高考数学科学创新复习方案提升版第1讲集合学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第1讲集合学案（Word版附解析），共19页。

[课程标准]1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
1．集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：eq \x(\s\up1(01))确定性、eq \x(\s\up1(02))互异性、eq \x(\s\up1(03))无序性．
(2)元素与集合的关系是eq \x(\s\up1(04))属于或eq \x(\s\up1(05))不属于两种，用符号eq \x(\s\up1(06))∈或eq \x(\s\up1(07))∉表示．
(3)集合的表示法：eq \x(\s\up1(08))列举法、eq \x(\s\up1(09))描述法、eq \x(\s\up1(10))图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质：(A∪B)⊇A；(A∪B)⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A.
(2)交集的性质：(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A.
(3)补集的性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U.
1．交集与并集的转化
(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
2．子集个数
若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
3．元素个数
用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．(2023·银川模拟)下列五个式子：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}中，正确的是( )
A．②④⑤ B．②③④⑤
C．②④ D．①⑤
答案 A
解析 ①错误，应改为a∈{a}；②正确；③错误，应改为{a}{a，b}；④正确；⑤正确．
2．(2024·重庆月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
答案 D
解析 因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.
3．(人教A必修第一册习题1.2 T5(1)改编)设集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，则实数x的值组成的集合为( )
A．{5} B．{1}
C．{0，5} D．{0，1}
答案 C
解析 因为M＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以实数x的值组成的集合为{0，5}．故选C.
4．已知集合A＝{x|－10}，则(∁RA)∩(∁RB)＝________．
答案 {x|x≤－1}
解析 因为A∪B＝{x|x>－1}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝∁R(A∪B)＝{x|x≤－1}．
5．(人教B必修第一册习题1－1B T6改编)已知A＝[－2，1]，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，则实数p的取值范围是________．
答案 [6，＋∞)
解析 因为A＝[－2，1]，所以∁RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因为B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，所以－eq \f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以实数p的取值范围是[6，＋∞)．
例1 (1)(2023·秦皇岛模拟)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 C
解析 因为A＝{1，2，3}，根据x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6个元素．故选C.
(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，则下列结论中元素与集合的关系正确的是( )
A．2∈A，且2∈BB．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B
答案 C
解析 由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2)∉A，(3，10)∉A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函数y＝x2＋1图象上的点构成的集合，所以2∉B，因为y＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.
(3)(2024·广东实验中学月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
答案 D
解析 集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝eq \f(2,3)，集合A中只有一个元素为eq \f(2,3)；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq \f(9,8).故选D.
理解集合的含义的两个关注点
(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．
(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么．
注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
1.(多选)(2024·长沙一中阶段考试)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∉A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
答案 BCD
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－eq \f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．
2．(2023·徐州模拟)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝( )
A．{0，1} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
答案 C
解析 由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，对于集合B，由x－1∈A，得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，又x∈N*，所以x＝1，2，3，即B＝{1，2，3}．
3．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2023a的值为________；若1∉A，则a不可能取得的值为________．
答案 1 －2，－1，0，eq \f(－1＋\r(5),2)，eq \f(－1－\r(5),2)
解析 若1∈A，a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1，0，1}，不符合集合中元素的互异性；(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2，1，3}，符合集合中元素的互异性，当a＝－2时，A＝{0，1，1}，不符合集合中元素的互异性；a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不符合集合中元素的互异性．因此a＝0，20230＝1.若1∉A，a＋2≠1，解得a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1，解得a≠－1，－2.又a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3互不相等，由a＋2≠(a＋1)2得a≠eq \f(－1±\r(5),2)；由a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；由(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2.综上，a的值不可能为－2，－1，0，eq \f(－1＋\r(5),2)，eq \f(－1－\r(5),2).
例2 (1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
答案 A
解析 由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜\f(a,2)))，若A⊆B，则eq \f(a,2)＞1，所以a＞2.
(2)已知集合A＝{x|y＝eq \r(x－1)＋2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a－1)，1A．A＝B B．A⊆B
C．BA D．AB
答案 C
解析 因为A＝{x|y＝eq \r(x－1)＋2}＝{x|x≥1}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a－1)，1(3)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
①若B⊆A，则实数a的取值范围为________；
②若A⊆B，则实数a的取值范围为________．
答案 ①{a|a≤－1或a＝1} ②{1}
解析 由题意，得A＝{－4，0}．①∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．当B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件；当B＝{－4，0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．②∵A⊆B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.
