74-2024年江苏省无锡市中考数学试卷

这是一份74-2024年江苏省无锡市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）4的倒数是（ ）
A．B．﹣4C．2D．±2
2．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥3
3．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝2
4．（3分）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，34B．35，35C．34，35D．35，34
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．平行四边形D．正五边形
6．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
7．（3分）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝1
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（3分）在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km．数据45000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）正十二边形的内角和等于 度．
14．（3分）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
15．（3分）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 ．
17．（3分）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
22．（9分）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（12分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝ ；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
25．（10分）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
27．（10分）【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
（1）当点C′与点A重合时，求B′M的长；
（2）设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′＝∠ADC时，求AC′的长．
28．（13分）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1．（3分）4的倒数是（ ）
A．B．﹣4C．2D．±2
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．
【解答】解：4的倒数是，
故选：A．
【点评】本题考查倒数，熟练掌握倒数的相关的知识点是解题的关键．
2．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：D．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝2
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【解答】解：，
x+1＝2x，
x＝1，
检验，当x＝1时，x（x+1）≠0，
∴x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
4．（3分）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，34B．35，35C．34，35D．35，34
【分析】根据平均数与中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：，
这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37，
∵一共有5个数据，
∴中位数为第3位数，即35，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数与中位数的定义，熟练掌握平均数与中位数的求解方法是解答本题的关键．
5．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．平行四边形D．正五边形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：选项A、B、D中的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
6．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．
7．（3分）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝1
【分析】根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程＝总路程，据此即可列出方程．
【解答】解：设经过x天相遇，
可列方程为：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意建立等量关系是关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
【分析】由三角形内角和定理可得出∠B′AC′＝∠BAC＝35°，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【解答】解：由旋转的性质可得出∠B′AC′＝∠BAC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝35°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝70°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，掌握三角形内角和定理，由旋转的性质可得∠B′AC′＝∠BAC是解题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC＝CD＝x，易得∠ABC＝∠DCH＝60°，则，进而得出，再得出，最后根据sin∠EBC＝，即可解答．
【解答】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCH＝60°，
设BC＝CD＝x，
∵E是CD的中点，
∴，
∵EH⊥BH，
∴，
∴，
∴BE＝＝x，
∴sin∠EBC＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
10．（3分）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】推出y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1，即可判断①；推出y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2，即可判断②；③设当0＜m≤x≤n，则，
当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④．
【解答】解：①当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1，
∴1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；故①正确，符合题意；
②当x＝0时，y＝x2＝0，当x＝2时，y＝x2＝4，
∵y＝x2对称轴为y轴，a＝1＞0，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∴y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2，
∴0≤x≤2是函数y＝x2的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意；
③∵k＞0，
∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小．
设当0＜m≤x≤n，则，
当函数存在“3级关联范围”时，
整理得：，
∵k＞0，0＜m≤x≤n，
∴总存在，
∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意；
④函数y＝﹣x2+2x+1的对称轴为，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，
当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，，
解得：，
∴是函数y＝﹣x2+2x+1的“4级关联范围”，
∴函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
【点评】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，掌握反比例函数的性质，二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（3分）在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km．数据45000用科学记数法表示为 4.5×104 ．
【分析】科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【解答】解：数据45000用科学记数法表示为4.5×104．
故答案为：4.5×104．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
13．（3分）正十二边形的内角和等于 1800 度．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：（12﹣2）×180°＝1800°，
∴正十二边形的内角和等于1800°．
故答案为：1800．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（3分）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据a＞b，可得出a﹣3＞b﹣3，进而可判断出若a＞b，则a﹣3＜b﹣3是假命题．
【解答】解：∵a＞b
∴a﹣3＞b﹣3，
∴若a＞b，则a﹣3＜b﹣3是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，关键是不等式性质的应用．
15．（3分）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： （答案不唯一） ．
【分析】根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．
【解答】解：根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 9 ．
【分析】根据三角形的中位线定理得出，即可解答．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝4+2+3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
17．（3分）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 2或3 ．
【分析】先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB＝5，
∴A（﹣5，0），B（0，5），
设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，
∴A′（﹣5+a，﹣a），B′（a，5﹣a），
∵A′、B′两点恰好都落在函数的图象上，
∴把B′（a，5﹣a）代入得：a（5﹣a）＝6，
解得：a＝2或a＝3．
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ 2 ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
