青海省西宁市海湖中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份青海省西宁市海湖中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，能正确判断两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数；即可得出答案．
【详解】解：的相反数是，
故选C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. 2a•3a=6aB. （﹣a3）2=a6C. 6a÷2a=3aD. （﹣2a）3=﹣6a3
【答案】B
【解析】
【分析】A、根据单项式乘单项式的方法判断即可；B、根据积的乘方的运算方法判断即可；C、根据整式除法的运算方法判断即可；D、根据积的乘方的运算方法判断即可．
【详解】解：∵2a•3a=6a2， ∴选项A不正确；
∵（﹣a3）2=a6， ∴选项B正确；
∵6a÷2a=3， ∴选项C不正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D不正确
故选：B
【点睛】本题考查整式的除法；幂的乘方；积的乘方；单项式乘单项式．
3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【详解】解：A、，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
4. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.
5. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；
C、主视图是矩形，俯视图均为圆，故C选项错误；
D、主视图为梯形，俯视图为矩形，故D选项错误.
故选：B.
6. 某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A. 1.2，1.3B. 1.3，1.3
C. 1.4，1.35D. 1.4，1.3
【答案】D
【解析】
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
（1.3+1.3）÷2=1.3，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
7. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )
A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°
【答案】A
【解析】
【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE=∠CBE，可得出∠ABC的度数．
【详解】如图，
∵∠CBD=34°，
∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，
由折叠的性质可得
∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°．
故选：A
考点：平行线的性质．
8. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）
A. 103块B. 104块C. 105块D. 106块
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104 ∴这批电话手表至少有105块
考点：一元一次不等式的应用
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法， 原式提取公因式即可得到结果．
【详解】解∶原式，
故答案为∶ ．
10. 2014年6月4日据经济日报报道：青海格尔木枸杞已进入国际市场，远销美国、欧盟、东南亚等国家和地区，出口创汇达4000000美元，将4000000美元用科学记数法表示为___美元．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点的移动位数相同．当的绝对值时，为正数；当的绝对值时，为负数．据此即可获得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．
12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
多边形的内角和是外角和的2倍，
，解得，
故答案为：．
13. 将抛物线向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是
故答案为：．
14. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若EF＝2，则菱形ABCD的周长是________．
【答案】16
【解析】
【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴AB＝2EF＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴．
【点拨】运用三角形中位线的性质及菱形的四条边都相等即可解答．
15. 如图，平分，，，于点，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键．过作于，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得．
【详解】 解：如图，过作于，
∵，，，
∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴，
故答案是：．
16. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为___．
【答案】4．
【解析】
【详解】试题分析：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0，
解得，m=4．
故答案是4．
考点：1.直线与圆的位置关系2.根的判别式．
17. 如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2），B（1，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是_____．
【答案】x＜﹣1或0＜x＜1
【解析】
【分析】仔细观察图像，图像在上面的函数值大，图像在下面的函数值小，当y1＞y2，即正比例函数的图像在上，反比例函数的图像在下时，根据图像写出x的取值范围即可.
【详解】解：如图，
结合图象可得：
①当x＜﹣1时，y1＞y2；②当﹣1＜x＜0时，y1＜y2；③当0＜x＜1时，y1＞y2；④当x＞1时，y1＜y2．
综上所述：若y1＞y2，则x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故答案为x＜﹣1或0＜x＜1．
【点睛】本题考查了图像法解不等式，解题的关键是仔细观察图像，全面写出符合条件的x 的取值范围.
18. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.

【答案】3
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，
∵四边形ABMO圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，
∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
则则⊙C的半径为3，
故答案为：3.
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.
三、解答题：（本大题共9小题，共76分．）
19. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先根据负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂进行计算，最后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】原式
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，再把方程的左边分解因式化为：再解方程即可.
【详解】解：


或
解得：
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握把一元二次方程化为：的形式是解题的关键.
21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度，正方形顶点都在格点上，其中，点的坐标为．
（1）以为旋转中心，将正方形顺时针旋转90°，得到正方形，画出旋转后的图形，并标明对应字母．
（2）写出点，，的坐标．
【答案】（1）画图见解析；
（2），，．
【解析】
【分析】（）根据旋转的定义，结合方格，可以将旋转后的对应点确定，顺次连接个对应点可以得到旋转后的图形；
（）根据旋转后对应点，，的位置，结合方格与坐标系，即可得到三个点的坐标；
本题主要考查了利用旋转对称进行图形变换，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
作出旋转后的图形，如图所示：
∴正方形即为所求；
【小问2详解】
点，，的坐标分别为：，，．
22. 四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4．它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．
（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字2的概率；
（2）随机地从盒子里抽取一张．不放回再抽取第二张．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求抽到的数字之和为5的概率．
【答案】解：（1）P（抽到数字2）= ； （2）P（抽到的数字之和为5） = ．
【解析】
【分析】（1）基本事件的概率求法；
（2）用列举法（画树状图或列表）求概率即可．
【详解】（1）随机地从盒子里抽取一张，有4种等可能的结果，其中抽到数字2的结果只有1种，
∴P（抽到数字2）=；
（2）画树状图：
从图可知，两次抽取小卡片抽到的数字之和共有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和为5的有4种，
∴P（抽到的数字之和为5）= .
【点睛】本题考查了概率，正确的画树状图或列表表示所有等可能的结果是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣；（2）（-2，0）或（0，4）
【解析】
【详解】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．
∴n=﹣2×（﹣1）=2
∴点A的坐标为（﹣1，2）
∵点A在反比例函数的图象上．
∴k=﹣2
∴反比例函数的解析式是y=﹣．
（2）∵A（-1，2），
∴OA=，
∵点P在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时设P（x，0），
∵PA=OA，
∴，
解得x=-2；
当点P在y轴上时，设P（0，y），
∴，
解得y=4；
当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去．
∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）
24. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；
（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF ．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF ，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
25. 如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．
【答案】（1）线段AC是⊙O的切线，理由见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）根据已知条件“”、对顶角可以推知；然后根据等腰三角形的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知，即．由此即可得证；
（2）根据“等角对等边”可以推知，所以由图形知；然后利用切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求的长度．
【小问1详解】
解：线段AC是⊙O的切线．理由如下：
∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代换）．
又∵OA=OB（⊙O的半径），
∴∠B=∠OAB（等边对等角）．
∵OB⊥OC（已知），
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°．
∴线段AC是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：设AC=x．
∵∠CAD=∠CDA（已知），
∴DC=AC=x（等角对等边）．
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，∠OAC=90°，
∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，
OC2=AC2+OA2，
即（1+x）2=x2+52，
解得x=12．
∴AC=12．
【点睛】本题综合考查了勾股定理、切线的判定定理．熟练掌握切线的判定定理是解决本题的关键．
26. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝ (∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠1+∠2＝ (180 °−∠A)＝90°−∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A
探究2：如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：
【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－
【解析】
【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°-∠A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
27. 如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到，连接．
（1）求点B，C所在直线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）在线段上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线的解析式为
（2）的面积为10
（3）在线段上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与相似， P点坐标为或．
【解析】
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；
（2）根据勾股定理可得 的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；
（3）根据勾股定理求出，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．
【小问1详解】
当时，，
解得，
∴点A，B的坐标分别为，
当时，，
∴C点的坐标分别为，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，则，
解得．
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
∵轴，轴，
∴，
∵点B，C的坐标分别为，
∴，
∵是由绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴的面积；
【小问3详解】
存在．分两种情况讨论：
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
∴，
如图1，作轴交于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点的坐标为；
如图2，作于，作于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点坐标为，
综上所述，以点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．