高考数学科学创新复习方案提升版第23讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第23讲同角三角函数的基本关系与诱导公式学案（Word版附解析），共18页。
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,2)，α±π的正弦、余弦、正切)).2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sinα,csα)＝tanα.
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：eq \x(\s\up1(01))sin2α＋cs2α＝1．
(2)商数关系：eq \x(\s\up1(02))eq \f(sinα,csα)＝tanα．
2．六组诱导公式
同角三角函数基本关系式的常用变形
(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα；
(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2；
(sinα＋csα)2－(sinα－csα)2＝4sinαcsα；
sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；
sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
1．(人教B必修第三册7.2.3练习A T1(2)改编)若csα＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tanα＝( )
A．－eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4)
C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 由已知得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,9))＝－eq \f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－2eq \r(2).故选C.
2．已知cs31°＝a，则sin239°tan149°的值为( )
A.eq \f(1－a2,a) B.eq \r(1－a2)
C.eq \f(a2－1,a) D．－eq \r(1－a2)
答案 B
解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cs31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq \r(1－a2).
3．(人教B必修第三册第七章复习题A组T6改编)已知tanθ＝2，则eq \f(3sinα＋2csα,4sinα－3csα)＝________．
答案 eq \f(8,5)
解析 ∵tanθ＝2，∴原式＝eq \f(3tanα＋2,4tanα－3)＝eq \f(3×2＋2,4×2－3)＝eq \f(8,5).
4．(人教A必修第一册习题5.2 T12改编)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，则csα＝________．
答案 eq \f(\r(5),5)
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sinα＞0，csα＞0，∵tanα＝2＝eq \f(sinα,csα)，sin2α＋cs2α＝1，∴csα＝eq \f(\r(5),5).
5．(人教A必修第一册5.3例4改编)化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)cs(2π－α)的结果为________．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sinα,csα)(－sinα)csα＝－sin2α.
多角度探究突破
角度 常规问题
例1 (1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)(sinα≠0)，则csα＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 由三角函数定义，得tanα＝eq \f(3,2sinα)，所以eq \f(sinα,csα)＝eq \f(3,2sinα)，则2(1－cs2α)＝3csα，所以(2csα－1)(csα＋2)＝0，则csα＝eq \f(1,2).
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq \f(1,2)，则sinθ－csθ＝________．
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinθ>0，csθ>0，又因为tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝eq \f(1,2)，则csθ＝2sinθ，且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq \f(\r(5),5)或sinθ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－csθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq \f(\r(5),5).
利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型
1.(2023·长郡十八校联盟联考)已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且csα＋3sinα＝0，则b－3a＝( )
A．－7 B．－5
C．5 D．7
答案 A
解析 因为csα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－csα，所以tanα＝－eq \f(1,3)，又因为tanα＝eq \f(a,－1)＝eq \f(2,b)，所以a＝eq \f(1,3)，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.
2．(2024·东莞模拟)已知2sin2θ－3sinθ－2＝0，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则csθ的值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则sinθ∈(－1，1)，csθ>0，因为2sin2θ－3sinθ－2＝(2sinθ＋1)·(sinθ－2)＝0，则sinθ＝－eq \f(1,2)，因此csθ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(\r(3),2).故选B.
角度 “1”的变换
例2 (2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则eq \f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋csθ)＝( )
A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
答案 C
解析 解法一：因为tanθ＝－2，所以eq \f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋csθ)＝eq \f(sinθ（sinθ＋csθ）2,sinθ＋csθ)＝sinθ(sinθ＋csθ)＝eq \f(sin2θ＋sinθcsθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5).故选C.
解法二：eq \f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋csθ)＝eq \f(sinθ（sin2θ＋2sinθcsθ＋cs2θ）,sinθ＋csθ)＝sinθ(sinθ＋csθ)＝cs2θ(tan2θ＋tanθ)．由tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝－2，sin2θ＋cs2θ＝1，解得cs2θ＝eq \f(1,5).所以eq \f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋csθ)＝cs2θ(tan2θ＋tanθ)＝eq \f(1,5)×(4－2)＝eq \f(2,5).故选C.
对于含有sin2α，cs2α，sinαcsα的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2α＋cs2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子，从而求解．
(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2)，则eq \f(sin2α,1－3sinαcsα)＝________．
答案 －4
解析 因为角α的终边上有一点P(1，2)，所以tanα＝2.所以eq \f(sin2α,1－3sinαcsα)＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α－3sinαcsα)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1－3tanα)＝eq \f(22,22＋1－3×2)＝－4.
角度 sinx＋csx，sinx－csx，sinxcsx之间的关系
例3 (2023·济南模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sinα＋csα＝eq \f(\r(5),5)，则tanα的值为________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵sinα＋csα＝eq \f(\r(5),5)，∴sin2α＋cs2α＋2sinαcsα＝eq \f(1,5)，∴sinαcsα＝－eq \f(2,5)＜0，∴sin2α＋cs2α－2sinαcsα＝eq \f(9,5)＝(sinα－csα)2，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴sinα＜0，csα＞0，∴csα－sinα＝eq \f(3\r(5),5)，∴sinα＝－eq \f(\r(5),5)，csα＝eq \f(2\r(5),5)，∴tanα＝－eq \f(1,2).
(1)已知asinx＋bcsx＝c可与sin2x＋cs2x＝1联立，求得sinx，csx.
(2)sinx＋csx，sinx－csx，sinxcsx之间的关系为
(sinx＋csx)2＝1＋2sinxcsx，
(sinx－csx)2＝1－2sinxcsx，
(sinx＋csx)2＋(sinx－csx)2＝2.
因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
(2024·青岛调研)若sinθ＋csθ＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(17,18)
C.eq \f(8,9) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 由sinθ＋csθ＝eq \f(2\r(3),3)，平方得1＋2sinθcsθ＝eq \f(4,3)，∴sinθcsθ＝eq \f(1,6)，∴sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,18).故选B.
例4 (1)(2023·北京市八一中学模拟)若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是( )
A．sin(π＋α) B．cs(π－α)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))
答案 D
解析 因为角α的终边在第三象限，所以sinα0；对于C，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα>0；对于D，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－eq \r(1－cs2（75°＋α）)＝－eq \f(12,13).所以sin(195°－α)＋cs(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cs(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cs(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cs[90°－(75°＋α)]＝－cs(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－eq \f(5,13)－eq \f(12,13)＝－eq \f(17,13).
利用诱导公式化简求值的基本步骤
提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等．
1.(2024·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(2),6) D.eq \f(5\r(2),6)
答案 A
解析 ∵0