内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若为实数，则向量与方向相同D. 单位向量的模都相等
3. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数
4. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
5. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
7. 在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
10. 对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B互斥，则B. 若A与B互斥，则
C 若，则D. 若A与B相互独立，则
11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________.
13. 某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，，为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为______.
14. 如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是______.

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，.
（1）求;
（2）若的面积为，求和.
16. 如图，三棱锥中，，底面ABC
（1）证明：平面平面PAC
（2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值
17. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
18. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．

（1）求证：平面PAB；
（2）在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
19. 5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；
（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率．