF，
所以平面CEF∥平面PAD.
故在线段AB上存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF.文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\x(\s\up1(01))a⊄α,\x(\s\up1(02))b⊂α,\x(\s\up1(03))a∥b))⇒a∥α
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\x(\s\up1(04))a∥α,\x(\s\up1(05))a⊂β,\x(\s\up1(06))α∩β＝b))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条eq \x(\s\up1(07))相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\x(\s\up1(08))a⊂α,\x(\s\up1(09))b⊂α,\x(\s\up1(10))a∩b＝P,\x(\s\up1(11))a∥β,\x(\s\up1(12))b∥β))⇒α∥β
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线eq \x(\s\up1(13))平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\x(\s\up1(14))α∥β,\x(\s\up1(15))α∩γ＝a,\x(\s\up1(16))β∩γ＝b))⇒a∥b
考向一 有关平行关系的判断
考向二 直线与平面平行的判定与性质
考向三 面面平行的判定与性质