高考数学科学创新复习方案提升版第30讲平面向量的概念及其线性运算学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第30讲平面向量的概念及其线性运算学案（Word版附解析），共19页。

[课程标准]1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→)).特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2．在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，则有如下结论：
(1)eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；(2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))；(3)eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
3.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，点O不在直线BC上，则λ＋μ＝1.
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1．(多选)(2023·日照月考)下列命题中错误的是( )
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案 BC
解析 A显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比较大小，C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D正确．故选BC.
2．如图所示，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，A，B，C三点在一条直线上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(CB,\s\up6(→))，则( )
A．c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)bB．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
C．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b
答案 A
解析 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(CB,\s\up6(→))，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，即c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b.故选A.
3．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 A
解析 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝0，得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
4．(人教A必修第二册习题6.2 T10(1)改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
答案 [2，6]
解析 当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．
5．(人教A必修第二册6.2.3例8改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 依题意知2a－b≠0，向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2k＝0，,k＋λ＝0，))解得k＝eq \f(1,2)，λ＝－eq \f(1,2).
例1 (多选)(2023·烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
答案 BCD
解析 A正确，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D错误，当a＋b＝0时，不成立．故选BCD.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．
1.设a0为单位向量，有下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
2．(2023·常德月考)给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
④a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
答案 ③④
解析 ①是假命题，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②是假命题，若b＝0，则a与c不一定共线；③是真命题，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上；④是真命题，b与－b反向，a与b同向，故a与－b反向；⑤是假命题，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
多角度探究突破
角度 平面向量线性运算的几何意义
例2 若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是________(用弧度表示)．
答案 eq \f(π,6)
解析 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，则a＋b＝eq \(OC,\s\up6(→))，a－b＝eq \(BA,\s\up6(→)).因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(BA,\s\up6(→))|，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝eq \f(π,3).在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为eq \f(π,6).
利用向量线性运算的几何意义解决问题的方法
(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题．
(2)实数λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，|λ|的大小决定λa的模，据此可判断有关直线平行、三点共线，也可以推出有关线段的长度关系．
(2023·德州模拟)已知点O是平面上一定点，点A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
答案 A
解析 因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别表示向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，所以eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)的方向与∠BAC的平分线方向一致，所以eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，所以向量eq \(AP,\s\up6(→))的方向与∠BAC的平分线方向一致，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．故选A.
角度 平面向量线性运算
例3 (1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案 B
解析 eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，即eq \(CB,\s\up6(→))＝－2eq \(CA,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.
(2)(2023·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BA,\s\up6(→))＝b，eq \(BE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(12,25)a＋eq \f(9,25)b B.eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b
C.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b D.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b
答案 B
解析 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)\(BF,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))，解得eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(12,25)eq \(BA,\s\up6(→))，即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(16,25)a＋eq \f(12,25)b.
平面向量的线性运算的求解策略
(2023·芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是( )
①eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a＋eq \f(3,2)b；②eq \(PT,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)a－eq \f(3,2)b；③eq \(PS,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b；④eq \(PR,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a＋b.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
答案 C
解析 由a＋b＝eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up6(→))，知eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a＋eq \f(3,2)b，①正确；由a－b＝eq \f(2,3)eq \(PT,\s\up6(→))，知eq \(PT,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a－eq \f(3,2)b，②错误；eq \(PS,\s\up6(→))＝eq \(PT,\s\up6(→))＋b，故eq \(PS,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b，③正确；eq \(PR,\s\up6(→))＝eq \(PT,\s\up6(→))＋2b＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b，④错误．故选C.
角度 利用线性运算求参数
例4 (2023·江苏省八市第二次调研)在▱ABCD中，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)).若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(DF,\s\up6(→))＋neq \(AE,\s\up6(→))，则m＋n＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2\(AE,\s\up6(→))＝2\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))，,\f(6,5)\(DF,\s\up6(→))＝\f(2,5)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))，))∴2eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(6,5)eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(12,5)eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AE,\s\up6(→))，m＋n＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,6)＝eq \f(4,3).故选D.
利用向量的线性运算求参数的步骤
先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．
在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________．
答案 eq \f(1,2) －eq \f(1,6)
解析 因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).
