江西省上高二中2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

这是一份江西省上高二中2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数满足，则等于
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知角，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A．B．C．2021D．
8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据的分位数是23.5
B．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是
C．函数的定义域为，则的定义域为
D．若，则的值为1
10．已知，，直线：，：，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ）
A．该曲线与最多存在3个交点
B．如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则
C．存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像
D．时，该曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数
三、填空题
12．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是 .
13．设函数，存在最大值，则的取值范围是 .
14．对于函数和，及区间，存在实数使得对任意恒成立，则称在区间上优于.若在区间上优于，则实数的取值范围是
四、解答题
15．某地为调查年龄在岁段人群每周的运动情况，从年龄在岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
(1)根据以上信息，能否有把握认为该地年龄在岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
(2)用样本估计总体，从该地年龄在岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：.
16．已知在数列中，．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的前项和；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的最大值．
17．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．
(1)求证：；
(2)求点B到平面的距离．
18．已知椭圆的右焦点的坐标为，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
19．定义运算：，已知函数，．
(1)若函数的最大值为0，求实数a的值；
(2)若函数存在两个极值点，，证明：；
(3)证明：．
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考答案：
1．D
【分析】化简已知条件，利用复数除法运算求得的表达式.
【详解】由得
，
即
∴.
故选D.
【点睛】本小题主要考查复数方程的解法，考查复数除法运算，属于基础题.
2．D
【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
3．B
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法，当，直线与圆有公共点时，恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，
当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立，
则且，解得，即或（舍去）
所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4．A
【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.
【详解】，，
，，
，
故选：A.
5．B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，
其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，
故所求概率.
解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.
故选：B
6．C
【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得.
【详解】，令，则，有，
即，即，
又为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立.，
故的取值范围是.
故选：C.
7．A
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
8．A
【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得.
【详解】，

则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即，
则可知当三点共线时，取得最小值，
即.
故选：A.
9．ABD
【分析】由百分位数概念可判断A；根据不等式的解集可知，以及的关系，进而可判断结果B；对于C，可求得的定义域，利用抽象函数的定义域的求法可判断结果；对于D，利用指对互化可得，再利用换底公式代入即可求得结果.
【详解】对于A，由 ，可知样本数据的分位数是第7项和第8项数据的平均数，即为，故A正确；
对于B，不等式的解集为，可知，
由题意可得 与是关于的方程的两根，
所以,解得.
所以不等式可化为，解得:，故B正确；
对于C，因为函数的定义域为0,1，所以，则，
所以，解得:，所以的定义域为0,1，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】由，得，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立.
【详解】由，得，即，
，，则，当且仅当，即时等号成立，
所以有，A选项正确；
由，有，
当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立；
由，有，，，则，
，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误；
由，有，
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】AB项，转化为三次方程根的个数问题研究；C项，举特例说明存在值使曲线是偶函数的图象；D项，令，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应值不唯一即可说明不是的函数.
【详解】A项，曲线方程，
令，得关于的一元三次方程，
令，则，
最多两根，即函数最多两个极值点，
即方程最多有三个实根，故A正确；
B项，若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点，
即存在，关于的方程有三个实根.
令，则，
假设，，都有，即单调递增，
则方程在最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误.
故，B正确；
C项，当时，曲线即函数的图象，
设，，定义域关于原点对称.
且，所以是偶函数.
故存在，使得曲线是偶函数的图象，故C正确：
D项，当时，曲线方程为.
令，得，
令，则，
由零点存在性定理知至少两根，则对应的值不唯一，不符合函数定义，故D错误；
故选：ABC.
12．
【分析】先求出，的否定，从而在上恒成立，构造，利用导函数求出单调性，得到最大值为5，从而求出m的取值范围.
【详解】命题，的否定是，，
故，为真命题，
即在上恒成立，
令，则，
令，得到，令，得到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最大值为5，
所以，则m的取值范围是.
故答案为：
13．
【分析】对进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得的取值范围.
【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，
故函数存在最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，，
当时，函数在上单调递增，此时 ，
于是时函数存在最大值.又，解得 ；
④当时，函数在上单调递减， ，
在上单调递增，此时
故当，解得，
又，故；
综上，的取值范围是时函数存在最大值.
故答案为：
【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.
14．
【分析】由题意可得符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，据此计算验证即可.
【详解】因为，且，
若在区间0,+∞上优于，
可知符合条件的直线应为fx,gx在的公切线，
则，可得，则切线方程为，
令在0,+∞上恒成立，
令，求导可得，
当x∈0,1，可得，在0,1单调递增，
当x∈1,+∞，可得，在1,+∞单调递减，
所以，即在0,+∞上恒成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．(1)有把握认为该地岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算卡方进行独立性检验即可；
（2）由已知得，，再列出分布列求解数学期望即可.
【详解】（1）由.
知：有把握认为该地岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
（2）由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
16．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，由等差数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式，应用裂项相消法求前项和即可；
（2）根据题设三角恒等式，结合正弦定理得，由三角形内角性质求角，由余弦定理及基本不等式求的范围，应用三角形面积公式，求面积的最大值.
【详解】（1）由题意，，即
为等差数列：首项，公差，
，则，
设，
（2）
由正弦定理，有，．
即，又，
，即
由，
由余弦定理得：，．
，即，当且仅当时取等号，
，即△ABC面积最大值为．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求得，结合已知条件得，从而，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）取中点，则．以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可．
【详解】（1）连接，
因为在等腰直角三角形中，，
在中，，同理得，
因为，
所以，所以
所以平面，
所以平面．
（2）取中点，则，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设平面的法向量为n=x,y,z，，
所以，令，则，则，
又，，
所以点到平面的距离为．
18．(1)；
(2)存在最大值，最大值为.
【分析】（1）由题意直接得到，，然后计算出即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为：，联立椭圆的方程，设，，则，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，求出直线的方程，令，求出，即直线与轴交于一个定点，记为，然后计算即可.
【详解】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4，
所以，即，，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不为，所以设直线的方程为：，
与椭圆的方程联立，得
消去，得，
所以，
设，，则，
由根与系数的关系，得 ，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为，
令，得，
即直线与轴交于一个定点，记为，
则，等号成立当且仅当.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于得出直线与轴交于一个定点，记为，且得到，由此即可顺利得解.
19．(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可；
（2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证，
即证，令求导确定函数φx的单调性，证明结论．
（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论.
【详解】（1）由题意知：
，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数y=fx的增区间为，减区间为．
，
．
（2）
“函数hx存在两个极值点，”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”；
故，解得．
要证，即证，
，不妨令，故
由得，令
在1,+∞恒成立，
所以函数φx在1,+∞上单调递减，故．
成立．
（3）由（1）知，，即，
当时，
．
【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题.
0
1
2
3