云南省大理白族自治州民族中学2025届高三上学期开学数学试题（解析版）

这是一份云南省大理白族自治州民族中学2025届高三上学期开学数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目的要求）
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数除法运算求解.
详解】.
故选:D.
2. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，根据集合的包含关系求解即可.
【详解】由解得，所以，
由解得，所以，
所以集合是集合的真子集，
所以是的必要不充分条件，
故选：C
3. 已知向量，，且则向量的夹角为（ ）
A. 0B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】对两边同平方得，则解出，则得到答案.
【详解】由，得，
又，，整理得：，
因为，所以的夹角为，
故选：C.
4. 将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（ ）
A. 平均数B. 方差
C. 极差D. 众数的个数
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数、方差、极差、众数的意义判断即得.
【详解】依题意，，的平均数，
因此两组数的平均数不同，A是；
，的方差，
因此两组数的方差相同，B不是；
由于数据中的最大与最小，同加9后，在数据中对应的数仍是最大与最小，
因此两组数极差相同，C不是；
显然数据中出现次数最多的数，同加9后，在数据中对应的数出现次数最多，
因此两组数的众数的个数不变，D不是.
故选：A
5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B，根据可能平行、可能相交且不垂直、异面且不垂直判断；对于C，根据线面垂直的性质定理判断；对于D，根据或异面判断．
【详解】对于A，，则可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；
对于B，，则可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确；
对于C，若，根据线面垂直的性质定理可知，故C正确；
对于D，若，则或异面，故D不正确．
故选：C．
6. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，由题意可得在上恒成立，由此参变分离，结合二次函数的最值即可求得答案.
【详解】因为，所以，
由在上单调递增，得在上恒成立，
即上恒成立，，
即在上恒成立，
当时，二次函数取到最大值，
故，即a的取值范围为，
故选：C
7. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．
【详解】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n，0!=1)，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出后代入得cs1=sin可得答案，即与最接近.
【详解】
所以cs1=
= sin=sin，由于
与最接近，
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全对得6分，部分选对得部分分，选错0分．）
9. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 是的最小正周期B. 关于对称
C. 在的值域为D. 在上递增
【答案】AC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，再根据的性质逐个判断即可
【详解】，
对A，周期为，故A正确；
对B，令，得，所以函数不关于对称，故B不正确；
对C，当时，，所以，即的值域为，故C正确；
对D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确，
故选：AC.
10. 已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，直线AB的斜率为2D. 直线AB过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.
【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．
故选：BD．
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与，的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
11. 观察图象，下列结论错误的有（ ）．
A. 若图中为图象，则在处取极小值
B. 若图中为图象，则有两个极值点
C. 若图中为图象，则在上单调递增
D. 若图中为图象，则的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A：若图为 图象，在左右单调性一致，不是极值；
选项B：若图为 图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值.
选项C: 若图为 图象,根据图像的正负判断的正负，判断单调性.
选项D: 若图为 图象, 根据图像的正负判断的正负,解出的解集.
【详解】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；
选项B：若图为图象， 函数单调递减；
函数单调递增；函数单调递减；
函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；
选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确；
选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致， 的解集为，故D错误；
故答案为：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 等差数列的前项和为，若，，则_____．
【答案】15
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案.
【详解】设，由等差数列的性质可得，
又，则，解得．
故答案为：15
13. 现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______．
【答案】288
【解析】
【分析】利用分步计数原理结合特殊元素优先安排的方法可得答案.
【详解】根据题意，分3步进行：第一步，2名老师分别站两端，有种站法；
第二步，先安排3名男生，有种站法，男生排好后，有4个空位可选；
第三步，将3名女生安排在4个空位中的3个，有种站法，所以不同的站法有．
故答案为：288
14. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】对等号两边分别求导，再赋值，可求得答案、。
【详解】，
等号两边分别求导，得，
令，有，
所以.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的值；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案；
（2）由余弦定理结合已知条件，即可求得答案.
【小问1详解】
因为，所以.
又C为内角，，所以，
显然不满足，即有，
而，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，
，，则，
所以的周长为.
16. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
（1）求和的调和中项；
（2）已知调和数列，，，求的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.
【小问1详解】
设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，
所以，解得：，
故和的调和中项为；
【小问2详解】
依题意，是等差数列，设其公差为，
则，
所以，
故.
17. 如图，在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）求二面角平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质定理可得答案；
（2）利用面面垂直判定定理得平面平面，取，的中点，由面面垂直的性质定理得平面，以为原点，，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由面面角向量求法可得答案.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
由，所以，
由，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
由（1）知平面，又平面，所以平面平面，
由，，所以，
又，所以为正三角形，
取，的中点，则，平面平面，
平面，，则，两两垂直，
以为原点，，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间坐标系；
则，，，，
所以，，，
设n1=x1,y1,z1是平面的一个法向量，
所以即，
令，所以，，即；
设是平面的一个法向量，
所以即，
令，则，，即，
设二面角的平面角为，所以，
二面角平面角的余弦值为.
18. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值：
（2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据所以频率和为1进行计算;
（2）根据分层抽样可得相应组抽取的人数，则服从超几何分布，根据进行计算求解．
【小问1详解】
由频率分布直方图得：.解得；
【小问2详解】
由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列为：
.
19. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程；
（2）先求出直线BF方程，再由及P在椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可.
【小问1详解】
由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：；
【小问2详解】
由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则，
又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，
解得，则，则.
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