例5 (1)(2023·滨州二模)已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,x)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,y)eq \(OC,\s\up6(→)).其中x>0，y>0，则x＋8y的最小值为( )
A．21 B．25
C．27 D．34
答案 B
解析 根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线AB外，eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,x)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,y)eq \(OC,\s\up6(→)).设eq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(λ≠0，λ≠1)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λ(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝λeq \(OC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－λ＝\f(1,x)，,λ＝\f(2,y)，))消去λ得eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，∴x＋8y＝(x＋8y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)＋16≥17＋2eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＝5，y＝\f(5,2)时等号成立)).故选B.
(2)(2023·潍坊三模)已知a，b是平面内两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq \(AC,\s\up6(→))＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1 D.eq \f(λ,μ)＝1
答案 C
解析 A，B，C三点共线的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))且m∈R，∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq \(AC,\s\up6(→))＝μa＋b，又eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))，∴a＋λb＝mμa＋mb，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝mμ，,λ＝m，))∴λμ＝1.故选C.
共线向量定理的三个应用
1.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D．－2
答案 B
解析 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝k，,1＝2λk－k，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq \f(1,2).故选B.
2.(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up6(→))，连接AC，MN交于点P，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)eq \(AC,\s\up6(→))，则点N为( )
A．AD的中点
B．AD上靠近点D的三等分点
C．AD上靠近点D的四等分点
D．AD上靠近点D的五等分点
答案 B
解析 设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AN,\s\up6(→))，因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(4,11)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(4,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)\(AM,\s\up6(→))＋λ\(AN,\s\up6(→))))＝eq \f(5,11)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(4λ,11)eq \(AN,\s\up6(→))，又M，N，P三点共线，所以eq \f(5,11)＋eq \f(4λ,11)＝1，解得λ＝eq \f(3,2)，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，所以点N为AD上靠近点D的三等分点．
课时作业
一、单项选择题
1．如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )
A.eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))
C.eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))D.eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
答案 D
解析 对于A，eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))，错误；对于B，eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(DO,\s\up6(→))，错误；对于C，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))，错误；对于D，eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，正确．故选D.
2．(2024·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
答案 B
解析 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a⊥b
C．a＝2b D．a⊥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 由于a，b都是非零向量，若eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立，则a与b需要满足共线同向．
4．已知a，b为不共线的非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3a－3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案 B
解析 由于a，b为不共线的非零向量，根据向量共线定理，向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，向量eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))显然不共线，A，C错误；eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线，B正确；eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋13b，显然和eq \(CD,\s\up6(→))也不共线，D错误．故选B.
5．(2023·新乡模拟)如图，在矩形ABCD中，O，F分别为CD，AB的中点，在下列选项中，使得点P位于△AOF内部(不含边界)的是( )
A.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))B.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OF,\s\up6(→))D.eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))
答案 D
解析 对于A，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))的终点即为点F；对于B，eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))的终点在线段OF的右侧；对于C，eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OF,\s\up6(→))的终点在线段OA的左侧；对于D，－eq \f(1,4)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))＋\(OA,\s\up6(→))))，其终点位于△AOF内部．故选D.
6．(2023·衡水二中高三一模)在正方形ABCD中，E在CD上且有eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，AE与对角线BD交于点F，则eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))
答案 C
解析 如图，正方形ABCD中，eq \(CE,\s\up6(→))＝2eq \(ED,\s\up6(→))，则DE＝eq \f(1,3)CD＝eq \f(1,3)AB，因为AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，则eq \f(EF,AF)＝eq \f(DE,BA)＝eq \f(1,3)，故eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)).故选C.
7．(2023·大连模拟)在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ＝( )
A．1 B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 如图所示，由题意知，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，设eq \(DP,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋xeq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋x(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)xeq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(1－x)eq \(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq \f(2,3)x，λ＝eq \f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq \f(2,3)(1－x)＋eq \f(2,3)x＝eq \f(2,3).
8．(2023·海口高三月考)点P是菱形ABCD内部一点，若2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是( )
A．6 B．8
C．12 D．15
答案 A
解析 如图，设AB的中点为E，BC的中点为F，因为2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，即2eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则4eq \(PE,\s\up6(→))＋2eq \(PF,\s\up6(→))＝0，即eq \(PF,\s\up6(→))＝－2eq \(PE,\s\up6(→))，则S△PBC＝2S△PBF＝2×eq \f(2,3)S△BEF＝eq \f(4,3)×eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S菱形ABCD＝eq \f(1,6)S菱形ABCD，所以菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是6.故选A.
