75-2024年江苏省宿迁市中考数学试卷

这是一份75-2024年江苏省宿迁市中考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．36的倒数是（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．a4•a2＝a6C．a3÷a＝a3 D．（ab2）3＝a3b5
3．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104B．3.84×105C．3.84×106D．38.4×105
4．如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
第4题 第5题 第8题 第15题
5．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自B．立C．科D．技
6．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣4＝x﹣1 B．x+4＝x﹣1C．x﹣4＝x+1 D．x+4＝x+1
7．规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如
【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m＜B．m＞C．m＞且m≠0D．m＜且m≠0
8．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．因式分解：x2+4x＝ ．
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．点P（a2+1，﹣3）在第 象限．
13．一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ．
14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
15．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
16．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
17．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（π﹣3）0﹣2sin60°+|﹣|．
20．（8分）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝+3．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
22．（8分）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
23．（10分）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
24．（10分）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
26．（10分）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
27．（12分）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
28．（12分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
2024年江苏省宿迁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．6的倒数是（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
【分析】根据倒数的定义计算即可．
【解答】解：6的倒数是．
故选：A．
【点评】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5B．a4•a2＝a6
C．a3÷a＝a3D．（ab2）3＝a3b5
【分析】A．根据同类项的定义判断即可；
B．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
C．根据同底数幂的除法运算法则计算即可；
D．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，
∴A不正确，不符合题意；
a4•a2＝a6，
∴B正确，符合题意；
a3÷a＝a2，
∴C不正确，不符合题意；
（ab2）3＝a3b6，
∴D不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104B．3.84×105C．3.84×106D．38.4×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法﹣﹣表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】先利用平行线的性质可得：∠1＝∠DFN＝40°，然后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DFN＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠DFN＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
5．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自B．立C．科D．技
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“强”与“科”是对面，
故选：C．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键．
6．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x﹣4＝x﹣1B．x+4＝x﹣1
C．x﹣4＝x+1D．x+4＝x+1
【分析】设绳长是x尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程即可．
【解答】解：依题意得x﹣4＝x﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m＜B．m＞C．m＞且m≠0D．m＜且m≠0
【分析】先根据新定义得到x（mx）+x+1＝0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0，
整理得mx2+x+1＝0，
∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4m•1＞0且m≠0，
解得m＜且m≠0．
故选：D．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
8．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】依据题意，过A作AD⊥x轴于D，再设A（a，）（a＞0），从而可得OC＝2OD＝2a，再求出直线OA为y＝x，然后联立，可得B的坐标，最后结合S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝6，进而可得k的方程，计算即可得解．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D．
由题意，设A（a，）（a＞0），
∵AO＝AC，AD⊥OC，
∴OC＝2OD＝2a．
又设直线OA为y＝mx，
∴ma＝．
∴m＝．
∴直线OA为y＝x．
联立，
∴x2＝．
∴x＝±．
∴B（﹣，﹣）．
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC
＝OC•|yB|+OC•|yA|
＝×2a（+）
＝k．
又∵S△ABC＝6，
∴k＝6．
∴k＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．要使有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：由二次根式有意义的条件可知，
x﹣1≥0，
即x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数是正确解答的关键．
10．因式分解：x2+4x＝ x（x+4） ．
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（x+4）．
故答案为：x（x+4）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，找出多项式各项的公因式是正确解答的关键．