【分析】易得CD∥PQ，则△APQ∽△ADC，得出，代入数据即可求出CD＝2；根据△APQ∽△ADC，得出，设DE＝t，则AP＝2t，通过证明△CDE∽△BAE，得出，则，进而得出，结合△APQ∽△ADC，可得，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式．
【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CD∥PQ，
∴△APQ∽△ADC，
∴，即，
∵x＝y，
∴CD＝2；
∵△APQ∽△ADC，
∴，即，
整理得：，
设DE＝t，
∵AP＝2ED，
∴AP＝2t，
∵CM∥AB，
∴△CDE∽△BAE，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵△APQ∽△ADC，
∴，即，
整理得：，
故答案为：2，．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
【分析】（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣4+2
＝2；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2
＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
【点评】本题考查了完全平方式，实数的运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
20．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集．
【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣4＝0，
（x﹣2）2＝4，
x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝4，x2＝0，
（2），
由①可得：x≤3，
由②可得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程﹣直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，再根据中点的定义得出BE＝CE，即可根据SAS求证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等的性质得出AE＝DE，根据等边对等角即可求证．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．（9分）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果有1种，
∴摸到白球的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
23．（12分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ③ ；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝ 0.12 ；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数，然后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于5.4cm的麦穗的频率相加即可求解．
【解答】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的m＝1﹣（0.04+0.45+0.3+0.09）＝0.12，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数有：100×0.3＝30，
频数分布直方图补全如下：
（3）0.45+0.3+0.09＝0.84，
故长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为84%．
【点评】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
【分析】（1）作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形AEDF为正方形，设AE＝AF＝ED＝DF＝x，则BE＝7﹣x，FC＝5﹣x，以DB＝DC为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．
【解答】解：（1）如图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAC＝90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
设AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴．
【点评】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
25．（10分）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据题意得出10≤a≤25，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200，
∵﹣10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝﹣10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式．
26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD＝∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB＝∠E，等量代换可得出∠CAD＝∠E，又∠C＝∠C，即可得出△CAD∽△CEA．
（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB＝90°，设∠CAD＝∠DAB＝α，即∠CAE＝2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC＝∠CAE＝2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°＝180°，即可得出α的值，进一步即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如图：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°
【点评】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
27．（10分）【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C′始终落在AD上，点B的对应点为B′，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
（1）当点C′与点A重合时，求B′M的长；
（2）设直线B′C′与直线AB相交于点F，当∠AFC′＝∠ADC时，求AC′的长．
【分析】（1）过点C作CH⊥AD，则CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，再求出HD，根据勾股定理求出CD，当点C′与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，则有AM＝MC，设B′M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，再利用勾股定理即可得出．
（2）分两种情况，当点F在AB上时和当点F在BA的延长线上时，设AF＝5x，AC′＝12x，则C′F＝13x，利用∠AFC′＝∠ADC＝∠B′FM三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AD，
则CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，
∴HD＝AD﹣AC′＝13﹣8＝5，
∴，
，
当点C′与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，
则有AM＝MC，
设B′M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△MBC中x2+82＝（12﹣x）2，
解得：，
故；
（2）如图2，当点F在AB上时，如图2：
由（1）可知，
∵∠AFC′＝∠ADC，
∴，
设AF＝5x，AC′＝12x，则C′F＝13x，
根据折叠的性质可得出：B′C′＝BC＝8，B′F＝8﹣13x．
∵∠B′FM＝∠AFC′，
∴，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△BFM中，，，
则，
解得：，
；
如图3，当点F在BA的延长线上时，
同上，
在Rt△AFC′中，
设AF＝5x，AC′＝12x，FC′＝13x，FB′＝13x﹣8，
在Rt△MFB′中，
，，
则，
解得，
则，
综上：AC′的值为：或．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
28．（13分）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入y＝ax2+x+c，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线AB的函数解析式为，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时；当PQ为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，y1＞y2；
当时，即时，y1＝y2；
当时，即时，y1＜y2；
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1，
∵PQ∥MN，MG∥x轴，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，则MG＝2NG，
设NG＝t，则MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图2：构造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③如图3：构造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图4：构造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当PQ为正方形对角线时，
⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
∴PK∥x轴，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
设QK＝x，则PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，则，
∴，
设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或．
【点评】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/6 13:01:44；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433长度x/cm
频率
4.0≤x＜4.7
0.04
4.7≤x＜5.4
m
5.4≤x＜6.1
0.45
6.1≤x＜6.8
0.30
6.8≤x＜7.5
0.09
合计
1
A型劳动用品（件）
B型劳动用品（件）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800
白
红
绿
白
（白，白）
（白，红）
（白，绿）
红
（红，白）
（红，红）
（红，绿）
绿
（绿，白）
（绿，红）
（绿，绿）
长度x/cm
频率
4.0≤x＜4.7
0.04
4.7≤x＜5.4
m
5.4≤x＜6.1
0.45
6.1≤x＜6.8
0.30
6.8≤x＜7.5
0.09
合计
1
A型劳动用品（件）
B型劳动用品（件）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800