二、多项选择题
9．(2023·丹东月考)下列各式中结果为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
C.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
答案 BD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，A不正确；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，B正确；eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，C不正确；eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0，D正确．
10．(2023·福清高三模拟)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC的面积的eq \f(1,2)
答案 ACD
解析 对于A，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))，即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))，则M是边BC的中点，所以A正确；对于B，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；对于C，如图，设BC的中点为D，则eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，由重心性质可知C正确；对于D，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)⇒2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1.设eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC的面积的eq \f(1,2)，所以D正确．故选ACD.
11.如图所示，B是AC的中点，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，下列结论中正确的是( )
A．当P是线段CE的中点时，x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(9,4)
B．当x＝－eq \f(1,2)时，y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
C．若x＋y为定值2，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．x－y的最大值为－1
答案 CD
解析 当P是线段CE的中点时，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EP,\s\up6(→))＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝3eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(－2eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(5,2)eq \(OB,\s\up6(→))，故A错误；如图1，当x＝－eq \f(1,2)时，令eq \(OF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))⇔eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))⇔eq \(FP,\s\up6(→))＝yeq \(OB,\s\up6(→))⇔eq \(FP,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，①当P在点M时，则△OAB∽△FAM，∴eq \f(OB,FM)＝eq \f(OA,FA)＝eq \f(2,3)，∴FM＝eq \f(3,2)OB，即y＝eq \f(3,2).②当P在点N时，∵eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(FN,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(7,2)eq \(OB,\s\up6(→))，即y＝eq \f(7,2)，∴y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(7,2)))，故B错误；如图2，当x＋y＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)·2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)·2eq \(OB,\s\up6(→))，令eq \(OH,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OK,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(x,2)eq \(OH,\s\up6(→))＋eq \f(y,2)eq \(OK,\s\up6(→))，∵eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝1，∴P，H，K三点共线，且HK交CD于I，HK∥BC，∴点P的轨迹是线段KI，故C正确；由图可知x≤0，y≥1，当x＝0，y＝1时，x－y取得最大值－1，故D正确．故选CD.
三、填空题
12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________．
答案 直角三角形
解析 因为eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，即eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，故eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，所以△ABC为直角三角形．
13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由题意可求得AD＝1，CD＝eq \r(3)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→)).∵点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，∴eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(0<λ<1)．∵eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))，又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋2μeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2μ,λ)eq \(DE,\s\up6(→))，∴eq \f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq \f(λ,2).∵0<λ<1，∴0<μ14．(2023·浙江高三模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则|eq \(PA,\s\up6(→))|的最大值是________，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的值是________．
答案 5 5
解析 因为PB⊥PD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图，设BD的中点为O，由题意得BD＝5，所以圆O的半径r＝eq \f(5,2)，由圆的性质可得|eq \(PA,\s\up6(→))|max＝2r＝5.由矩形的性质可得O也为AC的中点，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2r＝5.
四、解答题
15．(2024·四川绵阳三台中学月考)已知向量a，b不共线，且eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋λb.
(1)将eq \(AB,\s\up6(→))用a，b表示；
(2)若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))共线，求λ的值．
解 (1)因为eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝3a＋b－(2a－b)＝a＋2b.
(2)因为eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋λb，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))，即2a－b＝t(a＋λb)，
又向量a，b不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝t，,－1＝tλ，))
解得t＝2，λ＝－eq \f(1,2)，即λ的值为－eq \f(1,2).
16.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)证明：B，E，F三点共线．
解 (1)在△ABC中，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,4)(b－a)＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b.
(2)证明：因为eq \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,3)b))，
所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BE,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))与eq \(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．名称
定义
备注
向量
既有eq \x(\s\up1(01))大小又有eq \x(\s\up1(02))方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为eq \x(\s\up1(03))0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于eq \x(\s\up1(04))1个单位的向量
与非零向量a共线的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或eq \x(\s\up1(05))相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任意向量平行(或共线)
相等向量
长度相等且方向eq \x(\s\up1(06))相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向eq \x(\s\up1(07))相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝eq \x(\s\up1(08))b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝eq \x(\s\up1(09))a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝eq \x(\s\up1(10))|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向eq \x(\s\up1(11))相同；当λ＜0时，λa与a的方向eq \x(\s\up1(12))相反；当λ＝0时，λa＝eq \x(\s\up1(13))0
(λ＋μ)a＝eq \x(\s\up1(14))λa＋μa；λ(a＋b)＝eq \x(\s\up1(15))λa＋λb
考向一 平面向量的概念
考向二 平面向量的线性运算
考向三 共线向量定理的应用