专题19 解三角形大题综合（教师卷）- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国通用）

这是一份专题19 解三角形大题综合（教师卷）- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国通用），共68页。试卷主要包含了记的内角的对边分别为，已知，在中，已知，，.，的内角的对边分别为，已知，的内角的对边分别为已知.，已知分别是内角的对边， ，设.等内容，欢迎下载使用。


考点01 求面积的值及范围或最值
1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
4．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
5．（2019·全国·高考真题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.
(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得，
此时就变为．
由诱导公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此时就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
两边平方得，即．
又，即，所以，
进一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】
根据题意，由正弦定理得，
因为，故，
消去得．
，，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
又因为，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
则．
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知的面积．
因为为锐角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面积的取值范围是．
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．
由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，
所以点C位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；
方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；
方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.
(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；
方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；
方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
6．（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，，.
7．（2016·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
8．（2015·浙江·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.
试题解析：（1）由，得，
所以.
（2）由可得，.
，由正弦定理知：.
又，
所以.
考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.
9．（2015·全国·高考真题）已知分别是内角的对边， ．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
【答案】（1）；（2）1
【详解】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出
（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得
又，可得
由余弦定理可得
（2）由（1）知
因为，由勾股定理得
故，得
所以的面积为1
考点：正弦定理，余弦定理解三角形
10．（2015·山东·高考真题）设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ） 面积的最大值为
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
（Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知
由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
（Ⅱ）由 得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即： 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.
考点02 求边长、周长的值及范围或最值
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
5．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
6．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
8．（2020·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
9．（2020·全国·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．
所以．
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设，则．因为，所以．
从而，又是锐角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
11．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2) .
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
12．（2017·山东·高考真题）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.
【答案】，
【详解】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.
试题解析：因为，
所以，
又，
所以，
因此，又，
所以，
又，所以.
由余弦定理，
得，
所以.
【考点】解三角形
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
13．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，△ABC的面积为2，求．
【答案】（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.
试题解析：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴，
∴．
14．（2016·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
15．（2015·浙江·高考真题）在中，内角 ，， 所对的边分别为， ，，已知 ，= .
（1）求的值；
（2）若的面积为3，求 的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式
子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得的值，再结合正弦定理以及三角
形面积的计算公式即可求解.
试题解析：（1）由及正弦定理得，
∴，又由，即，得，
解得；（2）由，得，，
又∵，∴，由正弦定理得，
又∵，，∴，故.
考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.
16．（2015·山东·高考真题）中，角所对的边分别为.已知 求 和 的值.
【答案】
【分析】由条件先求得，再由正弦定理即可求解.
【详解】在中，由，得.
因为，所以，
因为，所以，为锐角，，
因此.
由，可得，又，所以.
考点03 求角和三角函数的值及范围或最值
1．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
2．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
3．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
4．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
6．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.
【详解】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
10．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，csB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角C为锐角，故，
故.
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．（2019·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；
（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得．
【详解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦
由（1）知，，所以由，
得，
整理得，即．
又，所以，即，
则．
[方法二]正弦定理+方程思想
由，得，
代入，
得，
整理得，则．
由，得，
所以．
[方法三]余弦定理
令．由，得．
将代入中，可得，
即，解得或（舍去）．
所以，
从而．
[方法四]摄影定理
因为，所以，
由射影定理得，
所以．
【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；
方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；
方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值；
方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
12．（2018·天津·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
13．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，.
（I）求的值；
（II）求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
14．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.
【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
15．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若，求tanB．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.
【详解】试题分析：本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第（Ⅱ）问，利用余弦定理解出cs A=，再根据平方关系解出sin A，结合（Ⅰ）可解出tan B的值.
试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设，
则a=ksinA，b=ksin B，c=ksinC.
代入中，有
，变形可得
sin A sin B="sin" Acs B+csAsinB="sin" （A+B）.
在ABC中，由A+B+C=π，有sin （A+B）="sin" （π–C）="sin" C，
所以sin A sin B="sin" C.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=.
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acs B +cs Asin B，
所以sin B=cs B+sin B，
故tan B==4.
【考点】正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个定理，否则难以得出结论．
16．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acs B.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cs B=，求cs C的值．
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，
故，
于是，
又，故，所以或，
因此（舍去）或，
所以，.
（Ⅱ）由，得，，
故，，
.
17．（2016·浙江·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若的面积，求角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.
试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是．
又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．
（2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，．
综上，或．
考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.
18．（2016·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解.
试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；
（Ⅱ）解：由，可得，则.
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
19．（2016·北京·高考真题）在△ABC中，(1)求B的大小；
(2)求cs A＋cs C的最大值．
【答案】（1）（2）1
【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）由（1）知当时，取得最大值．
试题解析： （1）由余弦定理及题设得，
又∵，∴；（2）由（1）知，
，因为，所以当时，取得最大值．
考点：1、解三角形；2、函数的最值.
20．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cs C的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
试题解析：（1）由题意知，，
化简得：
即，因为，所以，
从而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
21．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【详解】试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可
试题解析：（1）根据正弦定理，设===k（k>0）．
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．
代入+=中，有+=，变形可得
sin Asin B=sinAcs B+cs Asin B=sin（A+B）．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin" C，
所以sin Asin B=sinC．
（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cs A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acs B+cs Asin B，所以sin B=cs B+sin B，
故tan B==4．
考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理
22．（2016·江苏·高考真题）在中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求 再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求
试题解析：解（1）因为，，所以
由正弦定理知，所以
（2）在中，，所以，
于是
又故
因为，所以
因此
【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.
23．（2015·江苏·高考真题）在中，已知.
（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得的长，（2）利用（1）的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.
试题解析：（1）由余弦定理知，，
所以．
（2）由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
考点：余弦定理，二倍角公式
24．（2015·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.
【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.
25．（2015·四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）.
（2）由，得.
由（1），有
连结BD，
在中，有，
在中，有，
所以 ，
则，
于是.
连结AC，同理可得
，
于是.
所以
.
考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
26．（2015·湖南·高考真题）设的内角的对边分别为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且为钝角，求.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；（Ⅱ）根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.
试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以．
（Ⅱ）因为
有（Ⅰ）知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
考点：正弦定理及其运用
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
27．（2015·湖南·高考真题）设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，
即，
又为钝角，因此，
故，即；
(Ⅱ)由（1）知，
，∴，
于是
，
∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．
考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
28．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
2．（2018·北京·高考真题）在中，．
（1）求；
（2）求边上的高．
【答案】（1）∠A=；（2）AC边上的高为．
【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；
（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高．
【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理
在中,∵.由正弦定理得

