47-2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

这是一份47-2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣1
7．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论：
①ab＞0；
②a﹣b＝﹣2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是﹣；
⑤b的取值范围为1＜b＜．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝ ．
13．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
15．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为 ．
16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 ．
17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：+|﹣4cs60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；
（2）分解因式：2a3﹣8ab2．
19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．
20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 °；
（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）
23．（12分）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则＝ ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长度．
24．（14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本选项不符合题意；
B.5a•2a＝10a2，故本选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
D．（﹣a2）2＝a4，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的相等．
5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图．
【解答】解：左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故左视图的面积为3；
俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4；
所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
6．（3分）如果关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣1
【分析】先解分式方程，然后根据关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：，
x+1﹣mx＝0，
x﹣mx＝﹣1，
（1﹣m）x＝﹣1，
，
∵关于x的分式方程﹣＝0的解是负数，
∴m﹣1＜0且m﹣1≠﹣1，
解得：m＜1且m≠0，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤．
7．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
【分析】设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，根据计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，
依题意得：8x+10y＝200，
整理得：y＝20﹣x，
∵x、y均为正整数，
∴或或或，
∴购买方案有4种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，
面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．再运用以上方法基本上可以快速定位答案．
【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，
面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．
运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要分两部分，
①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有AB符合；
②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项A符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握此类问题的判断方法是快速而正确解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论：
①ab＞0；
②a﹣b＝﹣2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是﹣；
⑤b的取值范围为1＜b＜．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2＜x1＜3得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围即可判断⑤．
【解答】解：由图象可知，﹣＞0，
∴ab＜0，故结论①错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），
∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，
∴＜﹣＜1，
∵抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），
∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根，
∴﹣1•x1＝，
∴x1＝﹣，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是﹣，故结论④正确；
∵a﹣b+2＝0，
∴a＝b﹣2，
∴y＝（b﹣2）x2+bx+2，
∵2＜x1＜3，
∴，
解得1＜b＜，故结论⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，掌握二次函数的性质以及函数与方程的关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 7.4167×107 ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：7416.7万＝74167000＝7.4167×107，
故答案为：7.4167×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝ 2 ．
【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，进而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．
【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a﹣1＝a+1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，
解得：x＞﹣3且x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
【分析】根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设扇形的母线长为l cm，
∵圆锥的底面半径是1cm，
∴圆锥的底面周长是2π cm，即侧面展开图扇形的弧长是2π cm，
则＝2π，
解得：l＝4，
由勾股定理得：圆锥的高＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，认识平面图形和勾股定理，掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等是解题的关键．
15．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为 ﹣6 ．
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
∵D（﹣1，3），S▱ABCO＝3，
∴OC•OD＝3OC＝3，
∵ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积计算是关键．
16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 2或 ．
【分析】分三种情况讨论，一是∠BB′C＝90°，可由∠PB′B＝∠PBB′，推导出∠PB′C＝∠PCB′，则B′P＝CP＝BP＝BC＝2；二是∠BCB′＝90°，则点B′在DC上，求得B′D＝＝3，则B′C＝2，由勾股定理得22+CP2＝（4﹣CP）2，求得CP＝；三是由∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，说明∠B′BC≠90°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，
∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝∠ACB＝90°，
由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP，
如图1，△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，
∴∠PB′C+∠PB′B＝90°，∠PCB′+∠PBB′＝90°，
∵∠PB′B＝∠PBB′，
∴∠PB′C＝∠PCB′，
∴B′P＝CP，
∴CP＝BP＝BC＝×4＝2；
如图2，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，
∵∠BCB′＝∠C＝90°，
∴点B′在DC上，
∴B′D＝＝＝3，
∴B′C＝DC﹣B′D＝5﹣3＝2，
∵B′C2+CP2＝BP′2，且B′P＝BP＝4﹣CP，
∴22+CP2＝（4﹣CP）2，
解得CP＝；
∵∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，
∴∠B′BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为2或，
故答案为：2或．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等角的余角相等、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类是解题的关键．
17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 （1349+674，） ．
【分析】根据所给滚动方式，发现每滚动三次，出现一个花心，再根据点An坐标变化的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，
∴A1O＝A1C′，
∴点A1在OC′的垂直平分线上．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
在Rt△A1OB中，
tan30°＝，
∴A1B＝，
∴点A1的坐标为（1，）．
依次类推，
点A2的坐标为（），
点A3的坐标为（），
…，
∴点An的坐标为（）（n为正整数）．
又∵每滚动三次，出现下一个花心，
∴2024÷3＝674于2，
则674+1＝675，
∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．
当n＝675时，
点A675的坐标为（1349+，），
即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1349+674，）．
故答案为：（1349+674，）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及能根据所给滚动方式发现点An坐标变化的规律是解题的关键．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：+|﹣4cs60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；
