51-2024年四川省广元市中考数学试卷

这是一份51-2024年四川省广元市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）将﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（ab2）2＝a2b4
3．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在“五•四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95B．方差是3
C．众数是95D．平均数是94
5．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
6．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
8．（3分）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（ ）
A．5B．7C．D．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝ ．
12．（4分）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
13．（4分）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．
14．（4分）若点Q（x，y）满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
15．（4分）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为 ．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．
18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足b﹣2a＝0．
19．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
20．（9分）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．
（1）样本容量为 ，m＝ ；
（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．
21．（9分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα＝，β＝30°，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积．
22．（10分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
23．（10分）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．
（1）求y1＝与y2＝mx+n的解析式；
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
25．（12分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
（1）初步探究
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
（3）创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
2024年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（3分）将﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】将﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，可列算式﹣1+2，求得此时该点对应的数是1，于是得到问题的答案．
【解答】解：由题意得﹣1+2＝1，
所以﹣1在数轴上对应的点向右平移2个单位，此时该点对应的数是1，
故选：B．
【点评】此题重点考查数轴、有理数的运算等知识，根据题意正确地列出算式是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（ab2）2＝a2b4
【分析】根据完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，故B不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合题意；
D、（ab2）2＝a2b4，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．
【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）在“五•四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95B．方差是3
C．众数是95D．平均数是94
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，
故中位数是95，故选项A说法正确，不符合题意；
平均数为（91+92+94+95×3+96）＝94，故选项D说法正确，不符合题意．
方差为[（91﹣94）2+（92﹣94）2+（94﹣94）2+3×（95﹣94）2+（96﹣94）2]＝，故选项B说法错误，符合题意；
众数是95，故选项C说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了方差、众数、平均数、中位数，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义．
5．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC＝64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝128°，
∴∠ABC＝64°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．
6．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出m，n的值，进而得出点（m，n）所在象限．
【解答】解：因为单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，
所以2m＝4，2﹣n＝3，
解得m＝2，n＝﹣1，
所以点（2，﹣1）所在的象限为第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意求出m，n的值并熟知每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得出∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据勾股定理求出BD的长，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的长即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD＝，
∴AD＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
8．（3分）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量＝总价÷单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：+50＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（ ）
A．5B．7C．D．
【分析】由面积公式和图象可知AC×BC＝12，AC+BC＝7，再根据完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，进而得出答案．
【解答】解：当点P运动到C处时，△ABP的面积y＝6，
即AC×BC＝6，
即AC×BC＝12，
又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，
即AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝49，
∴AC2+BC2+2AC×BC＝49，
∴AC2+BC2＝25，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AB＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，根据图象得到有用信息是解题的关键．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题干条件逐一判断每一个小选项即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
故①不符合题意；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2），
∴函数的最小值y＜﹣2，
∴ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根；
∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；
故②符合题意；
③∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴抛物线的对称轴为直线，且，且，而a＞0，
∴﹣3a＜b＜﹣a，
∴a+b＜0，
故③不符合题意；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即3a﹣3b+3c＞0，当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
∴12a+4c＞0，
∴12a＞8，
∴，
故④符合题意；
⑤：﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴x2﹣x1＞2，
由根与系数的关系可得：，，
∴＝＝＝，
∴，
∴b2﹣4ac＞4a2，
故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、根的判别式、抛物线与x轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝ （a﹣1）2 ．
【分析】首先利用完全平方把（a+1）2展开，然后再合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
12．（4分）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 4.3×10﹣17 秒．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：∵1阿秒是10﹣18秒，
∴43阿秒＝43×10﹣18＝4.3×10﹣17．
故答案为：4.3×10﹣17．
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（4分）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 18° ．
【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
∴∠DFG＝90°，
∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，
∴∠FDG＝＝72°，
∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键．
14．（4分）若点Q（x，y）满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 （2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0） ．
【分析】根据“美好点”的定义，把已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算后，得到x与y的关系式，写出一个即可．
【解答】解：根据题意得：+＝＝，即x+y＝1，
当x＝2，y＝﹣1时，“美好点”的坐标为（2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0）．
故答案为：（2，﹣1）（答案不唯一，满足x+y＝1且x≠0，y≠0）．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．（4分）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 （0，4） ．
【分析】依据题意，由A在y＝x上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y＝上，进而可得k＝2×2＝4，进而可得反比例函数为y＝，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为y＝﹣x+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y＝上，最后可得b×b＝4，求出b可以得解．
【解答】解：由题意，∵A在y＝x上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y＝上，
∴k＝2×2＝4．
∴反比例函数为y＝．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为y＝﹣x+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y＝上，
∴b×b＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为 5 ．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1，首先推导出；延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2，得到；由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：
