江苏省南通市崇川区田家初级炳中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市崇川区田家初级炳中学2022-2023学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为，
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
2. 如果，那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的性质，同除以12或同除以4y，即可判断.
【详解】∵，
∴，A正确，B错误；亦可得，C错误，D错误.
【点睛】此题主要考查分式的性质.
3. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 三个点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 圆内接平行四边形一定是矩形
D. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、不在同一直线上三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
5. 如图，为直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握．
6. 如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是( )
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．
【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n°，
则： ＝6π，其中r＝6
∴n＝180，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，
∴BP＝ ＝＝(米)，
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是米，
故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，弧长计算公式，勾股定理的应用，熟记弧长计算公式是解题的关键．
7. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是，
∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设与的函数关系式为：，
该图像经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A不符合题意；
当时，，解得，故选项B不符合题意；
，随的增大而减小，
当时，，故选项C符合题意；
当时，的取值范围是，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
9. 如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意可知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，再证明四边形AEDF为菱形，可知AE，然后根据平行线分线段成比例得，再代入数值求出答案.
【详解】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD.
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF菱形，
∴AE＝AF＝2.
∵DE∥AB，
∴，即，
∴.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，作线段垂直平分线，特殊平行四边形的判定，平行线分线段成比例等，根据两直线平行列出比例式是解题的关键．
10. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A B. 或C. 2或D. 2或或
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【详解】二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 已知的半径为6，且点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是______．
【答案】A在内
【解析】
【分析】根据当时，点在圆内解答．
【详解】解：∵，
∴点A在内，
故答案为：A在内．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
12. 对于反比例函数，当x>2时，的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合反比例函数图像与性质，由反比例函数增减性即可得到答案．
【详解】解：，
当时，，
反比例函数中，，
反比例函数图像在第一、三象限，
当x>2时，在第一象限内随的增大而减小，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，由题中信息确定反比例函数的增减性是解决问题的关键．
13. 在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
【详解】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：（个），
故答案为：18．
【点睛】本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，

则，
设米，
由得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴车宽长度为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．
【详解】解：，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
．
．
如图，过点作轴于点，
，
设，，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
点坐标为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．
16. 已知二次函数（）图象上部分点的坐标的对应值如下表所示：
则方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】由表格可知，对称轴为，将整理为，根据表格可得抛物线与直线的交点，再由抛物线的对称性求解．
【详解】由表格可知：，对称轴为，
∴
∴可整理为，
由表格可知当时
∴抛物线与直线的一个交点坐标为，
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线的另一交点坐标为，
∴的根是，．
即的根是，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
17. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点，根据折叠可得Q是中点，，设，则,，再由在上可得，求得，再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标，最后求出的长．
【详解】连接，交于点Q，
∵将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，
∴，，
设
∴，
∵，
∴，
∵，
而，
∴，
∴，即点Q是的中点，
∵
∴
∵在上，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵在中，
∴，解得或（负数关系舍去），
∵
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．
18. 如图，是的弦，点C在内，，连接，若的半径是6，则长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算下列各题：
（1）．
（2）若是锐角，，求的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）根据特殊角锐角三角函数值，可得，再根据二次根式，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是．
（1）以为位似中心，作，与相似比为：，且在第二象限；
（2）在上面所画的图形中，若线段上有一点，它的横坐标为，点在上的对应点的横坐标为，则 ______．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质以及对应点的坐标关系得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：由题意可得：，
解得：
故答案为：．
21. 2022年3月23日15:40，“天宫课堂”第二课开讲，本次太空授课活动同样采取天地对话方式进行，在约45分钟的授课中，神舟十三号飞行乘组生动演示了微重力环境下太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量．学校教务处决定开展“飞天梦永不失重，科学梦张力无限”的主题活动，包含了以下四个内容：．书写观后感；．演示科学实验；．绘制手抄报；．开展主题班会．王老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，然后背面朝上放置，搅匀后要求：