（2）分解因式：2a3﹣8ab2．
【分析】（1）利用算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）利用提公因式法及公式法因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+|﹣4×|﹣1+4
＝2+2﹣1+4
＝7；
（2）原式＝2a（a2﹣4b2）
＝2a（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查实数的运算，算术平方根，绝对值，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，利用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 50 ，n＝ 40 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 72 °；
（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
【分析】（1）先有B人数及其所占百分比求出被调查总人数，再用总人数乘以A的百分比求出m的值，再根据各组人数之和等于总人数求出n的值；
（2）根据m和n的值即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以C组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；
（4）用总人数乘以样本中80分以上（含80分）的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为94÷47%＝200（人），
∴m＝200×25%＝50，
∴n＝200﹣50﹣94﹣16＝40；
故答案为：50，40；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°×＝72°；
故答案为：72；
（4）2000×＝560（名），
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名．
【点评】本题考查条形统计图，频数（率）分布表，用样本估计总体及扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB＝，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45，°得到CD＝OD＝OC＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠COF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB＝，
∴∠CFB＝45°，
∵∠COF＝90°，
∴∠COF＝CFO＝45，
∴CF＝OC＝＝4，
∴∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
∴CD＝OD＝OC＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积＝﹣×2×2＝2π﹣4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 8 米/秒，t＝ 20 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），得到M（13，48），利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．
【解答】解：（1）由题意得甲无人机的速度为 a＝48÷6＝8（米/秒），
t＝39﹣19＝20（秒）．
故答案为：8，20；
（2）由图象知，N（19，96），
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒），
∴甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），
6+7＝13（秒），
∴M（13，48），
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
将M（13，48），N（19，96）代入得
，
解得
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x﹣56．
（3）由题意A（0，20），B（6，48），
同理线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x+20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48，
当0≤t≤6时，由题意得|4x+20﹣8x|＝12，
解得x＝2或x＝8（舍去），
当6＜t≤13时，由题意得|4x+20﹣48|＝12，
解得x＝10或x＝4（舍去），
当13＜t≤19时，由题意得|8x﹣56﹣4x﹣20|＝12，
解得x＝16或x＝22（舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
【点评】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
23．（12分）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 AB＝DE ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则＝ ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长度．
【分析】（1）利用“一线三垂直“证△ABC≌△EBD（AAS）即可得证；
（2）证△DEF∽△CAF可求EF长度，然后即可求出△BDF的面积；
（3）要求的值，有两个方向，①把BN和BC的值求出来，这题BC很好求，但是BN不好求，可以建立坐标系求解析式，再求交点N坐标，最后利用两点距离公式求BN的长度；②根据题干给我们的思路建立一线三直角得相似进行转化即可，利用△EMN∽△EAC和△BMN∽△BED建立关于MN的方程，求出MN的长度，最后利用△BMN∽△CAB求值即可．
（4）由已知条件过P作BC垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解．另外方法二的正切和差角公式可以作为课外拓展知识，在这种直接写答案的题型中可以用下，快速找出答案．
【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC＝BD，∠CBD＝90°，
∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，
∵∠A＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△EBD（AAS），
∴AB＝DE；
故答案为：AB＝DE．
（2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC＝BD，∠CBD＝90°，
∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，
∵∠A＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△EBD（AAS），
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB+BE＝8，
∵∠DEB+∠A＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴，即，
∴EF＝4，
∴BF＝BE+EF＝10，
∴S△BDF＝BF•DE＝10．
（3）方法一：如图，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立坐标系，
由AC＝6，AE＝8，DE＝2，BD＝2，
∴C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2），
设直线BD解析式为y＝kx+b，将B、D代入得，
，解得：，
∴直线BD解析式为y＝x﹣，
同理可求直线CE解析式为：y＝﹣x+6，
令x﹣＝﹣x+6，解得x＝，
∴y＝，即N（，），
∴利用两点距离公式可得BN＝，
∵BC＝＝2，
∴＝＝．
故答案为：．
方法二：如图，过N作NM⊥AE于点M，
由△EMN∽△EAC得，，即，
∴EM＝MN，
由△BMN∽△BED得，，即，
解得MN＝，
由△BMN∽△CAB得，＝．
故答案为：．
（4）方法一：①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作PQ⊥BC于点Q，
∵tan∠BCP＝＝，tan∠ABC＝＝＝3，
∴PQ＝CQ，PQ＝3BQ，
设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a，
∴BC＝BQ+CQ＝11a，
∵BC＝＝2＝11a，
∴a＝，
∴BP＝＝2a＝，
∴AP＝BP﹣AB＝；
②当点P在点B右侧时，如图所示，作PG⊥BC交BC延长线于点G，
tan∠BCP＝＝，tan∠PBG＝tan∠ABC，即，
剩下思路与第一种情况方法一致，求得AP＝．
综上，AP的长度为或．
方法二：补充知识：正切和差角公式：tan（α+β）＝，tan（α﹣β）＝．
①当点P在点B左侧时，因为tan∠BCA＝，tan∠BCP＝，所以此时点P在A的左侧，如图所示，
tan∠BCP＝tan（∠BCA+∠ACP）＝＝＝，
解得tan∠ACP＝，即＝，
∵AC＝6，
∴AP＝．
②当点P在点B右侧时，如图所示，
tan∠ACP＝tan（∠BCA+∠BCP）＝＝＝，
即，
∵AC＝6，
∴AP＝．
综上，AP的长度为或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握以上基础知识和添加合适的辅助线是解题关键．
24．（14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；
（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则xF﹣xE＝xA﹣xC，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，则a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设点D（x，0），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，
则AC＝AD或AC＝CD，
即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，
解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，
即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）设点P（x，x2﹣x﹣2），
当y＝x2﹣x﹣2＝x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2﹣x﹣2），
∵E、C、F、A共线，EF＝AC，
则xF﹣xE＝xA﹣xC，
即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，
解得：x＝2，
即点P（2，﹣3）；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），
连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，
∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，
则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为＝，
故答案为：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
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A
B
C
D
成绩（x/分）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数（人）
m
94
n
16
篮球
足球
排球
羽毛球
篮球
（篮球，篮球）
（篮球，足球）
（篮球，排球）
（篮球，羽毛球）
足球
（足球，篮球）
（足球，足球）
（足球，排球）
（足球，羽毛球）
排球
（排球，篮球）
（排球，足球）
（排球，排球）
（排球，羽毛球）
羽毛球
（羽毛球，篮球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，排球）
（羽毛球，羽毛球）
组别
A
B
C
D
成绩（x/分）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数（人）
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