内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数在复平面对应的点为位于第一象限.
故选：A.
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若为实数，则向量与方向相同D. 单位向量的模都相等
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断.
【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；
对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误；
对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；
故选：D.
3. 如图所示频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.
【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，
显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，
由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，
所以众数<中位数<平均数.
故选：A
4. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；
【详解】A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则相交或或，故D错误；
故选：B.
5. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设三双不同的鞋分别为，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】设三双不同的鞋分别为，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，
从中任取两只有，，，
，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有，，共6种，
所以取出的鞋都是一只脚的概率是.
故选：B.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用两角和的正切公式求，再利用三角函数恒等变化，转化为关于的齐次分式，转化为正切表示，即可求解.
【详解】，，
，
.
故选：C
7. 在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形结合向量的线性运算分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
8. 在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积．
【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心，
外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径，
为正三角形，（是边中点）．
所以外接球半径．从而外接球体积为．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.
【详解】对A：由，故，
故，故A错误；
对B：设、，
则
，
，
故，故B正确；
对C：设、，
有，则，
，故，故C正确；
对D：设，则有，
集合M所构成区域为以2,0为圆心，半径为的圆，
故，故D错误.
故选：BC.
10. 对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B互斥，则B. 若A与B互斥，则
C. 若，则D. 若A与B相互独立，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解.
【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误；
对于B，A与B互斥，则，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，A与B相互独立，则，D正确.
故选：BD
11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；
【详解】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以AC选项正确．
圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以D选项不正确．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，然后代入化简即可.
【详解】由题意得，
所以
.
故答案为：
13. 某实验室一天温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，，为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，从而得到，再利用的性质，即可求解.
【详解】因为，
又最小正周期，所以正好为一个满周期，
可知的最大值为，最小值为，
可得最大温差为，
若，，则最大温差，
故答案为：4.
14. 如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是______.

【答案】①②③④
【解析】
【分析】先把正方体的平面展开图还原成正方体，命题①②，利用线面平行的判定定理，即可判断；命题③④，利用面面平行的判定定理，即可判断.
【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，
对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确；
对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确；
对于③，，面，面，，面，面，
所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题③正确；
对于④，，面，面，，面，面，
所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题④正确.

故答案为：①②③④.
四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，.
（1）求;
（2）若的面积为，求和.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则；
（2）根据三角形面积公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值.
【小问1详解】
由正弦定理：，那么，由于，
则，则，且，故.
小问2详解】
由于，则，
根据余弦定理：，
那么.
16. 如图，在三棱锥中，，底面ABC
（1）证明：平面平面PAC
（2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，
则即为AM与平面PBC所成的角求解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，又底面ABC，
所以，又，
所以平面PAC，
因为平面PBC，
所以平面平面PAC；
【小问2详解】
如图所示：
作，连接OM，
因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，
所以平面PBC，
则即为AM与平面PBC所成的角，
设，则，
所以，又，
所以，
所以AM与平面PBC所成角的正切值为.
17. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
【答案】（1）72.5
（2）20人 （3）29.25
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解；
（2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解；
（3）根据分层总体的方差公式即可求解.
【小问1详解】
在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x，则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
【小问2详解】
由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
【小问3详解】
总样本均值为，
所以总样本的方差为．
18. 如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．

（1）求证：平面PAB；
（2）在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，E为PC中点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可；
（2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可；
【小问1详解】
取AP的中点Q，连接MQ，BQ，

因为M，Q分别为PD，PA的中点，
所以，，
又因为N为BC的中点，
所以，．
所以，，
所以四边形MNBQ为平行四边形，所以，
又因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
【小问2详解】
存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB．
证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，，
所以且，
所以四边形ABCD是平行四边形，所以．
因为E，M分别为PC，PD中点，所以，
所以，
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
同理可知平面PAB，又因为平面平面，
所以平面平面PAB．

19. 5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；
（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率．
【答案】（1）和．
（2）．
【解析】
【分析】（1）设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件，根据独立关系求出，根据求出，据此即可求解；
（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”，根据甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响列出计算式即可求解.
【小问1详解】
设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件，
则，根据独立性假定得，
所以，又，
得，所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和；
【小问2详解】
设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”，
由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
又，
所以，所以，，且与，与互斥，与，与分别相互独立，
，
，
，
，
设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则，
且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为．