湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题（解析版）

这是一份湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题（解析版），共22页。

2．请把答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1. 下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A. -2B.
C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的大小比较即可.
【详解】因为,
所以最小的为-2，
故选：A.
2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从左边看到的图形是左视图即可判断出答案．
【详解】根据从左边看到的图形是左视图，A符合题意，
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项和幂的运算法则以及平方差公式，对各选项进行判断即可．
【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，错误；
B选项，根据幂的运算法则，错误；
C选项，根据平方差公式，错误
D选项，根据合并同类项法则，正确；
故选：D.
4. 如图，这是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是（ ）
A. 5~10元B. 10~15元
C. 15~20元D. 20~25元
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形所给出的数据直接找出捐款人数最多的一组即可.
【详解】根据图形所给出的数据可得：捐款额为15~20元的有20人，人数最多，
则捐款人数最多的一组是15~20元.
故选：C
5. 已知一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数 的图象可能的位置，即得答案.
【详解】由题意可知 ，
故二次函数 的图象开口向下， ，
与y轴交点在x轴上方，故可能的图象为A，
故选：A
6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.0 18秒．则一天24小时有（ ）
A. 8×104刹那
B. 4.8×106刹那
C. 4.8×105刹那
D. 4.8×107刹那
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用除法即可得解.
【详解】由题意可知，，
即一天24小时有刹那.
故选：B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 小明制作了如图所示的四张卡片(四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案.
【详解】画树状图如下:
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有2种，
所以这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为.
故答案为:
8. 分解因式：___________________．
【答案】
【解析】
分析】提取公因式后再利用平方差公式分解即可.
【详解】
故答案为：
9. 已知方程2x2-x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据一元二次方程的韦达定理，可得答案.
【详解】由方程的解为，可得，
故答案为：
10. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966)
【答案】3.11
【解析】
【分析】根据圆内接十二边形的性质结合锐角三角函数可求边长，进而可根据π的近似值求解公式求解.
【详解】当n=12时,,
所以,
所以正十二边形的周长为，
故，
故答案为：3.11
11. 如图，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，连接AD，且AD=2，则BC的长为____．

【答案】
【解析】
【分析】延长至，使，连接，利用平行四边形的判定性质，结合勾股定理及逆定理计算即得.
【详解】延长至，使，连接，又D是BC的中点，则四边形是平行四边形，
于是，又，则，
因此，在中，，
所以.
故答案为：

12. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是____．

【答案】①③④
【解析】
【分析】①可有折叠对称得到，进而可得；②通过几何性质可得，即可判断；③设，可得，进而可得；④因，故即得.
【详解】因为折叠正方形，使边落在上，点落在点处，
所以，，，
故．
因为，
所以，
所以，故①正确．
因为，所以，
故，故，
所以，.
因为，所以四边形是平行四边形
所以，所以平行四边形是菱形，
所以．
因为，
故不是等边三角形，所以②不正确．
设，则，
所以，所以，故③正确．
因为，所以，故④正确．
故答案为：①③④
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）化简：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据多项式的乘法进行化简；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：.
（2）解：
解不等式①得，解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，)

