2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学望京分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学望京分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题.解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2B．最小值为2C．最大值为1D．最小值为1
3．（2分）将抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2﹣4B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x+2）2+4D．y＝（x﹣2）2+4
4．（2分）如图，在⊙O中，C是的中点，点D是⊙O上一点．若∠BOC＝40°，则∠ADC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．80°
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞﹣1D．m＜﹣1
6．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x﹣3）2＝11
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠P＝60°，⊙O的半径为6，则图中的长为（ ）
A．2πB．4πC．6πD．12π
8．（2分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1．
若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q关于原点对称，则Q点坐标为 ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 ．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，E，连接EA，EB，则图中存在的相等关系有 （写出两组即可）．
12．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若以A为圆心，r为半径作圆，使得B、C、D三个点中恰有一个点在圆外，请写出一个符合条件的r的值 ．
13．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠C＝30°，则∠B的度数为 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若线段AE＝3，则四边形ABCD的面积是 ．
15．（2分）如图，平面直角坐标系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，直线y＝kx+d（k≠0）经过A，C．当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围为 ．
16．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，E为平面内一动点，且∠AEB＝90°，F为AE中点，连接CF，则CF的最小值为 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+2m+8＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若点M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函数的图象上，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠ ＝∠ ．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（ ）（填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC．
21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若弦AB＝6，⊙O的半径OA＝5，求PC的长．
22．（5分）如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为2：3，余下的部分作为草坪，若草坪面积为486m2，求两条道路的宽度各是多少？
23．（6分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣5x﹣4＝0的变形：
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
25．（6分）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的相关数据信息，如下所示：
信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如图：
信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．
根据以上信息，回答问题：
（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值 ；
（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
（3）记甲实心球成绩为d1，乙实心球成绩为d2，则d1 d2 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，其中x1＜x2．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若a＞0，x1＝﹣2，x2＝1，比较y1，y2的大小；
（3）若x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，求a的取值范围．
27．（7分）△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．
（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为 ；
（2）如图2，当30°＜∠B＜60°时，
①依题意补全图2；
②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形M上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形M给出如下定义：点Q是图形M上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形M的“等距点”．
（1）如图1，图形M是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“等距点”是 ；
（2）如图2，图形M是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“等距点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形M是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“等距点”，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学望京分校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2分）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为2B．最小值为2C．最大值为1D．最小值为1
【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的开口方向和顶点坐标，据此可解决问题．
【解答】解：∵二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+1，
∴二次函数图象开口向上，当x＝2时，函数有最小值1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出开口方向、顶点坐标是解题的关键．
3．（2分）将抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2﹣4B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x+2）2+4D．y＝（x﹣2）2+4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+2）2；
再向下平移4个单位为：y＝（x+2）2﹣4，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．（2分）如图，在⊙O中，C是的中点，点D是⊙O上一点．若∠BOC＝40°，则∠ADC的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．80°
【分析】连接OA，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝40°，由圆周角定理即可求出∠ADC＝∠AOC＝20°．
【解答】解：连接OA，
