78-2024年山东省潍坊市中考数学试卷

这是一份78-2024年山东省潍坊市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A．1.267×105B．1.267×106C．1.267×107D．126.7×104
3．（4分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．100min，50℃B．120min，50℃
C．100min，55℃D．120min，55℃
5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）7．（5分）下列命题是真命题的有（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc
B．若a＞b，则ac＞bc
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
（多选）8．（5分）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）
A．体积为π
B．母线长为1
C．侧面积为
D．侧面展开图的周长为
（多选）9．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（ ）
A．a﹣b+c＞0
B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立
（多选）10．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（ ）
A．＝B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BACD．四边形AOCE为菱形
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11．（4分）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
12．（4分）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 ．
13．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
14．（4分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ ，n＝ ．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
17．（10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ的面积．
18．（11分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
（3）直接写出表中a和b的值，并求的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
19．（10分）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
20．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
21．（14分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
22．（13分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
2024年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）
1．（4分）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案．
【解答】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意；
D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．
2．（4分）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ）
A．1.267×105B．1.267×106C．1.267×107D．126.7×104
【分析】将一个数写成a×10n，（其中1≤a＜10，n为整数），即可得到答案．
【解答】解：126.7万＝1267000＝1.267×106，
故选：B．
【点评】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
3．（4分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据物体及其俯视图即可求解．
【解答】解：由图形可得，它的主视图如图所示：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．
4．（4分）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ）
A．100min，50℃B．120min，50℃
C．100min，55℃D．120min，55℃
【分析】根据图像即可得到最佳时间和温度．
【解答】解：由图象可知，在120min时提取率最高，50℃时提取率最高，
故最佳的提取时间和提取温度分别为120min，50℃，
故选：B．
【点评】本题考查的是折线统计图，对数据分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．
5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【分析】过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，根据∠β＝45°求出∠FEH即可求解．
【解答】解：过点E作EH∥AB，
∵AB∥FG，
∴AB∥EH∥FG，
∴∠BEH＝α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，
∵β＝45°，
∴∠FEH＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣120°＝60°，
∴EF与FG所成锐角的度数为60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论．
【解答】解：∵m﹣2n＝3，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）
＝m2+4n2﹣4mn﹣4
＝（m﹣2n）2﹣4
＝32﹣4
＝9﹣4
＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）7．（5分）下列命题是真命题的有（ ）
A．若a＝b，则ac＝bc
B．若a＞b，则ac＞bc
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
【分析】利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、由等式的性质可得，若a＝b，则ac＝bc，原命题为真命题，符合题意；
B、由不等式的性质可得，若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，原命题为假命题，不符合题意；
C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题，符合题意；
D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题，不符合题意．
故选：AC．
【点评】本题考查了命题与定理，实数的运算，等式的性质，不等式的性质，解题的关键是了解等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．
（多选）8．（5分）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（ ）
A．体积为π
B．母线长为1
C．侧面积为
D．侧面展开图的周长为
【分析】运用圆柱的体积，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长相关知识求解各选项再判断即可．
【解答】解：A．∵圆柱的底面半径为，高为1，
∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意；
B．∵圆柱的高为1，
∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意；
C．∴圆柱的底面半径为，高为1，
∴圆柱的底面周长为，
∴侧面积为，故选项C正确，符合题意；
D．∵圆柱的底面周长为，高为1，
∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意，
综上，正确的结论为B，C，
故选：BC．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，几何体的表面积，几何体的展开图，关键是相关公式的熟练应用．
（多选）9．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（ ）
A．a﹣b+c＞0
B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）
C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2
D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立
【分析】根据二次函数的图象和性质进行解题即可．
【解答】解：将x＝﹣1代入，可得y＝a﹣b+c，由图象可知，此时图象在x轴上方，故a﹣b+c＞0，故选项A正确；
对称轴是直线x＝1，
∴
故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0），故选项B错误；
∵x＝1时，函数有最大值，（2，y2）距离对称轴更近，故y1＜y2，故选项C正确；
∵x＝1时，函数有最大值，故an2+bn+c≤a+b+c，即不等式an2+bn≤a+b总成立，故选项D正确；
故选ACD．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（多选）10．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（ ）
A．＝B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BACD．四边形AOCE为菱形
【分析】根据全等三角形的判定定理证明∠OCA＝∠ACE，证明OC＝CE＝OA即可证明四边形AOCE为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可．
【解答】解：令AC，OE交于点F，
由题意得：OE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵AO＝OC，
∴△AOE≌△COE，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF＝OF，AO＝AO，
∴△AOF≌△COF，
∴∠OAF＝∠OCF，
∵AO∥BC，
∴∠OAF＝∠ACE，
∴∠OCA＝∠ACE，
∴，选项A正确；
∵∠OCF＝∠ECF，∠OFC＝∠EFC＝90°，CF＝CF
∴△EFC≌△OFC，
∴OC＝CE＝OA，
∵AO∥EC，
故四边形AOCE为菱形，选项D正确；
∵，
∴AB＝AD，
∵四边形AOCE为菱形，
∴AE＝OC＝OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD＝OE，
