高考数学科学创新复习方案提升版第15讲函数模型的应用学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第15讲函数模型的应用学案（Word版附解析），共15页。


1．常见的函数模型
2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
1．(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.
2．(人教B必修第一册3－3B T2改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．故选D.
3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是( )
A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x
C．y＝x1000 D．y＝1000·2x
答案 A
解析 在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A.
4．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(05．(人教A必修第一册习题4.3 T8改编)若某地2023年的GDP比2013年翻一番，则此地GDP平均每年的增长率是________．
答案 2eq \s\up7(\f(1,10))－1
解析 设平均每年的增长率为x，所以(1＋x)10＝2，即1＋x＝2eq \s\up7(\f(1,10))，则x＝2eq \s\up7(\f(1,10))－1，所以平均每年的增长率应是2eq \s\up7(\f(1,10))－1.
6．(人教A必修第一册习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000米，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为x，研究中发现v＝0.5lg3eq \f(x,100)(x≥100)，在逆流而上的过程中，某两条鲑鱼的游速v1，v2满足v1＋v2＝4v1v2，则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为________个单位．
答案 600
解析 由v＝0.5lg3eq \f(x,100)(x≥100)，可得x1＝100×32v1，x2＝100×32v2，由v1＋v2＝4v1v2可得eq \f(1,v1)＋eq \f(1,v2)＝4，v1＋v2＝eq \f(1,4)(v1＋v2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,v1)＋\f(1,v2)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v2,v1)＋\f(v1,v2)＋2))≥eq \f(1,4)×(2＋2)＝1，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以x1＋x2＝100×32v1＋100×32v2≥100×2eq \r(32（v1＋v2）)≥200×3＝600，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为600个单位．
例1 (多选)(2023·葫芦岛一模)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是( )
A．在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 km
C．大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹
答案 AD
解析 由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，图象上升，故在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8 km到2.4 km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．故选AD.
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示，下列四个论断一定正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低D．4点到6点不进水不出水
答案 AC
解析 由甲、乙两图知，每个进水口的进水速度为1，每个出水口的出水速度为2，所以0点到3点只进水不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误．
例2 (2023·济南模拟)生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C＝0.5eq \f(t,k)(k为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于( )
参考数据：lg20.85≈－0.23.
参考时间轴：
A．战国 B．汉
C．唐 D．宋
答案 C
解析 当t＝5730时，C＝eq \f(1,2)，故0.5＝0.5eq \s\up7(\f(5730,k))，解得k＝5730，所以C＝0.5eq \s\up7(\f(t,5730))，由题意得0.5eq \s\up7(\f(t,5730))＝0.85，eq \f(t,5730)＝－lg20.85≈0.23，解得t≈1318，而2022－1318＝704，可推断该文物属于唐．故选C.
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．
(2024·海南文昌中学模拟)荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为(参考数据：10eq \s\up7(\f(1,3))≈2.154，10eq \s\up7(\f(1,4))≈1.778)( )
A．56.2% B．77.8%
C．115.4% D．118.4%
答案 C
解析 由题意，可得lg (100X0)＝6lg (1＋p)＋lg X0，即lg 102＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，所以2＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，可得1＋p＝10eq \s\up7(\f(1,3))≈2.154，解得p≈1.154＝115.4%.故选C.
例3 (2024·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).
由已知得f(1)＝k1＝eq \f(1,8)，g(1)＝k2＝eq \f(1,2)，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资股票等风险型产品x万元，则投资债券等稳健型产品(20－x)万元．
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝eq \f(20－x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(x)＝eq \f(－x＋4\r(x)＋20,8)(0≤x≤20)．
所以当eq \r(x)＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．
故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时获得最大收益，为3万元．
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
1.(2023·无锡三模)“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过________天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 11≈1.041)．( )
A．82 B．84
C．86 D．88
答案 B
解析 设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，可得1.2x＝1.1x×1500，两边取对数得xlg 1.2＝xlg 1.1＋lg 1500，x(lg 12－1)＝x(lg 11－1)＋lg 15＋2，x＝eq \f(lg 15＋2,lg 12－lg 11).又因为lg 15＝lg (3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋1－lg 2≈0.477＋1－0.301＝1.176，lg 12＝lg 3＋lg 4＝lg 3＋2lg 2≈0.477＋0.602＝1.079，所以x＝eq \f(lg 15＋2,lg 12－lg 11)≈eq \f(1.176＋2,1.079－1.041)＝eq \f(3.176,0.038)≈84.故选B.
2.(2024·福州八中月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，∵x＋eq \f(25,x)≥2eq \r(x·\f(25,x))＝10，当且仅当x＝5时等号成立，∴为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.