∵C是中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧弦的关系，关键是由以上知识点得到∠AOC＝∠BOC，∠ADC＝∠AOC．
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞﹣1D．m＜﹣1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22+4m＞0，
解得m＞﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
6．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝7B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x﹣3）2＝11
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【解答】解：∵x2+6x+2＝0，
∴x2+6x＝﹣2，
∴x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠P＝60°，⊙O的半径为6，则图中的长为（ ）
A．2πB．4πC．6πD．12π
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOB＝120°，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴的长度为＝4π．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式．
8．（2分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1．
若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．
【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣3，m）和（5，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
根据表中信息，抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2＝0，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣），抛物线的开口方向向上，抛物线经过（0，﹣2），（2，﹣2），
∴当x＝1时，y由最小值﹣，
当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣2；
当x＝4时，y＝，
如图：
∵当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴﹣＜k＜﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q关于原点对称，则Q点坐标为 （﹣5，4） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【解答】解：平面直角坐标系中，已知点P（5，﹣4）与点Q关于原点对称，则Q点坐标为（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，
∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，
∴1﹣3+m＝0，
解得，m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
11．（2分）如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，E，连接EA，EB，则图中存在的相等关系有 AC＝BC，＝（答案不唯一） （写出两组即可）．
【分析】根据垂径定理得到AC＝BC，＝，＝，则根据圆周角定理得到∠A＝∠B，∠AED＝∠BED，根据圆心角、弧、弦的关系得到AE＝BE，然后写出两组相等的关系即可．
【解答】解：如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，＝，＝，
∴AE＝BE，∠A＝∠B，∠AED＝∠BED．
故答案为：AC＝BC，＝（答案不唯一）．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
12．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若以A为圆心，r为半径作圆，使得B、C、D三个点中恰有一个点在圆外，请写出一个符合条件的r的值 4（答案不唯一） ．
【分析】根据勾股定理求出AC的长，即可得出半径R的取值范围即可判断．
【解答】解；连接AC，
∵AB＝3，AD＝4，
∴AC＝＝5，
∵以A为圆心，r为半径作圆，使得B、C、D三个点中恰有一个点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜R＜5，
∴r可以为4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．
13．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠C＝30°，则∠B的度数为 40° ．
【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAC，由三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝110°，
∵∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．（2分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若线段AE＝3，则四边形ABCD的面积是 9 ．
【分析】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C＝90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3＝90°，而∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得∠1＝∠3，加上∠AEB＝∠AFD＝90°和AB＝AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE＝AF＝5，S△ABE＝S△ADF，则S四边形ABCD＝S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠CFA＝90°，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，
∴四边形AECF是边长为3的正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等．也考查了矩形的性质．
15．（2分）如图，平面直角坐标系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，直线y＝kx+d（k≠0）经过A，C．当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围为 0＜x＜4 ．
【分析】画出函数图象，根据图象即可求解．
【解答】解：观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，
当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围是0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键．
16．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，E为平面内一动点，且∠AEB＝90°，F为AE中点，连接CF，则CF的最小值为 ﹣1 ．
【分析】如图，连接DF，取AD的中点O连接OF．求出OF，OC，根据CF≥OC﹣OF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DF，取AD的中点O连接OF．
∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∵CD⊥AB，
∴AD＝DB＝2，
∴CD＝AD＝DB＝2，
∵AF＝EF，
∴DF∥EB，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∵AO＝OD，
∴OD＝OA＝OF＝1，
∵OC＝＝＝，
∵CF≥OC﹣OF，
∴CF≥﹣1，
∴CF的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形解决问题．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2+6x+8＝0．
【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（x+4）＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0，
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+2m+8＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．