［方法二］：余弦定理的应用
由余弦定理知．因为，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以．
（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义
在△ABC中，
∵=．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，
∴AC边上的高为．
［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义
如图1，由（1）得，则．
作，垂足为E，则，故边上的高为．
［方法三］:等面积法
由（1）得，易求．如图1，作，易得，即．所以根据等积法有，即，
所以边上的高为．
【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；
方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；
（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；
方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；
方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出．
3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．
所以．
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设，则．因为，所以．
从而，又是锐角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
4．（2015·安徽·高考真题）在中，,点D在边上，，求的长.
【答案】
【详解】试题分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的长度.
试题解析：如图，
设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得
，
所以.
又由正弦定理得.
由题设知，所以.
在中，由正弦定理得.
考点：1.正弦定理、余弦定理的应用.
5．（2015·全国·高考真题）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【答案】（1）；（2）,1
【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.
试题解析：
（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．
设，则，
在△与△中，由余弦定理可知，
，
，
∵，∴，
∴，解得，
即．
考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．
考点05 三角形中的证明问题
1．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
3．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若，求tanB．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.
【详解】试题分析：本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第（Ⅱ）问，利用余弦定理解出cs A=，再根据平方关系解出sin A，结合（Ⅰ）可解出tan B的值.
试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设，
则a=ksinA，b=ksin B，c=ksinC.
代入中，有
，变形可得
sin A sin B="sin" Acs B+csAsinB="sin" （A+B）.
在ABC中，由A+B+C=π，有sin （A+B）="sin" （π–C）="sin" C，
所以sin A sin B="sin" C.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=.
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acs B +cs Asin B，
所以sin B=cs B+sin B，
故tan B==4.
【考点】正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个定理，否则难以得出结论．
4．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acs B.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cs B=，求cs C的值．
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，
故，
于是，
又，故，所以或，
因此（舍去）或，
所以，.
（Ⅱ）由，得，，
故，，
.
5．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cs C的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.
试题解析：（1）由题意知，，
化简得：
即，因为，所以，
从而，由正弦定理得.
（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
6．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【详解】试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可
试题解析：（1）根据正弦定理，设===k（k>0）．
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．
代入+=中，有+=，变形可得
sin Asin B=sinAcs B+cs Asin B=sin（A+B）．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin" C，
所以sin Asin B=sinC．
（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cs A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acs B+cs Asin B，所以sin B=cs B+sin B，
故tan B==4．
考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理
7．（2015·湖南·高考真题）设的内角的对边分别为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且为钝角，求.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；（Ⅱ）根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.
试题解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以．
（Ⅱ）因为
有（Ⅰ）知，因此，又Ｂ为钝角，所以，
故，由知，从而，
综上所述，
考点：正弦定理及其运用
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 求面积的值及范围或最值
（10年7考）
2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷
2015·山东卷
掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
考点2 求边长、周长的值及范围或最值
（10年8考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷
2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷
2015·山东卷
考点3 求角和三角函数的值及范围或最值
（10年10考）
2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷
2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷
2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷
2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷
2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷
2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷
2015·全国卷
考点4 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长
（10年几考）
2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷
2015·安徽卷、2015·全国卷
考点5 三角形中的证明问题
（10年4考）
2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷
2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2015·湖南卷