∴AB＝OE，选项B正确；
∠AOD＝∠OAE，故选项C错误；
故选：ABD．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、解直角三角形，三角形的外接圆与外心，菱形的判定，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）
11．（4分）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： y＝﹣x+2（答案不唯一） ．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
【分析】一次函数y＝kx+b（k≠0）中的y随着x的增大而减小可得k＜0，再根据函数图象与y轴正半轴相交可得b＞0，据此即可求解．
【解答】解：∵y随着x的增大而减小，
∴一次函数的比例系数k＜0，
又∵函数图象与y轴正半轴相交，
∴b＞0，
∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是y＝﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
12．（4分）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 ．
【分析】作C′F⊥AO，求出OF，C'F的值即可得到答案．
【解答】解：作C′F⊥AO，交y轴于点F，
由题可得：OA＝4，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAC＝30°，
∴，
在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，
即，
解得，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
【分析】列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解．
【解答】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列举法与树状图法，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键．
14．（4分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ 45 ，n＝ 2 ．
【分析】当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
【解答】解：由图中排布可知，当正整数为k2时，
若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而2025＝452，在第45行，第1列，
∴2024在第45行，第2列，
∴m＝45，n＝2，
故答案为：45，2．
【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解题的关键是找出规律．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减；
（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得．
【解答】解：（1）
＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3
＝﹣2+4﹣3
＝﹣1；
（2）
＝
＝
＝a﹣2；
当时，
原式＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键．
16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，即得∠EAH＝∠FCG，由折叠的性质可得AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，即得CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，进而得AH＝CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；
（2）由（1）得∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH＝FG，进而即可求证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
17．（10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ的面积．
【分析】（1）利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（2）分别求出P、Q的坐标，得到PQ的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【解答】解：（1）把代入得，，
∴m＝﹣3，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把代入得，，
∴，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
18．（11分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．
（3）直接写出表中a和b的值，并求的值；
（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【分析】（1）分别用3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家4分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（2）用360°乘以甲商家4分的占比即可求解；
（3）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（4）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解．
【解答】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
（2）；
（3）∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
（4）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
19．（10分）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．
【分析】（1）根据题意可以得出y＝﹣x2+4x+160，再令y＝148，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中y＝﹣x2+4x+160代入t＝y+x2，可得出t与x的关系式t＝4x+160，然后利用一次函数的性质，即可求出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
整理得y＝﹣x2+4x+160，
当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
∵0≤x≤9，
∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，
答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，
∵t＝y+x2，
∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．
∵4＞0，
∴t随x的增大而增大，
当t＝172时，4x+160＝172，
解得x＝3；
当t＝192时，4x+160＝192，
解得x＝8；
答：x的取值范围为3≤x≤8．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
20．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OD，由角平分线可得∠BAD＝∠EAD，又由OA＝OD可得∠OAD＝∠ODA，即得∠ODA＝∠EAD，由DE⊥AE得∠EAD+∠ADE＝90°，进而可得∠ODA+∠ADE＝90°，即得OD⊥DE，即可求证；
（2）AB是⊙O的直径可得∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又由（1）知∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，由∠BAD＝∠EAD，∠DBC＝∠ADC，进而可得∠DBC＝∠CDE，再根据∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，可得∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，得到BD＝CD，，解Rt△CDE得到CD＝BD＝3，再解Rt△ABD即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ODA+∠ADE＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆的有关定理是解题的关键．
21．（14分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
将（0，40），（10，45），（30，49）代入，
得，
解得，
∴；
（2）根据函数解析式得函数对称轴，
故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大；
（3），
延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，
∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，
∴，
∵HN＝HF+FN＝4+a，
∴，
∴，
∴，
延长AN交GM与J点，
∵∠AJG＝∠AGJ，
∴AJ＝AG，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．（13分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ 0.785 ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得x，r的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为6，进而将草坪分为9个正方形，即可求解．
【解答】解：（1）当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积s＝π r2＝π×92＝81π（m2）．
正方形草坪的面积S＝a2＝182＝324（m2）．
故喷洒覆盖率．
故答案为：0.785．
（2）对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
＝
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【点评】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
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统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
a
3
3.5
1.05
乙商家
4
b
1.24
商家
统计量
中位数
众数
平均数
方差
甲商家
a
3
3.5
1.05
乙商家
4
b
1.24