【分析】（1）先求出原方程根的判别式，根据计算结果进行判断即可；
（2）设方程的两根为：x1，x2，然后求出两根和与两根积，两根差的平方，把两根差的平方用两根和与两根积替换成关于m的一元二次方程，进行解答即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+6），c＝2m+8，
∴b2﹣4ac＝[﹣（m+6）]2﹣4×1×（2m+8）
＝（m+6）2﹣4（2m+8）
＝m2+12m+36﹣8m﹣32
＝m2+4m+4
＝（m+2）2，
∵不论m为何值，（m+2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两根为：x1，x2，
∴x1+x2＝m+6，x1•x2＝2m+8，
∵该方程的两个实数根之差为3，
∴|x1﹣x2|＝3，
∴，
∵，
∴（m+6）2﹣4（2m+8）＝9，
m2+12m+36﹣8m﹣32＝9，
m2+4m﹣5＝0，
（m+5）（m﹣1）＝0，
m+5＝0，m﹣1＝0，
m1＝﹣5，m2＝1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．
19．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若点M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函数的图象上，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点和B点坐标分别代入y＝ax2+bx得到关于a、b的方程，然后解方程组即可；
（2）先利用解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用配方法得到顶点坐标，然后描点法画出函数图象；
（3）由于抛物线开口向上，则离对称的距离越大，对应的函数值越大，所以|n﹣1|＜3，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx经过点A（2，0），B（﹣1，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；
（2）当x＝0，y＝0，则抛物线过点（0，0），
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
如图，
（3）∵点M（﹣2，y1）和N（n，y2）都在此函数的图象上，且y1＞y2，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴|﹣2﹣1|＞|n﹣1|，
即|n﹣1|＜3，
解得﹣2＜n＜4，
即n的取值范围为﹣2＜n＜4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠ BAC ＝∠ BAD ．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（ 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 ）（填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC．
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∴∠APC＝∠BAC．
故答案为：BAC，BAD，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理．
21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若弦AB＝6，⊙O的半径OA＝5，求PC的长．
【分析】由垂径定理得到AH＝BH＝AB＝3，根据含30°角的直角三角形的性质得出OH＝PO＝PC﹣，由勾股定理求解即可．
【解答】解：作OH⊥AB于H，
∴AH＝BH＝AB＝3，
∵⊙O的半径OA＝OC＝5，
∴PO＝PC﹣OC＝PC﹣5，
∵∠CPB＝30°，
∴OH＝PO＝PC﹣，
∵AH2＝AO2﹣OH2，OA＝5，
∴32＝52﹣（PC﹣）2，
∴PC＝13．
【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．
22．（5分）如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为2：3，余下的部分作为草坪，若草坪面积为486m2，求两条道路的宽度各是多少？
【分析】设横道路的宽为2x m，则纵道路的宽为3x m，余下的部分的面积等同于长为（30﹣3x）m、宽为（20﹣2x）m的矩形的面积，结合余下的部分的面积为486m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入2x，3x中，即可求出结论．
【解答】解：设横道路的宽为2x m，则纵道路的宽为3x m，
根据题意得：（30﹣3x）（20﹣2x）＝486，
整理得：（10﹣x）2＝81，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2，3x＝3×1＝3．
答：横道路的宽为2m，纵道路的宽为3m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（6分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣5x﹣4＝0的变形：
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 4 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 m+n＝5 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值．
【分析】（1）根据表格数据观察得到答案；
（2）根据表格数据计算，得到答案；
（3）由（2）中结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，得到n1﹣n2＝m2﹣m1，计算即可．
【解答】解：（1）由表格可得：t＝4，
故答案为：4；
（2）﹣1+6＝5，0+5＝5，1+4＝5，2+3＝5，
则m+n＝5，
故答案为：m+n＝5；
（3）由（2）可知：m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，
∴m1+n1＝m2+n2，
∴n1﹣n2＝m2﹣m1，
∴＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程，得出m+n为一次项系数的相反数是解题的关键．
24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若CD＝5，AC＝6，求EF的长．
【分析】（1）连接OE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD，然后再利用等腰三角形的性质证明OE∥AB，即可解答；
（2）根据CD为⊙O的直径，∠DEC＝90°，然后证明DE是△ABC的中位线，再利用相似三角形对应边成比例即可解答．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠BCD，
∴∠OEC＝∠B，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接DE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE∥AC，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵CD为斜边中线，CD＝5，
∴AB＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝8，
∴BE＝＝4，
∵∠B＝∠B，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∴EF＝2.4．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，直线和圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（6分）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的相关数据信息，如下所示：
信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如图：
信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．
根据以上信息，回答问题：
（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值 3.31m ；
（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
（3）记甲实心球成绩为d1，乙实心球成绩为d2，则d1 ＜ d2 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，甲竖直高度的最大值；
（2）甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝a（x﹣4）2+3.31，把（0，1.87）代入即可得到结论；
