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吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版）
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这是一份吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版），共6页。试卷主要包含了 下列说法正确是等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
出题人 ：康乐 审题人：郭奇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 12
3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的分位数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 6.5
4. 如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（ ）
A. 最长的是，最短的是
B. 最长的是，最短的是
C. 最长的是，最短的是
D. 最长的是，最短的是
5. 在中，，，，则满足条件的（ ）
A. 不能确定B. 无解C. 有一解D. 有两解
6. 自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（ ）
A. 2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加
B. 2017年销售量的同比增长率最低
C. 与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
D. 有连续三年的销售增长率超过
7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ）
A. 1:1B. 2:1C. 2:3D. 3:2
8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确的结论是（ ）
A. ①B. ②③C. ①④D. ②④
二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量，的夹角为
10. 下列说法正确是（ ）
A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
C. 某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件
D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则面积为
B. 若，则角
C. 若，则为等腰或直角三角形
D. 不存在，使成立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数与方差的和为______.
13. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________．
14. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，，其中a是正实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求a的值．
16 已知向量，
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
18. ΔABC的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若ΔABC为锐角三角形，且，求ΔABC面积的取值范围．
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，．
（1）求证：平面；
（2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
数学试卷
出题人 ：康乐 审题人：郭奇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 12
3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的分位数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 6.5
4. 如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（ ）
A. 最长的是，最短的是
B. 最长的是，最短的是
C. 最长的是，最短的是
D. 最长的是，最短的是
5. 在中，，，，则满足条件的（ ）
A. 不能确定B. 无解C. 有一解D. 有两解
6. 自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（ ）
A. 2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加
B. 2017年销售量的同比增长率最低
C. 与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长
D. 有连续三年的销售增长率超过
7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ）
A. 1:1B. 2:1C. 2:3D. 3:2
8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确的结论是（ ）
A. ①B. ②③C. ①④D. ②④
二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量，的夹角为
10. 下列说法正确是（ ）
A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
C. 某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件
D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则面积为
B. 若，则角
C. 若，则为等腰或直角三角形
D. 不存在，使成立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数与方差的和为______.
13. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________．
14. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，，其中a是正实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求a的值．
16 已知向量，
（1）若，求实数的值；
（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
18. ΔABC的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若ΔABC为锐角三角形，且，求ΔABC面积的取值范围．
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，．
（1）求证：平面；
（2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．
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