55-2024年湖南省长沙市中考数学试卷

这是一份55-2024年湖南省长沙市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A．1.29×108B．12.9×108C．1.29×109D．129×107
3．（3分）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是﹣180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A．﹣180℃B．150℃C．30℃D．330℃
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x4＝x2B．+＝
C．（x3）2＝x5D．（x+y）2＝x2+y2
5．（3分）为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．9.2B．9.4C．9.5D．9.6
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（ ）
A．（1，5）B．（5，5）C．（3，3）D．（3，7）
7．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．C．5D．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
12．（3分）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会．小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
13．（3分）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
14．（3分）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 （结果保留π）．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 ．
16．（3分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（）﹣1+|﹣|﹣2cs30°﹣（π﹣6.8）0．
18．（6分）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了 人；表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图：
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．（8分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
22．（9分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23．（9分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan∠CEO的值．
24．（10分）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R＝r．
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
25．（10分）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b+的值；
（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a++＝0，2a2﹣2（y3+y4）a++＝0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
2024年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2．（3分）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A．1.29×108B．12.9×108C．1.29×109D．129×107
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：1290000000＝1.29×109，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是﹣180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A．﹣180℃B．150℃C．30℃D．330℃
【分析】温差即为最高温度与最低温度的差，由此计算即可．
【解答】解：由题意得，150﹣（﹣180）＝150+180＝330（°C），
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x6÷x4＝x2B．+＝
C．（x3）2＝x5D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方，完全平方公式分别计算判断即可．
【解答】解：A、x6÷x4＝x2，故此选项符合题意；
B、与不能合并，故此选项不符合题意；
C、（x3）2＝x6，故此选项不符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键．
5．（3分）为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．9.2B．9.4C．9.5D．9.6
【分析】根据中位数的概念即可解答．
【解答】解：一共7个数据，这组数据从小到大排列为8.8、9.2、9.4、9.4、9.5、9.5、9.6，中位数为9.4，
故答案为：B．
【点评】本题考查了中位数，根据中位数的概念即可解答．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（ ）
A．（1，5）B．（5，5）C．（3，3）D．（3，7）
【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2，
所以点P′的坐标为（3，7）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
7．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
【分析】根据一次函数的性质即可作答．
【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项符合题意；
B．y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C．当时，y＞0，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根据直角三角形 到现在得到DH＝，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，
∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，
∴DH＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠EHD＝90°，
∴△ADF∽△DEH，
∴，
∴＝，
∴y＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 甲 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，
∴甲组秧苗高度的方差最小，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．（3分）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会．小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵球的个数有2+3+5＝10（个），而红球有2个，
∴小明家抽到一等奖的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）要使分式有意义，则x需满足的条件是 x≠19 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣19≠0时，分式有意义，
解得x≠19．
故答案为：x≠19．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
14．（3分）半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 4π （结果保留π）．
【分析】利用扇形面积公式求解．
【解答】解：扇形的面积＝＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若DE＝12，则AB的长为 24 ．
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
16．（3分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 2009 ．
【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解．
【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m，
（10m+4.6）×10+1978﹣x＝915
∴100m+46+1978﹣x＝915，
∴x＝1109+100m，
∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，
∴m＝9，
∴x＝2009．
故答案为：2009．
【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（）﹣1+|﹣|﹣2cs30°﹣（π﹣6.8）0．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（）﹣1+|﹣|﹣2cs30°﹣（π﹣6.8）0
＝4+﹣2×﹣1
＝4+﹣﹣1
＝3．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．（6分）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3）
＝2m﹣m2+2m+m2﹣9
＝4m﹣9，
当m＝时，原式＝4×﹣9＝10﹣9＝1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
【分析】（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，点D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理可得，CD＝＝．
（2）由勾股定理得，BC＝＝4．由线段垂直平分线的性质得EA＝EB，则△ACE的周长可转化为AC+CE+EB＝AC+BC，进而可得答案．
【解答】解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，
∴CD＝＝．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝4．
∵直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理是解答本题的关键．
20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了 50 人；表中a＝ 30 ，b＝ 6 ；
（2）请补全条形统计图：
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【分析】（1）根据喜欢纯电的人数和所占的百分比即可求出调查人数，根据频数、总数和频率的关系求出a和b即可；
（2）根据n的值即可补全条形统计图；
（3）用360°乘以喜欢混动的人数所占的百分比即可；
（4）用4000乘以喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查活动随机抽取了27÷54%＝50（人），
∴n＝50﹣27﹣3﹣5＝15，
∴a%＝×100%＝30%，b%＝×100%＝6%，
∴a＝30，b＝6；
故答案为：50，30，6；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）360°×30%＝108°，
