高考数学科学创新复习方案提升版第38讲基本立体图形及其直观图学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第38讲基本立体图形及其直观图学案（Word版附解析），共19页。

[课程标准]1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．
1．多面体、旋转体的定义
(1)由若干个eq \x(\s\up1(01))平面多边形围成的几何体叫多面体．
(2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的eq \x(\s\up1(02))一条定直线旋转所形成的曲面叫做eq \x(\s\up1(03))旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．
2．棱柱的概念及其分类
(1)棱柱的概念
有两个面eq \x(\s\up1(04))互相平行，其余各面都是eq \x(\s\up1(05))四边形，并且相邻两个四边形的公共边都eq \x(\s\up1(06))互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
(2)棱柱的分类
①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按侧棱是否与底面垂直
侧棱垂直于底面的棱柱叫做eq \x(\s\up1(07))直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做eq \x(\s\up1(08))斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做eq \x(\s\up1(09))正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做eq \x(\s\up1(10))平行六面体．
3．棱锥的概念及其分类
(1)棱锥的概念
有一个面是eq \x(\s\up1(11))多边形，其余各面都是有一个公共顶点的eq \x(\s\up1(12))三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
(2)棱锥的分类
①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做eq \x(\s\up1(13))正棱锥．
4．棱台的概念及其分类
(1)棱台的概念
用一个eq \x(\s\up1(14))平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台．
(2)棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
5．圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示
6．简单组合体
(1)概念
由eq \x(\s\up1(19))简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)两种构成形式
①由简单几何体eq \x(\s\up1(20))拼接而成；
②由简单几何体eq \x(\s\up1(21))截去或挖去一部分而成．
7．直观图
(1)画法：常用eq \x(\s\up1(22))斜二测画法．
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变))
“三不变”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(平行性不改变,与x，z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变)))
2．直观图与原图形面积的关系
S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形(或S原图形＝2eq \r(2)S直观图)．
1．下列结论正确的是( )
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
答案 B
解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．故选B.
2.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
答案 D
解析 △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC>AB，AC>AD，AC>BC.故选D.
3．(人教B必修第四册11.1.1练习A T4改编)以下利用斜二测画法得到的结论中，正确的是( )
A．相等的角在直观图中仍相等
B．相等的线段在直观图中仍相等
C．平行四边形的直观图是平行四边形
D．菱形的直观图是菱形
答案 C
解析 根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故A，B，D错误；对于C，根据平行性不变原则，平行四边形的直观图仍然是平行四边形，C正确．故选C.
4.(多选)(人教B必修第四册11.1.1练习A T1(3)改编)如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是( )
A．A与B B．D与E
C．B与D D．C与F
答案 ABD
解析 将平面展开图还原成正方体如图所示，所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F.故选ABD.
5. (人教A必修第二册习题8.1 T8改编)如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
答案 C
解析 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．故选C.
例1 下列说法正确的是( )
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
答案 B
解析 A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱延长后必相交于同一点．故选B.
识别空间几何体的两种方法
1.下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
答案 D
解析 由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．故选D.
2.(多选)如图，将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是( )
A．四棱柱 B．四棱台
C．三棱柱 D．三棱锥
答案 AC
解析 根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC.
例2 (多选)(2023·朝阳建平实验中学月考)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是( )
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周长是4＋4eq \r(2)
答案 CD
解析 根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示，所以△ABC的周长是4＋4eq \r(2)，面积是4，故A错误，C，D正确；由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2eq \r(2)倍，故B错误．故选CD.
在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
注意：直观图面积是原图形面积的eq \f(\r(2),4)倍．
用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形的面积为________cm2.
答案 8
解析 解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
解法二：依题意可知，S直观图＝2eq \r(2)(cm2)，故S原图形＝2eq \r(2)S直观图＝8(cm2)．
多角度探究突破
角度 空间几何体的展开图问题
例3 某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，O为下底面圆的圆心，ME是圆柱的母线，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17) B．2eq \r(5)
C．3 D．2
答案 B
解析 圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．EN＝eq \f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴MN＝eq \r(EM2＋EN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).故选B.