1．判断两集合间关系的三种方法
2．由集合间的关系求参数的解题策略
(1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性．
(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到．
提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝( )
A．2 B．1
C．eq \f(2,3) D．－1
答案 B
解析 因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.
2．(2024·合肥模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0A．3 B．4
C．7 D．8
答案 C
解析 由已知得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，因为AC⊆B，所以集合C的个数为23－1＝7.故选C.
3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(m<－2或0≤m≤\f(5,2)))))
解析 A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合题意；当B≠∅时，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq \f(5,2).综上，实数m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).
多角度探究突破
角度 集合间的交、并、补运算
例3 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
答案 C
解析 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM
C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN
答案 A
解析 由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1集合基本运算的求解策略
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
(3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观．
1.(2023·运城四模)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))，B＝{y|y＝－|x－3|－2}，则A∪B＝( )
A．∅ B．(－∞，－2]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))＝{x|x<0}，B＝{y|y＝－|x－3|－2}＝{y|y≤－2}，则A∪B＝(－∞，0)．故选C.
2．(2024·广州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．(－2，0] B．[－2，0]
C．[－2，0]∪{4} D．(－2，0]∪{4}
答案 D
解析 因为A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，所以A∪B＝{x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤－2}＝{x|x≥4或x≤0}，A∩B＝{x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤－2}＝{x|x>4或x≤－2}．由题意可知阴影部分表示的集合为[∁U(A∩B)]∩(A∪B)，因为∁U(A∩B)＝{x|－23．已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
答案 B
解析 解法一：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B.
解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M.故选B.
角度 利用集合运算求参数
例4 (1)(2024·无锡模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
C．(0，3] D．(0，3)
答案 C
解析 由集合A＝{x∈Z|－1(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2)))))
解析 A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①若B＝∅，则2a≥a＋3，解得a≥3，符合题意；②若B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq \f(10,3)或eq \f(1,2)≤a<3，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2))))).
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1.已知集合A＝{x|3x2－2x－5<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3)))
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
答案 C
解析 依题意A＝{x|3x2－2x－5<0}＝{x|(3x－5)(x＋1)<0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－12．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝________．
答案 －5
解析 P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.
角度 集合的新定义问题
例5 (2023·青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．
答案 0或1或4
解析 因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(1,a)))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq \f(1,\r(a))＝1或eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.
解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
(2024·泰安期中)对于非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
答案 D
解析 设集合A＝{1，2，3，4，5}，则该集合中所有元素的算术平均数E(A)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足B⊆A，且E(B)＝3即可．据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个．故选D.
课时作业
一、单项选择题
1．(2024·武汉二中质检)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为( )
A．3 B．1
C．－3 D．－1
答案 C
解析 若a＝1，则2a－1＝1，不满足集合元素的互异性；若2a－1＝1，则a＝1，不满足集合元素的互异性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和为－3.故选C.
2．(2023·四省高考适应性测试)设集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B⊆A，A∩C＝{2}，则a＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 B
解析 因为B⊆A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，则A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此时A∩C＝{2}，符合题意；若a＝3，则A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此时A∩C＝{2，3}，不符合题意．故选B.
3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅
答案 A
解析 因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.
4．(2023·南京一模)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x－a)<0))))，若A∩N*＝∅，则实数a的取值范围是( )
A．{1} B．(－∞，1)
C．[1，2] D．(－∞，2]
答案 D
解析 解法一：由题意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，当a>1时，A＝{x|1解法二：当a＝2时，A＝{x|15．(2023·青岛二模)已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列结论中一定成立的是( )
A．B⊆A B．A∪B＝R
C．A∩B＝∅ D．A＝∁RB
答案 C
解析 ∵A∩(∁RB)＝A，∴A⊆∁RB，用Venn图表示如右．由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故选C.
6．(2024·郑州一中质检)已知集合M＝{x|x2－3x<0}，N＝{x|lg2x<4}，且全集U＝[－1，20]，则U＝( )
A．M∩(∁UN) B．N∩(∁UM)
C．M∪(∁UN) D．N∪(∁UM)
答案 D
解析 由已知得集合M＝(0，3)，N＝(0，16)，则M∩(∁UN)＝∅，N∩(∁UM)＝[3，16)，M∪(∁UN)＝[－1，3)∪[16，20]，N∪(∁UM)＝[－1，20]＝U.故选D.
