广西南宁市青秀区新民中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广西南宁市青秀区新民中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共24页。

注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器，考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示（ ）
A. 上升5米B. 下降5米C. 上升25米D. 下降35米
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数表示一对相反意义的量解答．
【详解】解：如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示下降5米，
故选：B．
【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解题意是解题的关键．
2. 数学来源于生活，下列图案是由平移形成是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的只有A．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
3. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x>0B. C. D. x>2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，能够根据二次根式有意义的条件求出根号下的算式的取值范围是解决本题的关键．
4. 如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而计算即可．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．
5. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可．
【详解】解：依题意，，
∵，
．
故选：B．
6. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（ ）

A. 这周最高气温是32℃
B. 这组数据的中位数是30
C. 这组数据的众数是24
D. 周四与周五的最高气温相差8℃
【答案】B
【解析】
【分析】根据折线统计图，可得答案．
【详解】解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；
B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；
C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；
D、周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键．
7. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，单项式除以单项式的运算法则即可解答．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
故项符合题意；
∵与是同类项，
∴，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了整式的加法法则，整式的减法法则，整式的乘法法则，整式的除法法则，掌握对应法则是解题的关键．
8. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，将进行正确的恒等变形是解题的关键．观察题中的两个代数式和，可以发现，，因此可整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：C．
9. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A. 3米B. 4米C. 5米D. 6米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键．
【详解】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：D．
10. 抛物线中，与的部分对应值如表：
下列结论中，不正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小D. 顶点坐标为
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵当时和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
∵，
∴该抛物线有最大值，即抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意；
故选A．
11. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式．
【详解】解：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系．
12. 如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【详解】设AD交AC于N，交AC于M，
当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，
，
∴tan∠CAB=，
∴A'M=x，
其面积y==x•x=x2，
故此时y为x的二次函数，排除选项D；
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN，
，，
同理：A'M=x，，
其面积y=-=x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）=x﹣1，
故此时y为x一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN，
AF'=x﹣2，F'N=（x﹣2），F'B=4﹣（x﹣2）=6﹣x，BC=2，
其面积y= [（x﹣2）+2]×（6﹣x）=﹣x2+x+3，
故此时y为x二次函数，其开口方向向下，故排除A；
综上，只有B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
14. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解，提取公因式即可，熟练的确定公因式是解本题的关键.
【详解】解：，
故答案为：
15. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；
根据公式计算即可．
【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有种等可能性，黑色棋子，有种等可能性，
∴摸到黑色棋子的概率是，
故答案为：
16. 反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】将点，代入，求得，进而即可求解．
【详解】解：将点，代入，
即，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点的坐标是解题的关键．
17. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，先根据正六边形得到，，然后再中利用勾勾股定理计算是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，
∵正六边形，点A的坐标为
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为，
故答案为：．

18. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为BD的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂、有理数加法及乘法运算等知识，先计算括号里的，再由算术平方根、负整数指数幂运算化简，最后由有理数乘法与加法运算求解即可得到答案，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 解下列不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：
∴
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的作法，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据三角形内角和求出，根据角平分线得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，，然后利用勾股定理可得结果．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
∵，，，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
在中，，即：，
解得：．
22. 某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：81，90，82，89，99，95，91，83，92，93，87，92，94，88，92，87，100，86，85，96
（1）现按组距为5将数据分组，列出频数分布表，绘制了不完整的频数分布直方图，请你根据数据补全图表信息：
频数分布表
（2）①这组数据的中位数是______；
②分析数据分布的情况（写出一条即可）________________________；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
【答案】（1）见解析 （2）①；②测试成绩分布在的较多（不唯一）
（3）480人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题中数据即可求解；
（2）①根据中位数的定义求解即可；
②根据频数分布直方图即可解答；
（3）用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：根据数据补全图表信息：
频数分布表，如图：
【小问2详解】
解：①数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100，
则中位数是；
故答案为：；
②测试成绩分布在的较多（不唯一）；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．
23. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具（如图①），图2所示的是从石碾中抽象出来的几何模型，是的直径，点在的延长线上，平分交于点，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径是4，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、矩形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定和特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
（1）连接，证明，由交的延长线于点，则，即可得到结论；
（2）过点作于点，则．证明四边形是矩形．先证明，再得到．由即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则，
．
平分
，
，
交的延长线于点，
．
是的半径，且，
直线是的切线．
【小问2详解】
如图，过点作于点，则．

，
四边形是矩形．
的半径是，
，
∵，
．
，
．
故线段的长是．
24. 为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；
若，则 ；
若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
①请写出与的函数关系式；
②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【解析】
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；
②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【详解】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，
∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，
∴
即：与函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5
∴
∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．
（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米；求树高．（，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米；求（用表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）10.2米 （3）米
【解析】
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、m的式子表示出PH．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∴
【小问2详解】
由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，
在Rt△POQ中
tan∠POQ=
∴
∴（米）
故答案为：10.2米．
【小问3详解】
由题意得：，
由图得：
，
∴
∴
∴
∴米
故答案：米
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26. 综合与探究
如图1，在边长为6的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．
（1）求证：．
（2）若点是的中点，连接，且．
①如图2，当、、三点共线时，连接，求线段的长；
②连接，在运动的过程中，当最小时，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②22
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
（1）根据正方形的性质及旋转的性质，利用可证明，即可得结论；
（2）①由（1）可知，，则，结合正方形的性质及勾股定理得，过点作延长线于，可证，利用相似三角形的性质可得，，再利用勾股定理即可求解；
②连接，求得，由三角形三边关系可知，，当点在上时取等号，即：当最小时，，进而可得的面积，过点作，则，得，进而求得，可得的面积，进而可求解．
【小问1详解】
证明：在正方形中，，，
由旋转可知，，，
则，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①由（1）可知，，则，
在正方形中，，，则，
∵点是的中点，
∴，则，
∴，
过点作延长线于，则，
∴，
∴，
则，即，
∴，，则，
∴；
②连接，则，
由三角形三边关系可知，，当点在上时取等号，
即：当最小时，，则，
过点作，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．x
…
1
3
4
5
7
…
y
…
4
5
4
…
成绩分组
划记
频数
4
正一
6
成绩分组
划记
频数
4
正一
6
7
3