∵tan∠C＝2，
在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得，
∴，即，
∴，
延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示：
∴，
∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，
在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°，
由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示：
由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求 的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示：
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝5，
∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即 的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查胡不归问题，勾股定理，等腰直角三角形，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握动点最值问题﹣定弦定角模型的解法是解决问题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2﹣+﹣4
＝1+2﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足b﹣2a＝0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把b＝2a代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
∵b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明四边相等可得结论．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：如图2设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∠COE＝∠AOF＝90°，
OA＝OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA），
∴EC＝FA，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（9分）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．
（1）样本容量为 90 ，m＝ 15 ；
（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．
【分析】（1）由C等级的人数除以所占比例得出样本容量，即可得出m的值；
（2）由全校学生人数乘以A等级的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）样本容量为：30÷＝90，
∴m＝90﹣27﹣30﹣12﹣6＝15，
故答案为：90，15；
（2）1200×＝200（名），
答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名；
（3）把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即BC、CB、DE、ED，
∴这两人来自同一个年级的概率＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图和统计表等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα＝，β＝30°，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B、C、D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积．
【分析】（1））根据，求出sinα，再计算出sinβ，直接按照折射率公式计算即可；
（2）首先根据α＝60°，折射率为 ，算出，即，在Rt△ODC中，设，OC＝3x，可算出，得到 OD＝＝，又因为四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，故AD＝，直接算矩形面积即可．
【解答】解：（1）∵，
∴如图，设 ，则c＝4x，
由勾股定理得，，
∴，
又∵β＝30°，
∴，
∴折射率为：；
（2）由题意可得α＝60°，折射率为 ，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点
∴AD＝2OD，∠D＝90°，
又∵∠OCD＝β，
∴，
在Rt△ODC中，设，OC＝3x，由勾股定理得，，
∴，
∴OD＝＝，
∴AD＝2OD＝，
∴截面ABCD的面积为：AD×CD＝＝cm2．
【点评】本题属于解直角三角形的应用问题，根据三角函数正确计算是解题的关键．
22．（10分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，可得 ，计算即可得解；
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装，从而80m+90（200﹣m）≤16800，故m≥120，又设利润为w元，进而w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
∴．
∴．
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
（2）由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200﹣m） 件长款服装，
∴80m+90（200﹣m）≤16800．
∴m≥120．
又设利润为w元，
则w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．
∵﹣10＜0
∴w随m的增大而减小．
∴当m＝120时，利润w最大为：﹣10×120+6000＝4800（元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
23．（10分）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．
（1）求y1＝与y2＝mx+n的解析式；
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得a＝3，进一步利用待定系数法求得y1＝与y2＝mx+n的解析式；
（2）根据图象即可求解；
（3）利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点
∴k＝，
∴a＝3，
∴点A（﹣3，3），B（ ，
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
∴y1＝﹣，
把A（﹣3，3），B ，﹣2）代入y＝mx+n得 ，
解得，
∴y2＝﹣；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜0或 ；
（3）若AB与y轴相交于点C，
∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC
＝
＝
＝．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠CAB＝90°，根据平行线的性质得到∠EDO＝90°根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝AH＝＝2，根据三角函数的定义得到FH＝，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，
∴∠COD+∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH＝＝2，
∵tan∠CFD＝＝2，
∴FH＝，
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，
∴，
∵tan∠CFD＝＝＝＝2，
∴OD＝．
故⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
（1）初步探究
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
（3）创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得＝，则AC2＝AD•AB；
（2）设AD＝m，则AD＝BD＝m，AB＝2m，根据相似三角形的性质得＝＝，则AC2＝2m2，求得AC＝m，所以＝＝，而BC＝4，则CD＝BC＝2；
（3）作BF⊥DC交DC的延长线于点F，设CE＝DE＝n，则CB＝CD＝2n，再证明∠FBC＝30°，所以CF＝CB＝n，求得EF＝2n，BF＝n，则BD＝2n，BE＝n，作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，所以＝＝＝2，则HC＝2n，HD＝4n，再证明△ACD∽△AHC，得＝＝＝，则AD＝AC＝2，AH＝AC＝14，所以HD＝4n＝12，则n＝，求得BE＝．
【解答】（1）证明：如图2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB．
（2）解：如图3，设AD＝m，
∵点D为AB中点，
∴AD＝BD＝m，AB＝2m，
由（1）得△ACD∽△ABC，
∴＝＝，
∴AC2＝AD•AB＝m×2m＝2m2，
∴AC＝m或AC＝m（不符合题意，舍去），
∴＝＝＝，
∵BC＝4，
∴CD＝BC＝×4＝2，
∴CD的长是2．
（3）解：如图4，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵点E为CD中点，
∴CE＝DE，
设CE＝DE＝n，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴CF＝CB＝n，
∴EF＝CE+CF＝2n，BF＝＝＝n，
∴BD＝2BF＝2n，BE＝＝＝n，
作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，
∴＝＝＝＝2，
∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，
∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AHC，
∴＝＝＝＝＝，
∵AC＝2，
∴AD＝AC＝×2＝2，AH＝AC＝×2＝14，
∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，
∴4n＝12，
解得n＝，
∴BE＝×＝，
∴BE的长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，可知△CDM∽△ODB，由此得到，设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），所以CM＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，CM有最大值，此时 的最大值为，此时点C的坐标为（﹣，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，求出E（1，﹣1），抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），设G（m，m+2），当BE为平行四边形的对角线时，G（﹣2，0）；当BG为平行四边形对角线时，G（4，6）；当BH为平行四边形的对角线时，G（2，4）．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∴△CDM∽△ODB，
∴，
设AB的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得 ，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），
∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，CM有最大值，此时 的最大值为，
此时点C的坐标为（﹣，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，
当x2﹣2x+2＝1时，解得x＝﹣3（舍）或x＝1，
∴E（1，﹣1），
∵抛物线F：y＝﹣x2﹣2x+2 的顶点坐标为（﹣1，3），
∴抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），
设G（m，m+2），
当BE为平行四边形的对角线时，x+3＝1，解得x＝﹣2，
∴G（﹣2，0）；
当BG为平行四边形对角线时，x＝3+1＝4，
∴G（4，6）；
当BH为平行四边形的对角线时，x+1＝3时，解得x＝2，
∴G（2，4）；
综上所述：G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
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A
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C
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27
30
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短款
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