7．(2024·潍坊模拟)设集合M＝{x∈Z|x2<100<2x}，则M的所有子集的个数为( )
A．3 B．4
C．8 D．16
答案 C
解析 解不等式x2<100，得－10lg2100，由于lg2268．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
答案 B
解析 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn图，如图所示．由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B.
二、多项选择题
9．(2024·无锡一中月考)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩(∁RB)＝{x|2答案 BD
解析 ∵A＝{x|－12}，∴A∪(∁RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(∁RB)＝{x|210.(2023·济南模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C)
C．A∩∁U(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C)
答案 AD
解析 图中阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)．故选AD.
11．设集合A＝{x|x＝m＋eq \r(3)n，m，n∈N*}，若对于任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是( )
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
答案 AC
解析 由题意可设x1＝m1＋eq \r(3)n1，x2＝m2＋eq \r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq \r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝(m1－m2)＋eq \r(3)(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq \r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；eq \f(x1,x2)＝eq \f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，当eq \f(m1,m2)＝eq \f(n1,n2)＝λ(λ>0)时，eq \f(x1,x2)∉A，所以除法不满足条件，D错误．
三、填空题
12．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．
答案 2
解析 显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去，∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2.
13．(2024·西安铁一中月考)已知集合A＝{x∈R|
|x＋2|<3}，B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－514．(2024·南昌二中质检)已知集合A＝{x|y＝lg (a－x)}，B＝{x|1答案 [2，＋∞)
解析 由已知可得A＝(－∞，a)，∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁RB)∪A＝R，∴a≥2.
四、解答题
15．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝\r(\f(2x－1,x＋1)－1)))))，B＝{x|－1≤x＋a≤2}．
(1)求集合A；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 (1)由eq \f(2x－1,x＋1)－1≥0，
即eq \f(x－2,x＋1)≥0得x<－1或x≥2，
所以集合A＝{x|x<－1或x≥2}．
(2)集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}＝{x|－1－a≤x≤2－a}，由B⊆A得2－a<－1或－1－a≥2，解得a>3或a≤－3，所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(3，＋∞)．
16．(2023·临沂模拟)在①A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题：
设集合________，B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)<0}(m≠1)，
(1)当m＝－1时，求A∩B，B∪(∁RA)；
(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝－1时，B＝{x|(x＋2)(x－2)<0}＝{x|－2若选①：eq \f(4,x＋1)>1⇔eq \f(4,x＋1)－1>0⇔eq \f(3－x,x＋1)>0⇔(x－3)(x＋1)<0，解得－1所以A＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1∁RA＝{x|x≤－1或x≥3}，
B∪(∁RA)＝{x|x<2或x≥3}．
若选②：x2－2x－3<0⇔(x－3)(x＋1)<0，
解得－1下同选①.
若选③：由|x－1|<2得－2解得－1下同选①.
(2)由(1)知A＝{x|－1因为m≠1，所以m2＋1－2m＝(m－1)2>0，即m2＋1>2m，B＝(2m，m2＋1)，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m≥－1，,m2＋1≤3，))解得－eq \f(1,2)≤m≤eq \r(2).
所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))∪(1，eq \r(2)]．集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \x(\s\up1(11))N
eq \x(\s\up1(12))N*(或N＋)
eq \x(\s\up1(13))Z
eq \x(\s\up1(14))Q
eq \x(\s\up1(15))R
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
构成两个集合的元素是eq \x(\s\up1(16))一样的
eq \x(\s\up1(17))A⊆B且eq \x(\s\up1(18))B⊆A⇔A＝B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
eq \x(\s\up1(19))A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉A
eq \x(\s\up1(20))AB或BA
结论
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集
A⊆B，B⊆C⇒eq \x(\s\up1(21))A⊆C
空集是eq \x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq \x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B(B≠∅)
并集
交集
补集
图形
符号
A∪B＝eq \x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝eq \x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}
eq \a\vs4\al(∁UA)＝eq \x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x∉A}
考向一 集合的含义及表示
考向二 集合间的基本关系
考向三 集合的基本运算