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．点P（a2+1，﹣3）在第 四 象限．
【分析】根据平面直角坐标系各象限中点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵a2+1≥1，﹣3＜0，
∴点P（a2+1，﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系各象限中点的坐标特征是解题的关键．
13．一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 12 ．
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可．
【解答】解：∵一组数据6，8，10，x的平均数是9，
∴，
解得x＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式．
14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 90 °．
【分析】根据圆锥体侧面展开图的形状以及弧长的计算公式列方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得，
＝2π×3，
解得n＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面展开图的特征以及弧长的计算公式是正确解答的关键．
15．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【分析】根据正六边形的性质求出∠DEF的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF＝＝120°，
∴的长为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
16．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 10 °．
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAC＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．
17．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
【分析】将方程组整理得，然后结合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可．
【解答】解：将方程组整理得，
∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴x﹣2＝3，2y＝﹣2，
解得：x＝5，y＝﹣1，
即关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 3 ．
【分析】先求出点A坐标，再根据当边AC与x轴成45°时，AB最小解答即可．
【解答】解：∵点A在函数y＝x图象上，且点A的横坐标为4，
∴y＝＝3，
∴A（4，3），
OA＝5，
设点B（4x，3x），则OB＝5x，
∴AB＝5﹣5x＝5（1﹣x）
∵当边AC与x轴成45°时，AB最小，
∴AC＝3，BC＝，
∴AB＝＝＝3
∴最小值为3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、垂线段最短，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（π﹣3）0﹣2sin60°+|﹣|．
【分析】先进行零指数幂、特殊三角函数值、绝对值的初步运算，再加减运算．
【解答】解：（π﹣3）0﹣2sin60°+|﹣|＝1﹣2×+＝1﹣+＝1．
【点评】本题考查了零指数幂、特殊三角函数值、绝对值的计算，关键是掌握零指数幂、特殊三角函数值、绝对值的计算．
20．（8分）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝+3．
【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
【解答】解：（1+）•
＝（）
＝
＝，
当x＝+3时，．
【点评】本题考查了分式的化简求值，化简求值，一般是先化简分式为最简分式或整式，再代入求值．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC＝BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【分析】甲：连接AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，结合甲，利用三角形内角和定理即可证明△ABC是直角三角形．
【解答】证明：甲：连接AE，
∵E是BC的中点，
∴EC＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝EC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCE是菱形；
乙：连接AC，
∵AE＝CE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，
∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，
∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，
∴∠EAC+∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，梯形的性质，直角三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
22．（8分）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 200 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 36 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【分析】（1）首先根据D项目的人数和百分比求出总人数，用360°乘C所占比例可得答案；
（2）计算出B项目的人数，进而补全条形统计图；
（3）用全校人数乘样本中喜欢“E乒乓球”的学生人数的百分比得出人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200，
扇形统计图中C对应圆心角的度数为：360°×＝36°．
故答案为：200，36；
（2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30，
补全条形统计图如下：
（3）2000×＝460（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键．
23．（10分）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A彭雪枫纪念馆，B淮海军政大礼堂，C爱园烈士陵园，D大王庄党性教育基地，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小刚和小红选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小刚选择线路A的结果有1种，
∴小刚选择线路A的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．（10分）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】根据题意得到DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan37°＝≈0.75，
∴GD＝，
在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，
∴FG＝BG，
∵DF＝24米，
∴DG﹣FG＝﹣BG＝24，
解得BG＝72，
∴AB＝72+1.2＝73.2（米），
答：塔AB的高度为73.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
25．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，等量代换得到∠FCD＝∠COE，得到∠OCF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到CE＝CD＝6，根据勾股定理得到OE＝＝8，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∴∠COE+∠OCE＝90°，