【答案】
【解析】
【分析】设，由题意得，运用锐角三角函数求出的值即可求解.
【详解】设，
在中，，
，
，
，，
，
，，
在中，，
解得，经检验，是原方程的根，
，
答：火神台的高度约为.
15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m．
（1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果．
（2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）树状图见详解，3、4、9、16；
（2）正确，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）直接画树状图（或列表）可得；
（2）分别求出放入甲袋和乙袋中m的所有情况，然后可得.
【小问1详解】
（1）根据题意画树状图如下：
则m共有4种等可能的结果，分别为3、4、9、16.
【小问2详解】
老师的结论正确.
当放到甲袋中时，m分别是3、4、9、16、1、1，奇数的概率是=;
当放到乙袋中时，m分别是0、0、3、4、9、16，偶数的概率是=
故放到甲袋中得到的m是奇数的概率与放到乙袋中得到的m是偶数的概率是相同的，老师的结论正确.
16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长AB至点E，使得BE=AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．
（1）在图1中，过BD的中点作直线l∥AE．
（2）在图2中，作出一个矩形．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析.
【解析】
【分析】（1）利用菱形、平行四边形对角线、中位线的性质找到并画出直线l；
（2）利用菱形性质找到中点、，利用全等三角形得且，结合矩形的判定即可得.
【小问1详解】
连接，与BD的交点，即为BD的中点，
连接，与的交点，即为的中点，
所以BD的中点与的中点的连线即为所求直线l，如下图示：
【小问2详解】
由为菱形对角线交点，则，即，
而，过分别作交于一点，将其与连接，交于，
易知为中点，故，即，
易证，则且，
综上，四边形OBGC即为所求矩形，如下图示：
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数的图象上，若四边形ABCD为矩形．
（1）直接写出点A，B，D的坐标(用含m的式子表示)．
（2）求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）A(2m，0)，B(0，m)，D(，-m )
（2）40
【解析】
【分析】（1）把，代入，可得点B坐标，把代入，可得点A坐标，再过点D作轴于E，证，即可得，把代入，求得，即得D点坐标．
（2）证明，则，代入可得，解得，再由，即可求解．
【小问1详解】
解：对于一次函数，令，则，∴，
令，则，解得：，∴，
过点D作轴于E，
∵四边形为矩形．∴，，
∴，∵
∴，∴，
∴点D纵坐标为，把代入，得
，解得：，∴；
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形．∴，
∵，∴
∵∴，∴
∴，
由（1）知：，，，
∴，∴，
∴，∴，
∴．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 珍爱生命，远离溺水．某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并为获奖的同学颁发奖品．李老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10本，乙种笔记本20本，共用110元，且买5本甲种笔记本比买10本乙种笔记本少花5元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价．
（2）李老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因李老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？
【答案】（1）甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；
（2）购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元.
【解析】
【分析】（1）设出未知数，列出二元一次方程组并求解即得.
（2）设购买m本甲种笔记本，求出所需费用为元关于的函数关系，再利用一次函数的性质求出最小值.
【小问1详解】
设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，
根据题意得，解得，
所以甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元.
【小问2详解】
设购买m本甲种笔记本，则购买()本乙种笔记本，
由甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，得，解得，
设所需费用为元，
则，显然随m的增大而增大，
因此当时，最小，最小值为 (元)，此时，
所以购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元.
19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98．
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表
七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值．
（2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）
（2）520人
【解析】
【分析】（1）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数；
（2）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解．
【小问1详解】
七年级抽取的学生竞赛成绩从小到大排列后，
处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是82分，即．
八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数是88，
因此在及以上的应有10人，可得100分的有(人)，
因此竞赛成绩的众数为100，即．
【小问2详解】
七年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是，
八年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是，
则优秀人数为人.
所以参加此次竞赛活动成绩优秀的学生约有520人.
20. 如图1，某商业中心从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是该场景的侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN∥PQ，点C在MN上，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为45°．
（1）求自动扶梯顶端B到地面PQ的距离．
（2）若在自动扶梯顶端B的正上方的楼顶C处悬挂一个高为2米(CG=2米)的广告牌，请问一个身高为1.9米的人能否正常通过此处?(≈1.73)
【答案】（1）6米； （2）能.
【解析】
【分析】（1）延长CB交PQ于D，求出自动扶梯AB的坡度tan∠BAD=值，确定∠BAD的大小，进而可得B到地面PQ的距离；
（2）由（1）求出BD、CD，即可求结果.
【小问1详解】
如图，延长CB，交PQ于D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BD⊥PQ，
∵自动扶梯AB的坡度为1∶，
∴tan∠BAD===，
∴∠BAD=30°，故BD=AB=6米．
答：自动扶梯顶端B到地面PQ的距离为6米.
【小问2详解】
由（1）得：AD=BD=6，
Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=6≈10.38，
∴BG=CDBDCG=2.38>1.9，
答：一个身高为1.9米的人能正常通过此处.
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B．
（1）求证：CE是☉O的切线．
（2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)．
【答案】（1）证明见解析
（2）AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可)
【解析】
【分析】（1）将问题转化为证明，然后利用圆的性质证明可得；
（2）结合（1）中证明过程，写出三个正确结论即可.
【小问1详解】
如图，连接OC．
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°
∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，
∴∠B+∠ACO=90°
∵∠B=∠ECA，
∴∠ECA+∠ACO=90°，
∴∠ECO=90°，∴EC⊥OC
∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线
【小问2详解】
AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可)
由（1）知，直角三角形，因为，所以AB=2AC.
因为，所以
由外角定理知，
又，所以
由上知，，所以EA=AC.
22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值．
（2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴．
①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数;
②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围．
（3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）① 7；②；
（3）【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可,
（2）根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求将所有的整数点，结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，即可求解，
（3）根据C到x轴的距离为可得抛物线方程，根据直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得t=，进而结合图形特征即可求解.
【小问1详解】
把B(3，0)代入，得，解得
【小问2详解】
抛物线的对称轴为y轴，∴b=0，∴．
令，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为,
①∵当x=1时，，∴点,在区域G的内部;
∵当时，，∴点在区域G的内部;
∵当时，，∴点在区域G的内部;
∴在区域G的内部(不包括边界)的整点的个数为7
②抛物线过点，
∴抛物线在第四象限内的部分是0∵由题意可得整点坐标只能为，
∴解得
【小问3详解】
∵点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，抛物线，
∴其顶点C的纵坐标为，解得(舍去)，
∴，令，解得，
∴．
当直线y=经过点B时，即有0=，解得t=;
当直线y=与抛物线在x轴下方的部分只有一个交点时，
方程有两个相等的实数根，∴，解得t=，
∴六、（本大题共12分）
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动(每位同学的矩形纸片规格不同)．老师规定矩形纸片按如下方式操作(如图1)．
操作一：在矩形纸片的边CD上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点；
操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．
（1）根据以上操作可知度数为 ．
（2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由．
（3）如图3，在小华矩形纸片中，若经过小华折叠后的，请直接写出DE的长．
【答案】（1）
（2）等腰直角三角形；理由见解析
（3）1或
【解析】
【分析】（1）根据图形变化特征即可得角；
（2）通过图形特征及折叠得出即可判断三角形形状；
（3）经过折叠后的的长结合勾股定理，计算写出DE的长．
【小问1详解】
根据以上折叠操作,
又因为，
所以,
.
【小问2详解】
是等腰直角三角形．
图1
理由：如图1，连接．
∵四边形是矩形，
∴，
∴
由折叠知
∴．
∵，
∴
∴
∵
∵
∵
∴．
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形
【小问3详解】
DE的长为1或.0
图2
提示：如图2，过点E作交的延长线于点H，设，
由已知易得四边形为矩形，∴
由折叠的性质可知．
∵
∴在中，由勾股定理得，
∴
∴
在Rt△ECF中，由勾股定理得
∴
解得x=1或，
∴DE的长为1或．
【点睛】关键点点睛：解题关键是折叠后边长及角的变化和不变的量的应用计算.年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
a
25%
八年级
82
b
88
35%