课时作业
一、单项选择题
1．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 设仓库建在离车站x千米处，则y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．
2．(2023·襄阳四模)双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n＝lgeq \s\d7(\f(3,2))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为( )
A．28 h B．28.5 h
C．29 h D．29.5 h
答案 B
解析 根据题意可得C＝57·10n，则当I＝15 A时，57·10n＝15n·t，所以t＝57·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)＝57×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))lgeq \s\d7(\f(3,2))2＝57×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))lgeq \s\d7(\f(2,3))eq \f(1,2)＝57×eq \f(1,2)＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h．故选B.
3．(2023·德州三模)2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq \s\up7(\f(G,G0))，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A．16 B．17
C．18 D．19
答案 C
解析 由题意知，初始学习率L0＝0.8，衰减速度G0＝12，所以L＝0.8Deq \s\up7(\f(G,12))，因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5，可得0.5＝0.8Deq \s\up7(\f(12,12))，解得D＝eq \f(5,8)，所以L＝0.8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))，令0.8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))＜0.4，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))eq \s\up7(\f(G,12))＜eq \f(1,2)，则eq \f(G,12)lg eq \f(5,8)＜lg eq \f(1,2)，可得G＞eq \f(12lg \f(1,2),lg \f(5,8))＝eq \f(－12lg 2,lg 5－3lg 2)≈eq \f(－12×0.3010,（1－0.3010）－3×0.3010)≈17.7，所以所需的训练迭代轮数至少为18.故选C.
4．(2023·娄底模拟)化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmhltz方程和Van't Hff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln eq \f(K1,K2)＝( )
A.eq \f(ΔH（T1－T2）,RT1T2) B.eq \f(ΔH（T2－T1）,RT1T2)
C.eq \f(ΔS（T1－T2）,R) D.eq \f(ΔS（T2－T1）,R)
答案 A
解析 温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ΔH－T1ΔS＝－RT1ln K1，,ΔH－T2ΔS＝－RT2ln K2，))则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln K1＝\f(T1ΔS－ΔH,RT1)，,ln K2＝\f(T2ΔS－ΔH,RT2)，))则有ln eq \f(K1,K2)＝ln K1－ln K2＝eq \f(T1ΔS－ΔH,RT1)－eq \f(T2ΔS－ΔH,RT2)＝eq \f(ΔH（T1－T2）,RT1T2).故选A.
二、多项选择题
5.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(7,20)x＋1，0A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 ABC
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1eq \f(1,5)，故D错误．
6．(2023·绍兴模拟)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则( )
A．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势
B．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化
C．当k＝eq \f(1,3)，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D．当k＝－eq \f(1,3)，Pn≤eq \f(1,2)P0时，n的最小值为3
答案 AC
解析 当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(n)≥2P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(n)≥2，所以n≥lgeq \s\d7(\f(4,3))2(n∈N)，lgeq \s\d7(\f(4,3))2∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k＝－eq \f(1,3)，Pn＝P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,2)P0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,2)，所以n≥lgeq \s\d7(\f(3,2))eq \f(1,2)(n∈N)，lgeq \s\d7(\f(2,3))eq \f(1,2)＝lgeq \s\d7(\f(3,2))2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC.
三、填空题
7．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是________，最低种植成本是________元/100 kg.
答案 120 80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（60－120）2＋m＝116，,a（100－120）2＋m＝84，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
8．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为________．
(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)
答案 6
解析 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90eq \f(ln 0.6,ln 0.9)≈eq \f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.
四、解答题
9．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x2＋80x，0＜x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)由题意可得，当0W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；
当40W(x)＝200x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3600,x)))＋1800，
所以W(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x2＋120x－300，0(2)若0所以当x＝30时，W(x)max＝1500.
若40W(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq \r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680，
当且仅当x＝eq \f(3600,x)，即x＝60时，W(x)max＝1680.
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．
10．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：
给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．
解 (1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))
∴y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))
∴y＝eq \f(\r(2),4)·(eq \r(2))x＝2eq \f(x－3,2).
当x＝9时，y＝2eq \f(9－3,2)＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝lga（3＋b），,2＝lga（5＋b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))
∴y＝lg2(x－1)．
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令lg2(x－1)＝6，则x＝65.
∵年利润率为eq \f(6,65)<10%，
∴该企业要考虑转型．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
eq \x(\s\up1(01))单调递增
eq \x(\s\up1(02))单调递增
eq \x(\s\up1(03))单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(04))y轴平行
随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(05))x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgaxx
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
考向一 利用函数图象刻画实际问题
考向二 已知函数模型解决实际问题
考向三 构建函数模型解决实际问题
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
年份
2019
2020
2021
2022
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…