（1）小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是______．
（2）由九年级一名学生代表从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求九年级代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式直接求解；
（2）列表或画树状图罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，进而利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：四张卡片完全相同，
小强从中随机抽取一张卡片是“书写观后感”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可知，当随机抽取两张卡片时共有12种等可能的情况，其中有2种情况抽到的是B和D，
，
因此该代表抽到的主题卡片中一个是演示科学实验另一个是开展主题班会的概率是．
【点睛】本题考查简单概率的计算，列表或画树状图法求概率，解题的关键是能够通过列表或画树状图罗列出所有等可能的情况，不重复、不遗漏．
22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求反比例函数的关系式与的值；
（2）求不等式的解集（直接写出答案）；
（3）线段绕点顺时针旋转90°，得到线段，求点经过的路径长．
【答案】（1）反比例函数的关系式为，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标为，代入可求出反比例函数的关系式，进而确定点B的坐标，得出答案；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）直接用弧长公式求点经过的路径长．
【小问1详解】
把点A的坐标为，代入反比例函数得，
，解得
∴反比例函数的关系式为，
点的坐标为代入得，，
∴反比例函数的关系式为，；
【小问2详解】
根据两个函数的图象，可得，
不等式的解集为：或，
【小问3详解】
∵线段绕点顺时针旋转90°，得到线段，
∴点经过的路径是以为圆心，长为半径的圆上圆心角为90°的一条弧，
∵点A的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴点经过的路径长为．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质、弧长公式等知识，把点的坐标代入是常用的方法，旋转前后线段之间的关系以及线段与坐标之间的相互转化是解决问题的关键．
23. 如图，是的直径，垂直于弦于点E，且交于点D，F是延长线上一点，若．
（1）求证，是的一条切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为，，所以，即可得出FD∥AC；可得得出，进而得出结论；
（2）利用勾股定理先求解，再利用垂径定理得出的长，可得的长，证明，再利用相似三角形的判定与性质得出的长．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴，
∵垂直于弦于点E，
∴，
∴是的一条切线
【小问2详解】
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．经检验符合题意.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理，切线的判定，以及平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．
24. 如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为18米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
（2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值；
（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【答案】（1）能浇灌到小树后面的草坪；
（2）的最大值为；
（3）喷射架应向后移动2米．
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求得解析式；
（2）先求出直线的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
（3）设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为，将点的坐标代入可得答案．
【小问1详解】
解：（1）由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
【小问2详解】
由题可知点坐标为，
则直线为，
∴，
答：的最大值为；
【小问3详解】
设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：或（舍去），
答：喷射架应向后移动2米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
25. 四边形为正方形，边长为6，点M为对角线上一动点（不与点B，D重合），连接，过点M作，交射线于点N．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作射线交射线于点P．
①当点N在边上时，设的长为，的面积为，求关于的函数解析式：
②当时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）①；②或
【解析】
【分析】（1）作，证四边形是正方形得，再证，从而得，据此可得证；
（2）①由全等三角形的性质可得，可证是等腰直角三角形，可得，由勾股定理和三角形的面积公式可求解；
②分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求的长，即可求解．
【小问1详解】
如图1，过M分别作交于E，交于F，
则四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴平行四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①由（1）可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点N在线段上时，如图2，过点M作于F，
由①可知：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点N在线段的延长线上时，如图3，
由①可知：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述：的值为和．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等积点．已知点．
（1）在，，中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线上，求点N的坐标；
（3）已知点，，的半径为1，连接，点A在线段上．如果在上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）、
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等积点的定义进行判断即可；
（2）先求出点M的等积点一定在直线，再根据点M的等积点N在双曲线上，求出直线与双曲线的交点坐标即可；
（3）根据点M的等积点在直线上，点P的等积点在直线上，从而得出点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，画出图形求出边界点的坐标，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴是M的等积点；
∵，
∴不是M的等积点；
∵，
∴是M的等积点；
故答案为：、；
【小问2详解】
解：设点M的等积点为，则，
即，
∴点M的等积点一定在直线，
又∵点M的等积点N在双曲线上，
∴联立，
解得：，，
点N的坐标为或．
【小问3详解】
解：根据解析（2）可知，点M的等积点在直线上，
设点P的等积点为，则，即，
∴点P的等积点在直线上，
∵点A在线段上，
∴点A的等积点在直线和直线于第一象限交成的锐角的内部或边上，
点Q在直线上，直线与的交点为，与直线的交点，与x轴的交点，
∴，
，，
如图，当正好与直线相切于点F时，上一定存在点A的等积点，当正好与直线相切于点E时，上一定存在点A的等积点，且圆心Q在与之间时，上一定存在点A的等积点，
连接，，则，
∵直线与相切于点E，直线与相切于点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
此时，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，求直线与双曲线的交点坐标，切线的性质，勾股定理，坐标特点，解题的关键是理解题意，作出相应的图形，求出边界点的坐标．
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