2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中学士山学校八年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区龙马高中学士山学校八年级（上）第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．1cm，4cm，2cm
C．1cm，2cm，3cmD．6cm，2cm，3cm
2．（3分）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（ ）
A．6B．8C．5D．10
4．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝65°，则∠DCE度数为（ ）
A．20°B．30°C．18°D．15°
5．（3分）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．AE＝ADC．BD＝CED．BE＝CD
6．（3分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．25cm
7．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠2＝30°，那么∠A＝（ ）
A．40°B．30°C．70°D．35°
8．（3分）小明不小心把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃（ ）
A．①B．②C．③D．①和②
9．（3分）如图，在△ABD和△ACE中．AB＝AC，AD＝AE，则需补充条件（ ）
A．∠EAD＝∠BACB．∠B＝∠CC．∠D＝∠ED．∠EAB＝∠CAD
10．（3分）如图，OA＝OC，OB＝OD（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．6cmB．12cm
C．12cm或6cmD．以上答案都不对
12．（3分）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，则在图（2）中，全等三角形共有（ ）
A．5对B．4对C．3对D．2对
二、填空题（每空3分，共18分）
13．（3分）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
14．（3分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，E，F是垂足，AE＝CF （用字母表示）
15．（3分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝15°，∠2＝25° ．
16．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠1的度数为 ．
17．（3分）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
18．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF、CE，下列说法：
①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE
其中正确的是 ．
三、解答题（共66分）
19．（10分）已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把三角形分为两个三角形，两个三角形的周长的差是3cm
20．（8分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE
21．（8分）已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．
22．（8分）已知，如图，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
23．（8分）如图，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点∠A．
说明∠P＝90°+∠A如下，
∵BP，CP是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝，
∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°，①
∴∠1+∠2＝90°﹣∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+∠A．
请你仔细阅读理解上面的说明过程，完成下列问题：
（1）上述说明过程中步骤①的依据是 ．
（2）结合图，证明∠M+∠P＝180°．
24．（10分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
25．（14分）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+2＞8；
B中，1+2＜8；
C中，1+2＝2；
D中，2+3＜8．
故选：A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2．【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性．
【解答】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，防止安装变形；
B、活动梯子，三边和三角固定，是利用三角形的稳定性；
C、伸缩门的结构是平行四边形，是利用四边形的不稳定性；
D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，防止坐上变形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性．
3．【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的内角和与外角和定理是关键．
4．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BCE的度数，由CD⊥AB，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，再将其代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD中，即可求出∠DCE度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣25°﹣65°＝90°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠ACB＝．
∵CD⊥AB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BCD＝90°，∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣25°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
5．【分析】根据全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、当∠B＝∠C时；
B、当AE＝AD时；
C、当BD＝CE时，
利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、当BE＝CD时；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．【分析】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
7．【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理进行转换，得∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【解答】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣4（∠3+∠4）．
又∵∠5+∠4＝180°﹣∠A′＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠7＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∠A＝（∠7+∠2）÷2＝35°．
故选：D．
【点评】此题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．
8．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．【分析】补充∠EAD＝∠BAC，由∠EAD＝∠BAC可根据等式的性质得到∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，再加上条件AB＝AC，AD＝AE可用“SAS”可以判定△ABD≌△ACE．
【解答】解：补充∠EAD＝∠BAC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中M
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．【分析】根据SAS可证明△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，则∠BAC＝∠DCA，∠CAD＝∠BCA，AB＝CD，AD＝BC，利用SSS可证明△ABC≌△CDA，△ABD≌△BDC．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，
∴∠BAC＝∠DCA，∠CAD＝∠BCA，AD＝BC，
∴△ABC≌△CDA，△ABD≌△BDC．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意：要证明两个三角形全等，至少要有一条边．
11．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12cm，P、C重合．
【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），
即AP＝BC＝6cm；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，
∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP＝AC＝12cm．
综上所述，AP＝6cm或12cm．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
12．【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【解答】解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△AGF≌△A′EF，
△ACE≌△A′CG，共4对．
故选：B．
【点评】本题考查图形的旋转和三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度不大．
二、填空题（每空3分，共18分）
13．【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．构建方程组证明∠GMC＝2∠E即可解决问题．
【解答】解：如图，延长DC交BG于M，∠CGE＝∠MGE＝y．
则有，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．【分析】根据已知条件知△ABF和△CDE都是直角三角形，所以根据直角三角形全等的判定定理HL可以证得它们全等．
【解答】解：如图，∵DE⊥AC，AE＝CF，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，AE+EF＝CF+EF．
∴在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
故答案为：HL（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．注意，此题属于开放题，也可以根据全等三角形的判定定理SAS、SSS证得它们全等．
15．【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠6+∠ABD＝25°+15°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE．
16．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠2＝∠A+∠C，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，
在△BDE中，∠B+∠D+∠1+∠2＝180°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠6＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记定理与性质并准确识图是解题的关键．
17．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，
∴∠α＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
18．【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE＝BF，∠F＝∠CED，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD＝CD，点A到BD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为x，则底边长为24﹣2x，再根据两个三角形的周长差是3求出x的值即可．
【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，点D为AC的中点，
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD＝，BC＝24﹣（AB+AC）＝24﹣5x．
①当△ABD的周长大于△BCD的周长时，
∵AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝3，
∴AB﹣BC＝3，
即x﹣（24﹣4x）＝3，
解得x＝9，
24﹣2x＝6，
9，6，6能够组成三角形；
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时，
∵BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴BC﹣AB＝5，
即24﹣2x﹣x＝3，
解得x＝7，
24﹣2x＝10，
7，2，10能够组成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为9，底边长为10．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
20．【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠ADE，
∵在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
22．【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
【解答】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
23．【分析】（1）由三角形内角和定理解答即可；
（2）由角平分线的定义可得出，，从而可求出∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，进而由三角形内角和定理求出．再由三角形内角和定理可得∠3+∠4+∠M＝180°，即得出，最后求出∠M+∠P即可．
【解答】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2（∠1+∠5）＝180°，即说明步骤①的依据是三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°；
（2）证明：∵BM，CM是△ABC的外角平分线，
∴，，
∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣4∠4，
∴∠A+（180°﹣2∠7）+（180°﹣2∠4）＝180°，
∴．
∵∠3+∠4+∠M＝180°，
∴；
∴．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题关键．
24．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
25．【分析】（1）先证明△ABD≌△CAE，得出BD＝AE，AD＝CE，从而得出BD＝DE+CE；
（2）再次证明△ABD≌△CAE，得出BD＝AE，AE＝CE，从而得出DE＝BD+CE．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）BD＝DE﹣CE；
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝BD+CE，
∴BD＝DE﹣CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键．