湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，，则
A. B.
C D.
2. 设向量，，则（ ）
A. B. C. －D. －
3. 若，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是（ ）．
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，，40，50；乙组：24，，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（ ）
A. 60B. 65C. 70D. 75
6. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式
（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若一个圆柱的内切球（与圆柱的两底面以及每条母线均相切）的表面积为，则这个圆柱的体积为（ ）
A. B. 2C. D.
8. 已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 5
二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 对于，有如下判断，其中正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则等腰三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则符合条件的有两个
10. 已知函数的图象过点，若函数的从小到大的四个不同的零点依次为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）

A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 设集合，若，则实数m的取值范围为__________.
13. 已知二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是_____．
14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为__________．

四、解答题（本大题共5个小题，，13+15+15+17+17=77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
16. 已知ΔABC中，分别为角的边，且，且
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
17. 定义在(0,+∞)上的函数满足，且当时，．
（1）求；
（2）证明在(0,+∞)上单调递减；
（3）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小.
19. 某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立．
（1）求丁同学的总分为5分的概率；
（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励概率．第一轮
甲—乙
丙—丁
第二轮
甲—丙
乙—丁
第三轮
甲—丁
乙—丙