64-2024年内蒙古通辽市中考数学试卷

这是一份64-2024年内蒙古通辽市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（ ）
A．﹣3℃B．+3℃C．﹣5℃D．+5℃
2．（3分）如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：cm）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A．175B．172C．171D．170
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy﹣3xy＝1B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．＝﹣5D．+＝
5．（3分）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）
6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（ ）
A．b1+b2＞0B．b1b2＞0C．k1+k2＜0D．k1k2＜0
7．（3分）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
10．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
11．（3分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
12．（3分）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．3
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝ ．
14．（3分）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围） ．
15．（3分）分式方程的解是 ．
16．（3分）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2（结果用含π的式子表示）．
17．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤
18．（5分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0．
19．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a＝﹣，b＝2．
20．（6分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73）．
21．（8分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中m＝ ，D所对应的扇形的圆心角度数是 ．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
22．（8分）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
23．（10分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．
24．（8分）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM＝AN，DM＝DN．求证∠AMD＝∠AND．
【模型应用】
（2）如图2、△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，AC为⊙O的直径，＝，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证AE＝2CD．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．
26．（10分）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA＝OD＝OG．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
2024年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作（ ）
A．﹣3℃B．+3℃C．﹣5℃D．+5℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，某地区某日最高气温是零上8℃，记作+8℃，最低气温是零下3℃，应该记作﹣3℃．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2．（3分）如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图是，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
3．（3分）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：cm）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A．175B．172C．171D．170
【分析】利用中位数的定义计算后即可确定正确的结论．
【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列：169，170，170，171，171，173，175，
∵排序后位于中间的数是171，
∴中位数为171cm，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是掌握中位数的定义．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy﹣3xy＝1B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．＝﹣5D．+＝
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：A.4xy﹣3xy＝xy，因此选项A不符合题意；
B．（﹣a2）3＝﹣a6，因此选项B符合题意；
C.＝|﹣5|＝5，因此选项C不符合题意；
D.+＝+2＝3，因此选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法，掌握合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的计算方法，二次根式的性质与化简方法以及二次根式的加减法的计算方法是正确解答的关键．
5．（3分）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）
【分析】根据所给图形，得出y轴为其对称轴，再根据轴对称的性质即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
此图形关于y轴对称，
所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、坐标确定位置及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知轴对称的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（ ）
A．b1+b2＞0B．b1b2＞0C．k1+k2＜0D．k1k2＜0
【分析】根据函数图象，可以得到b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
b1＝2，b2＝﹣1，k1＞0，k2＞0，
∴b1+b2＞0，故选项A正确，符合题意；
b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；
k1+k2＞0，故选项C错误，不符合题意；
k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸出白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有4种，
∴两次都摸出白球的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝25°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝25°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1．
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10．（3分）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（ ）
A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m
【分析】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，
根据题意得，（10+1﹣x）x＝15，
解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去），
答：BC长为5m，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
11．（3分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，
设拱门所在圆的半径为rm，
∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，
∴OD＝2.5﹣r，
∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2，
解得：r＝1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3m；
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．（3分）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．3
【分析】作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，设正六边形ABCDEF的边长为a，根据正六边形性质和含30°角的直角三角形性质可得点E、H坐标，列出方程求出a值，即可推出k值．
【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，
∴∠EDO＝＝＝60°，
∴EDG＝30°，
∴EG＝ED，GD＝
设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，），
∵点EH都在反比例函数图象上，
∴，
解得a＝4，
∴H（4，），
∴k＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正六边形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝ 3a（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，
＝3a（x2﹣2xy+y2），
＝3a（x﹣y）2，
故答案为：3a（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（3分）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围） 39.9≤L≤40.1 ．
【分析】从图上可以看出：合格尺寸最小应是40﹣0.1＝39.9；最大应是40+0.1＝40.1．
【解答】解：根据题意，得39.9≤L≤40.1．
故答案为：39.9≤L≤40.1．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，理解40±0.1的意义是解题的关键．
15．（3分）分式方程的解是 x＝﹣4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x＝2x﹣4，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣4
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．（3分）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 60π cm2（结果用含π的式子表示）．
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2计算即可．
【解答】解：这个扇形纸片的面积是为×2π×5×12＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2是关键．
17．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．
【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
又若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．
∴m＝4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），
∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为（m，m﹣4）．
∴顶点在直线y＝x﹣4上．
又直线y＝x与y＝x﹣4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．
又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，
且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×＝2．
∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤
18．（5分）计算：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣（﹣π）0
＝2﹣+2×﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
19．（6分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）（4a﹣b），其中a＝﹣，b＝2．
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝4a2﹣b2﹣（4a2﹣ab+4ab﹣b2）
＝4a2﹣b2﹣4a2+ab﹣4ab+b2
＝﹣3ab．
当a＝﹣，b＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73）．
【分析】延长AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AB交DC于H，
则∠AHD＝90°，
∵∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BH＝BC＝3米，CH＝BC＝3米，
∵∠ADC＝45°，
∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+3）米，
∴AB＝AH﹣BH＝4+3﹣3＝1+3≈6.2（米），
答：杨树AB的高度约为6.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
（1）频数分布表中a＝ 9 ，b＝ 9 ，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中m＝ 18 ，D所对应的扇形的圆心角度数是 64.8° ．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据所给的数据即可得a和b的值，即可补全频数分布直方图；
（2）利用D组的人数除以总人数即可得m的值，用360°乘以D组的人数所占的百分比即可求出D所对应的扇形的圆心角度数；
（3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分是人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）频数分布表中a＝9，b＝9，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：80，0.45，80；
（2）∵m%＝×100%＝18%，
∴m＝18，
D所对应的扇形的圆心角度数是360°×18%＝64.8°；
故答案为：18，64.8°；
（3）600×18%＝108（人），
答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为108人．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠ABC＝∠AOD，
∵∠AOD＝2∠ACD，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
23．（10分）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案．
【分析】（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据“购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，根据购买三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校采购这两种机器所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最节省费用的购买方案．
【解答】解：（1）设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元；
（2）设购买m台煎蛋器，则购买（50﹣m）台三明治机，
根据题意得：50﹣m≥m，
解得：m≤．
设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w＝65m+110（50﹣m），
即w＝﹣45m+5500，
∵﹣45＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当m＝33时，w取得最小值，此时50﹣m＝50﹣33＝17，
∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．（8分）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，AM＝AN，DM＝DN．求证∠AMD＝∠AND．
【模型应用】
（2）如图2、△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，AC为⊙O的直径，＝，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证AE＝2CD．
【分析】（1）利用SSS证明△ADM≌△ADN，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由AC＝AM+MD，可得DN＝CN，从而得到∠C＝∠CDN，即可；选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由∠AMD＝2∠C，可得∠C＝∠CDN，从而得到DN＝CN，即可；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据圆周角定理可得BD＝CD，从而得到∠BCD＝∠CBD，再由AC为⊙O的直径，可得AE＝2BF＝2AF，从而得到∠ABF＝∠BAF，然后根据 ，可得AB＝BC，可证明△ABF≌△CBD，从而得到BF＝BD＝CD，即可．
【解答】解：（1）在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（SSS），
∴∠AMD＝∠AND；
（2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论，
如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM＝∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，
∵AC＝AM+MD，AC＝AN+NC，
∴DM＝CN，
∴DN＝CN，
∴∠C＝∠CDN，
∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；
（Ⅱ）选择①为条件，②为结论，
如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM＝∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
∵AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，
∵∠AMD＝2∠C，
∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，
∴∠CDN＝∠C，
∴DN＝CN，
∴DM＝CN，
∵AC＝AN+NC，
∴AC＝AM+MD；
（3）如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF，
∵∠BAC的平分线AD，
∴，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AE＝2BF＝2AF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∵∠BAF＝∠BCD，
∴∠ABF＝∠CBD，
∵，
∴AB＝BC，
∴△ABF≌△CBD（ASA），
∴BF＝BD＝CD，
∴AE＝2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积．
【分析】（1）求出D（0，3），可得3＝﹣×（0﹣2）2+k，k＝4，即可得抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）连接OP，求出C（2，0），OC＝2，A（﹣2，0），OA＝2，抛物线顶点P坐标为（2，4），可得S四边形ACPD＝S△AOD+S△POD+S△POC＝10．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，
∴D（0，3），
∵抛物线经过点D（0，3），
∴3＝﹣×（0﹣2）2+k，
解得k＝4，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3；
∴抛物线表示的函数解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）连接OP，如图；
在y＝﹣x+3中，令y＝0得x＝2，
∴C（2，0），OC＝2，
在y＝﹣x2+x+3中，令y＝0得0＝﹣x2+x+3，
解得x＝6或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），OA＝2，
由y＝﹣（x﹣2）2+4可得抛物线顶点P坐标为（2，4），
∴S四边形ACPD＝S△AOD+S△POD+S△POC＝×2×3+×3×2+×2×4＝3+3+3＝10；
∴四边形ACPD的面积为10．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积等知识，解题的关键是用割补法求出四边形ACPD的面积．
26．（10分）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE＝1，AB＝2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是 BE＝DF ，位置关系是 BE⊥DF ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA＝OD＝OG．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
【分析】（1）先证△AEB≌△AFD，得到BE＝DF，再根据△AMB和△DMG内角和推导，证∠G＝90°即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；
（3）由（2）知点OA＝OD＝OG，则点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧上，再根据α的变化求圆心角即可得解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△AEF是含有45°的直角三角尺，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∵∠BAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴∠G＝∠BAM＝90°，即BE⊥DF，
故答案为：BE＝DF，BE⊥DF．
（2）∵△BAD是直角三角形，O是BD中点，
∴OA＝BD＝OD，
由（1）知∠G＝90°，
∴△BGD是直角三角形，
∴OG＝BD＝OD，
∴OA＝OD＝OG．
（3）由（2）知，OA＝OD＝OG，
∴点G的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧，
连接OA，OG，
∵旋转角α从0°变化到60°，
∴此时点G的运动路线就是，
∵∠BAE＝60°，
∴ABE＝30°，
∴∠OBG＝45°﹣30°＝15°，
∵OB＝OG＝BD，
∴∠DOG＝30°，
∴∠AOG＝180°﹣∠AOB﹣∠DOG＝60°，
∵AB＝2，
∴BD＝AB＝2，
∴OA＝OG＝，
∴的长度＝＝π．
即点G经过路线的长度为π．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、弧长公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/12 17:33:46；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433组别
成绩分组
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
16
D
90≤x≤100
b
红
白
白
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，白）
（白，白）
白
（白，红）
（白，白）
（白，白）
组别
成绩分组
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
16
C
80≤x＜90
16
D
90≤x≤100
b