天津市河东区2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份天津市河东区2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版），共15页。

答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！
2．本卷共11小题，每小题5分，共55分.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2. 对于任意实数a，b，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得或，则或；
由，得，则，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 若偶函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义求解即得。
【详解】函数中，，解得或，
由为偶函数，得，
即，
整理得，即，而不恒为0，
所以.
故选：B
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数和对数的运算性质将三个值化简，再利用指数函数的单调性判断即得.
【详解】由，，，
因是增函数，故.
故选：C.
5. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设某人爱好滑冰为事件，某人爱好滑雪为事件，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，在该地的中学生中随机调查一位同学，设选出的同学爱好滑冰为事件，选出的同学爱好滑雪为事件，
由于中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，则,
而同时爱好两个项目的占，即，
则该同学爱好滑该同学也爱好滑冰的概率为．
故选：A．
6. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由已知,
， 故选C.
7. 若，，则的值是（ ）
A. 3B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.
详解】由，得，而，
所以.
故选：A
8. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项可得答案．
【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确；
对于B，若，，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；
对于C，若，，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误；
对于D，若，，则或，又，则或，故D错误．
故选：A．
9. 设函数在区间单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在上单调递减，函数在R上单调递增，
因此函数的单调递减区间是，而函数在区间0,1单调递减，
则，即，解得，所以a的取值范围是.
故选：D
10. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据，与临界值表对照判断.
【详解】解：因为，且，
所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，
即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，
故①②正确；
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确；
故选：D
11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A. 该圆锥的侧面积为B. 该圆锥的体积为
C. 的面积为D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C.
【详解】依题意，，，所以，
对于A，圆锥的侧面积为，故A错误；
对于B，圆锥的体积为，故B错误；
对于D，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，故D正确
对于C，，所以，故C错误；
故选：D
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上.
2．本卷共11小题，共95分.
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.
12. 计算（i为虚数单位）的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算计算即得.
【详解】.
故答案为：
13. 二项式的展开式的常数项是___________．
【答案】7
【解析】
【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.
14. 某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解．
【详解】将个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，
因为，
所以这人成绩的上四分位数是．
故答案为：．
15. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.
【答案】0.6
【解析】
【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.
【详解】由题意知，该群体10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，
所以，
所以或．
由，得，
即，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．
16. 已知正数x，实数y满足，则的最小值为______.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得.
【详解】由正数x，实数y满足，得，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
17. 在平行四边形中，，，，若，设，，则可用，表示为__________；若点F为AD的中点，点P为线段BC上的动点，则的最小值为______．
【答案】 ①. ； ②. ##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求出；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示列式，再利用增函数求出最小值.
【详解】在中，由，得；
由，得是矩形，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系，
则，设，，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：；
18. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当x∈0,1时，，单调递减，
当x∈1,+∞时，，单调递增，，
因为曲线与在0,+∞上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
三、解答题：本大题共4小题，共60分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中．
（1）若，且，求边长c；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
由正弦定理得，即，
，
由于，所以，则，
由正弦定理得.
【小问2详解】
依题意，，
由正弦定理得，
由于，，所以，
由于，所以为锐角，所以，
则，
，
由正弦定理得，
所以.
20. 如图，在四棱锥中，底面
（1）若在侧棱上，且，证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）棱上取一点，使，证明四边形是平行四边形得到答案.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，则平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】（1）在棱上取一点，使，，
，则四边形是平行四边形，则.
平面，平面，平面.
(2)建立如图所示空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为则，
平面的一个法向量为，.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.
【小问1详解】
解：对于函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的对称轴的方程为.
【小问2详解】
解：因为函数在存在零点，
即方程在上有解，
当时，可得，可得，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
22. 已知函数．
（1）当时，求曲线y=fx在点处的切线方程．
（2）若函数在0,+∞单调递增，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339