福建省厦门第六中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 完成时间：120分钟 命题时间：2024年4月30日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z在复平面内对应的点是，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在中，向量是（ ）
A. 有相同起点向量B. 模相等的向量
C. 共线向量D. 相等的向量
3. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（ ）
A. B. 1C. D.
4. 在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A m与n平行B. m与n平行或相交C. m与n异面或相交D. m与n平行或异面
5. 当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的（ ）
A. 若复数，则
B. 若，，则复数的虚部是2i
C. 若是关于x的实系数方程的根，则
D. 若，则的最小值为1
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与是异面直线
B. 直线与是平行直线
C. 直线与是相交直线
D. 平面截正方体所得的截面面积为
11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ）
A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则
B. 正中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数是纯虚数，其中R，则|z|＝________.
13. 已知在中，，则__________.
14. 如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当______时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论．
16. 在中分别为角所对的边，向量，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
17. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积．
18. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面．
（1）判断直线l与BC位置关系并证明；
（2）求证：平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19. （1）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知，．当BD长度变化时，是否为一个定值?若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）平面四边形ABCD中，已知，，．若，求证：．
（3）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求的取值范围．