2024年江苏省南通市中考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解∶∵零上记作，
∴零下记作，
故选∶ A．
2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：1582亿．
故选：C．
3. 计算的结果是（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
4. 如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 球B. 棱柱C. 圆柱D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题
【详解】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥，
故选：D
5. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：，
故选：A．
7. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故选∶D．
8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
9. 甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）

A. 甲比乙晚出发1hB. 乙全程共用2h
C. 乙比甲早到B地3hD. 甲的速度是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是，原说法正确，符合题意；
故选D．
10. 在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（ ）
A. 小明正确，小丽错误B. 小明错误，小丽正确
C. 小明、小丽都正确D. 小明、小丽都错误
【答案】C
【解析】
【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可．
【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴，
当点E落在边上时，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，故小明的说法是正确的；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
∴当时，的长最小，
∴当的长最小时，，
又∵，
∴，
∴，
∴；故小丽的说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止；
解：原式=；
12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
14. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可．
【详解】解：由题意：，
∴；
故答案为：．
15. 若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
故答案为：
16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可．
【详解】解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
18. 平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线的解析式为：，
把，B0,3代入，
可得出：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线，
联立两直线方程：，
解得：，
∴
∵，B0,3，
∴，，
根据题意有：，
即，
，
解得：,
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）解方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
∴
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为
20. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
根据上述信息，解答下列问题：
（1）______，______；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨家庭数有多少个？
【答案】（1）20，15
（2）B （3）648个
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识．
（1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值， 再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值．
（2）根据中位数的定义即可得出答案．
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知：，
解得：，
∴，
故答案为：20，15；
【小问2详解】
解：∵一共有50组用水量数据，
∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组．
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组，
故答案为：B；
【小问3详解】
解：（个），
故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个．
21. 如图，点D在的边AB上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【小问1详解】
解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为．
23. 如图，中，，，，与相切于点D．

（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可；
（2）延长CA交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解∶连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵与相切于D，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解∶延长CA交于P，连接，此时最大，

由（1）知：，，
∴．
24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【小问1详解】
解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
【小问2详解】
解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴，
∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
25. 已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
（1）若，，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
（3）当，且时，分析并确定整数a的个数．
【答案】（1）
（2）2或1 （3）整数a有4个
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．
【小问1详解】
解：有题意知
，
当时，y取得最小值8；
【小问2详解】
解：∵点在双曲线上，
∴，
∴
，
∵，
∴，化解得，解得或，
则点或，
∴点P到y轴的距离为2或1；
【小问3详解】
解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，化简得，
∴，
则整数a有4个．
26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形角平分线”开展主题学习活动．
特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论；
（2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得；
（3）如图，补全图形如下：设，则，，求解，可得，连接，，并延长交于，再求解；可得是定值．
【详解】解：（1）∵，是角平分线，，
∴，
∴；
∴，；
如图，由（1）可得：，
∴，
∴，，
∴；
（2）猜想：，理由如下：
如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，
∵，平分，
∴为等边三角形，，，
设，，
∴，，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
，
∴；
（3）如图，补全图形如下：
∵中，，点D在边上，
∴设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即，
∴，
连接，，并延长交于，
∵，
∴，，
∴平分，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
∴是定值．
【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
组别
家庭月均用水量（单位：吨）
频数
A
7
B
m
C
n
D
6
E
2
合计
50
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
2
图③
1
______
______
______
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
2
图③
1