角度 空间几何体的截面问题
例4 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq \r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )
A．2 B．4
C．2eq \r(6) D．4eq \r(6)
答案 B
解析 设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即2eq \r(3)，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(2eq \r(3))2，即R2＝22＋(2eq \r(3))2＝16，所以R＝4.故选B.
(1)通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：①求几何体的表面积或侧面积；②求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．
(2)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算．
(3)作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．
1.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，若一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点，则该质点所经最短路线的长为( )
A．12 cm B．13 cm
C.eq \r(61) cm D．15 cm
答案 C
解析 如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短，AA′1＝eq \r(62＋52)＝eq \r(61)(cm)．故选C.
2．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论，其中正确的是( )
A．截面形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是正方形
C．截面形状可能是正五边形
D．截面面积的最大值为3eq \r(3)
答案 AD
解析 对于A，当α截此正方体所得截面为B1CD1时满足，故A正确；对于B，由对称性得截面形状不可能为正方形，故B错误；对于C，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故C错误；对于D，当截面为正六边形时面积最大，为6×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝3eq \r(3)，故D正确．故选AD.

课时作业
一、单项选择题
1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥
答案 D
解析 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．故选D.
2．(2024·衡水模拟)将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成( )
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
答案 D
解析 A，B，C中的图形均可由12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式得到；对于D，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不成立．故选D.
3．(2023·济南一模)已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(6),4)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(6)
答案 B
解析 S原图＝eq \f(1,2)×2×2×sin60°＝eq \r(3)，由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系eq \f(S直观图,S原图)＝eq \f(\r(2),4)，得S直观图＝eq \f(\r(2),4)×eq \r(3)＝eq \f(\r(6),4).故选B.
4．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
答案 C
解析 由题意，圆柱的侧面展开两次后是一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10尺的矩形，因此葛藤长的最小值为eq \r(242＋102)＝26(尺)，即为2丈6尺．故选C.
5.通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1 cm和4 cm)制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为( )
A.eq \f(\r(3),2) cm B．1 cm
C.eq \r(3) cm D.eq \f(3\r(3),2) cm
答案 D
解析 由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r cm，R cm(r6．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 取AA1的中点E，CC1的中点F，连接BE，ED1，D1F，FB，如图所示．四边形BED1F为过棱长为1的正方体的一条体对角线BD1所作截面的面积最小的截面，且四边形BED1F是菱形，其截面面积为eq \f(1,2)BD1·EF＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)＝eq \f(\r(6),2).故选D.
7.如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为( )
A．2 B.eq \f(\r(2)＋\r(6),2)
C．2＋eq \r(2) D.eq \r(2＋\r(2))
答案 D
解析 如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AD1′＝eq \r(1＋1－2×1×1×cs135°)＝eq \r(2＋\r(2))为所求的最小值．故选D.
8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
答案 C
解析 如图，O为正方形ABCD的中心，E为CD的中点．设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(b2－\f(a2,4))，由题意，得PO2＝eq \f(1,2)ab，即b2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ab，化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)－2·eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5)＋1,4)(负值舍去)．故选C.
二、多项选择题
9.(2023·池州期中)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V、面数F与棱数E满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是( )
A．共有20个六边形 B．共有10个五边形
C．共有90条棱 D．共有32个面
答案 ACD
解析 由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，即eq \f(5m＋6n,3)＋(m＋n)－eq \f(5m＋6n,2)＝2，解得m＝12，故B错误；∵顶点数V＝eq \f(5m＋6n,3)＝60，解得n＝20，故A正确；棱数E＝eq \f(5m＋6n,2)＝90，故C正确；面数F＝m＋n＝32，故D正确．故选ACD.