∵∠FCD＝2∠B，
∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD+∠OCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CE＝CD＝6，
∵AB＝20，
∴OC＝10，
∴OE＝＝8，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，
∴，
∴，
∴OF＝，
∴EF＝OF﹣OE＝﹣8＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
（1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？
（2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【分析】（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定t的值，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）设纪念品B的单价为m元，则纪念品A的单价为（m+10）元，
根据题意得：＝，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的根，
∴m+10＝30，
答：纪念品A的单价为30元，纪念品B的单价为20元；
（2）设总费用为w元，计划购买A纪念品t件，则B纪念品（400﹣t）件，
根据题意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，
∴w与t的函数关系式为w＝10t+8000；
∵纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，
∴t≥2（400﹣t），
解得t≥266，
∵t为整数，
∴t最小值取267；
在w＝10t+8000中，w随t的增大而增大，
∴当t＝267时，w取最小值，最小值为10×267+8000＝10670（元），
∵10670＜11000，符合题意，
此时400﹣t＝400﹣267＝133，
∴购买A纪念品267件，B纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系．
27．（12分）如图①，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2．点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2于点Q．
（1）求抛物线y2的表达式；
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ﹣xP的值；
（3）如图②，若抛物线y3＝x2﹣8x+t与抛物线y1＝x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8m（x﹣2），得到xQ＝4+m，即可求解；
（3）求出直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
而y2过（2，0）、（4，0），
则y2＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（2）设点P（m，m2﹣2m）、点A（2，0），
设直线PA的表达式为：y＝k（x﹣2），
将点P的坐标代入上式得：m2﹣2m＝k（m﹣2），
解得：k＝m，
则直线AP的表达式为：y＝m（x﹣2），
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+8m（x﹣2），
解得：xQ＝4+m，
则xQ﹣xP＝4+m﹣m＝4；
（3）由（1）知，y1＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
联立y1、y3得：x2﹣2x＝x2﹣8x+t，
解得：x＝t，
则点C（t，t2﹣t），
由点C、M的坐标得，直线CM的表达式为：y＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
联立上式和y3的表达式得：x2﹣8x+t＝（m+t﹣2）（x﹣m）+m2﹣2m，
整理得：x2﹣（6+m+t）x+（1+m）t＝0，
则xC+xN＝6+m+t，即t+n＝6+m+t，
即n﹣m＝6，
即|m﹣n|＝6为定值．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
28．（12分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF＝ 45 °．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM＝MF．
【深入研究】
若＝，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【分析】【操作判断】根据折叠的性质即可解答；
【探究证明】（1）证明△BHG∽△CHF，△BHC∽△GHF，得到∠BCH＝∠GFH＝45°，即可解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBG≌QGF（AAS），利用平行线的性质及折叠的性质，即可得证；
【深入研究】根据旋转的性质及勾股定理证明△GBH≌△NBH（SAS），设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，分别求出CH，GH，即可解答．
【解答】【操作判断】解：如图，
由题意可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠EBF＝45°，
故答案为：45；
【探究证明】（1）解：△BFG为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得∠EBF＝45°，
∵ABCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠EBF＝45°，
∴△BHG∽△CHF，
∴，
∴，
∵∠GHF＝∠BHC，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠BCH＝∠GFH＝45°，
∴△GBF为等腰直角三角形；
（2）证明：∵△GBF为等腰直角三角形，
∴∠BGF＝90°，BG＝FG，
∴PQ⊥AB，PQ⊥CD，
∴△PBG≌QGF（AAS），
∴∠PGB＝∠GFQ，
∵PQ∥AD，
∴∠PGB＝∠AEB，
∵翻折，
∴∠AEB＝∠BEF，
∵∠PGB＝∠EGQ，
∴∠BEF＝∠EGQ，
∵∠BEF+∠EFG＝∠EGQ+∠FGQ＝90°，
∴∠EFG＝∠FGQ，
∴EM＝MG＝MF；
【深入研究】解：将△AGB旋转至△BNC，连接HN，如图，
∴△AGB≌△CNB，
∴∠BAC＝∠BCN＝45°，AG＝CN，BG＝BN，
∵∠ACB＝45°，
∴∠HCN＝90°，
∴CH2+CN2＝HN2，
∵∠5＝∠6，∠EBF＝45°，
∴∠GBH＝∠NBH，
∴△GBH≌△NBH（SAS），
∴GH＝NH，
∴CH2+AG2＝GH2，
由（2）知△PBG≌△QGF，四边形APQD为矩形，
∵∠BAC＝45°，
∴AP＝PG＝DQ＝FQ，
设AP＝PG＝DQ＝FQ＝a，
∴AG＝a，
∵，
∴AC＝ka，
∴GH+HC＝AC﹣AG＝a（k﹣1），
∵CH2+AG2＝GH2，
∴GH2﹣CH2＝（CH+GH）（GH﹣CH）＝2a2，
∴GH﹣CH＝，
解得GH＝，CH＝，
∴．
【点评】本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 12:50:21；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433测量七凤塔高度
测量工具
测角仪、皮尺等
活动形式
以小组为单位
测量示意图
测量步骤及结果

如图，步骤如下：
①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；
②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米；
③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
测量七凤塔高度
测量工具
测角仪、皮尺等
活动形式
以小组为单位
测量示意图
测量步骤及结果

如图，步骤如下：
①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角；
②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 米；
③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
……