答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为108°；
（4）4000×（54%+30%+6%）＝3600（人），
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
【点评】本题考查统计表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（8分）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE的度数是60°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
22．（9分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；
（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，
根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000，
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°．
（1）求证：AC＝BD；
（2）点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan∠CEO的值．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，证明四边形ABCD是矩形，则AC＝BD；
（2）作OH⊥BC于点H，由AB＝6，BC＝8，求得AC＝10，则CE＝OC＝OA＝5，再证明OC＝OB，则HC＝HB＝4，求得EH＝1，由＝＝tan∠ACB，求得OH＝•HC＝3，tan∠CEO＝＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
（2）作OH⊥BC于点H，则∠OHE＝∠OHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴OC＝OA＝AC＝5，
∵∠CEO＝∠COE，
∴CE＝OC＝5，
∵OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，
∴OC＝OB，
∴HC＝HB＝BC＝4，
∴EH＝CE﹣HC＝5﹣4＝1，
∵＝＝tan∠ACB，
∴OH＝•HC＝×4＝3，
∴tan∠CEO＝＝＝3，
∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ×
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； √
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R＝r． √
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“ 外接型单圆 ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
【分析】（1）由题干条件可得：有外接圆的四边形⇒对角互补，根据切线长定理得有内切圆的四边形⇒有一个点到四边距离相等⇒两组对边的和相等．①根据前置分析可得平行四边形既无外接圆也无内切圆，所以很容易判断出；②因为菱形对边之和相等，所以菱形是“内切型单圆”四边形；③外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，从而判断出结论是正确；
（2）①判断方法同上；②证即可得证；
（3）①四边形ABCD是“完美型双圆”四边形可得，∠A+∠EOH＝180°，∠FOG+∠C＝180°，从而得到∠EOH＝∠C，∠FOG+∠EOH＝180°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半证出∠HPG＝90°，即可得证；②先证△AOH∽△OCG得出，再利用勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）①∵平行四边形对角不互补，
∴平行四边形无外接圆，
∵平行四边形对边之和也不相等，
∴平行四边形无内切圆．
∴平行四边形是“平凡型无圆”四边形，
故①错误；
②∵内角不等于90°的菱形对角不互补，但是对边之和相等，
∴菱形是“内切型单圆”四边形，
故②正确；
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，
如图，此时OM＝r，ON＝R，
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴ON＝OM，
∴R＝r，
故③正确．
故答案为：①（×）；②（√），③（√）．
（2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
理由：∵AB+CD≠BC+AD，
∴四边形ABCD无内切圆．
∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴，即，
∴与均为半圆，
∴EF是⊙O的直径．
证法2：如图1，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠1+∠2＝90°，
由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°．
∴EF是⊙O的直径
证法3：如图2，连接FD，ED．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由题意，得，，
∵由同弧所对的圆周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，
∴，
∴∠FDE＝90°．
∴EF是⊙O的直径．
（3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG．
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
∴∠OEA＝∠OHA＝90°．
∴在四边形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
同理可证∠FOG+∠C＝180°，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴四边形ABCD有外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠EOH＝∠C．
∴∠FOG+∠EOH＝180°
又∵∠FHG＝∠FOG，，
∴∠FHG+∠EGH＝90°．
∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．
②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH．
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．
∵⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．
∴∠OAH+∠OCG＝90°．
∵∠COG+∠OCG＝90°，
∴∠OAH＝∠COG．
∵∠AHO＝∠OGC＝90°，
∴△AOH∽△OCG．
∴，即，
解得，
在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即，
解得，
在Rt△OBE中，
同理可证△BEO∽△OHD，
所以，即，
解得．
方法2：如图4，
由△AOH∽△OCG，得，即，
解得，
由△BEO∽△OHD，
得，即，
解得．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、菱形的性质和判定、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质等知识，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外题目涉及面积、周长、角度的计算，要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战．
25．（10分）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b+的值；
（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a++＝0，2a2﹣2（y3+y4）a++＝0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
【分析】（1）将A、B代入得到关于a、b的关系式，再整体代入求解即可；
（2）令a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个30°、60°的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得，
②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2．
∴．
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，
∴此时该函数图象与x轴有两个公共点；
②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，
∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
得（a+2y1）（a+2y2）＝0，
∴，，
∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2．
∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0．
∴原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0，
可得或．
①当时，有，即，
∴．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
（3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上．
∵，
∴，
∴y1＝y2＝﹣a．
∵，
∴，
∴y3＝y4＝a，
∴直线AB，CD均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，
设E（x5，0），F（x6，0）．
由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2，
∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2，
∴，
同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得，
同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得，
由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m•EF，AB＜CD．
若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形，
∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，
∵m•EF＞AB，
∴必须同时满足：AB2+（m•EF）2＝CD2，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，
解得，符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
②当以线段m•EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m•EF）2，
同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac），
解得，
∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB，
∴CD＝AB•tan60°，即，
化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求．
∴，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键．
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