10．(2024·成都模拟)如图是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是( )
A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC
C．AB⊥BC D．AC>AD>AB>BC
答案 CD
解析 由直观图知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点，如图所示，又A1B1＝B1C1，故A，B错误，C，D正确．
11.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC－A1B1C1展开，得到的平面图如图所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则( )
A．AM与A1C1是异面直线
B．AC⊥A1M
C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体
D．A1M＋MC的最小值是eq \r(106)
答案 ABD
解析 由题设，得如图1所示直三棱柱，由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，则AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正确；由图1知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1－ACC1A1和三棱锥B1－ABC，一个五面体和一个四面体，C错误；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开到一个平面内，如图2，当A1，M，C共线时，A1M＋MC最小，为eq \r(106)，D正确．故选ABD.
三、填空题
12．若已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为_________．
答案 eq \f(\r(6),2)a2
解析 如图所示是△ABC的直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交x′轴于点D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2×eq \r(2)×C′O′＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \r(6)a.
而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq \f(1,2)a·eq \r(6)a＝eq \f(\r(6),2)a2.
13．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图1所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则eq \f(l1,l2)的值为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 设点心盒的长为2a(a>0)，因为点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，所以点心盒的宽、高分别为2a，a.如题图1，绳长l1＝4×eq \f(\r(2),2)a＋4×eq \r(2)a＝6eq \r(2)a，如题图2，绳长l2＝4×2a＋4a＝12a，所以eq \f(l1,l2)＝eq \f(6\r(2)a,12a)＝eq \f(\r(2),2).
14．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
答案 26 eq \r(2)－1
解析 先求面数，有如下两种解法．
解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．
解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)
由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．
作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝eq \f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，∴eq \f(\r(2),2)x＋x＋eq \f(\r(2),2)x＝1，∴x＝eq \r(2)－1，即半正多面体的棱长为eq \r(2)－1.
四、解答题
15．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2，25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝eq \r(122－（5－2）2)＝3eq \r(15)(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，可得eq \f(l－12,l)＝eq \f(2,5)，解得l＝20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
16.如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离．
解 (1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．
由eq \f(OB,OB＋AB)＝eq \f(5,10)，得OB＝20 cm，
所以OA＝40 cm，OM＝30 cm.
设∠BOB′＝θ，由2π×5＝OB·θ，
解得θ＝eq \f(π,2).
所以AM＝eq \r(OA2＋OM2)＝50(cm)，
即绳子的最短长度为50 cm.
(2)过点O作OQ⊥AM于点Q，交eq \(BB′,\s\up8(︵))于点P，则PQ的长度为所求最短距离．因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24 cm.故PQ＝24－20＝4(cm)，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
17．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是eq \f(π,3)，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×eq \f(π,3)＝π，故其总曲率为4π.
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数．
解 (1)由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和．可以从整个多面体的角度考虑，所有与顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．由图可知，四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个面为三角形，1个面为四边形．
所以四棱锥的表面内角和为4个三角形，1个四边形的所有内角和，则其总曲率为2π×5－(4π＋2π)＝4π.
(2)证明：设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，
所以有n－l＋m＝2.
设第i个面的棱数为xi，所以x1＋x2＋…＋xm＝2l，
所以总曲率为2πn－π[(x1－2)＋(x2－2)＋…＋(xm－2)]＝2πn－π(2l－2m)＝2π(n－l＋m)＝4π，
所以这类多面体的总曲率是常数．定义
图形及表示
圆柱
以eq \x(\s\up1(15))矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱表示为圆柱O′O
圆锥
以eq \x(\s\up1(16))直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中圆锥表示为圆锥SO
圆台
用eq \x(\s\up1(17))平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台O′O
球
eq \x(\s\up1(18))半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，如图中的球表示为球O
考向一 空间几何体的结构特征
定义法
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法
通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可
考向二 平面图形与其直观图的关系
考向三 空间几何体的展开图和截面图