（3）设乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝a（x﹣3.5）2+2.85，求得乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85，然后解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.31），
即甲投掷的实心球竖直高度的最大值为3.31m，
故答案为：3.31m；
（2）甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝a（x﹣4）2+3.31，
把（0，1.87）代入得1.87＝a（0﹣4）2+3.31，
解得a＝﹣0.09，
∴甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.31；
（3）∵乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．
∴设乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝a（x﹣3.5）2+2.85，
∵甲、乙两人投掷时，出手高度相同，
∴把（0，1.87）代入得1.87＝a（0﹣3.5）2+2.85，
解得a＝﹣0.08，
∴乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系为y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85，
在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.31中，当y＝0时，即﹣0.09（x﹣4）2+3.31＝0，
解得x＝4+或x＝4﹣（不合题意舍去），
在y＝﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85中，当y＝0时，即﹣0.08（x﹣3.5）2+2.85＝0，
解得x＝3.5+或x＝3.5﹣（不合题意舍去），
∴d1＝4+，d2＝3.5+，
∵d1﹣d2＝4+﹣3.5﹣＝0.5+﹣＜0，
∴d1＜d2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，其中x1＜x2．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若a＞0，x1＝﹣2，x2＝1，比较y1，y2的大小；
（3）若x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，求a的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝﹣1；
（2）由二次函数的性质即可求解；
（3）由题意y1﹣y2＝（+2ax1+c）﹣（+2ax2+c）＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+2a（x1﹣x2）＝a（x1+x2+2）（x1﹣x2）≤0，根据x1＜x2，x1+x2＝1﹣a得到关于a的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝﹣1；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，x1＝﹣2，x2＝1，且对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＝1，1﹣（﹣1）＝2，
∴y1＜y2；
（3）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，
∴y1＝+2ax1+c，y2＝+2ax2+c，
∴y1﹣y2
＝（+2ax1+c）﹣（+2ax2+c）
＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+2a（x1﹣x2）
＝a（x1+x2+2）（x1﹣x2），
∵x1+x2＝1﹣a，且y1≤y2，
∴y1﹣y2＝a（3﹣a）（x1﹣x2）≤0，
∵x1＜x2．
∴x1﹣x2＜0，
∴a（3﹣a）≥0，
∴或，
∵不等式组的解集为0＜a≤3，不等式组无解，
∴a的取值范围是0＜a≤3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．
（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为 120° ；
（2）如图2，当30°＜∠B＜60°时，
①依题意补全图2；
②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）先求出∠BAC＝60°，进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED＝∠ACB＝90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）①依题意补全图形即可；
（3）先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF＝90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF＝∠CAE＝30°，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由旋转知，∠CAE＝60°＝∠CAB，
∴点E在边AB上，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠CFE＝∠B+∠BEF＝30°+90°＝120°，
故答案为120°；
（2）①依题意补全图形如图2所示，
（3）如图2，连接AF，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAB，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠AED＝∠C＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠CAE＝30°，
在Rt△ACF中，CF＝AF，且AC2+CF2＝AF2，
∴CF＝AC．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形M上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形M给出如下定义：点Q是图形M上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形M的“等距点”．
（1）如图1，图形M是矩形AOBC，其中点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），则d＝ 5 ．在点P1（﹣1，0），P2（2，8），P3（3，1），中，矩形AOBC的“等距点”是 P2，P4 ；
（2）如图2，图形M是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为（1，1）．若直线y＝x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“等距点”，求b的取值范围；
（3）已知点M（1，0），．图形M是以T（t，0）为圆心，1为半径的⊙T．若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“等距点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得d＝DF＝2，过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，当ME＝2时，ON＝6，则﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b，上存在点P，使点P为正方形DEFG的“等距点”；
（3）由题意可得d＝2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL＝2时，TM＝23，此时，T（﹣2，0），当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，此时T（4，0），则﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“等距点”．
【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC＝5，
∴d＝5，
∵P1（﹣1，0），
∴P1O＝1，
∴P1不是矩形AOBC的“等距点”；
∵P2（2，8），
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“等距点”；
∵P3（3，1），
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“等距点”；
∵，
∴P4O＝5，
∴P4是矩形AOBC的“等距点”；
故答案为：5，P2，P4；
（2）∵D（1，1），四边形DEFG是正方形，
∴d＝DF＝2，
过O点作OM垂直直线y＝x+b，交于点M，如图2，
当ME＝2时，OM＝OE+ME＝3，
∵∠MNO＝45°，
∴ON＝＝6，
∴﹣6≤b≤6时，直线y＝x+b上存在点P，使P为正方形DEFG的等距点；
（3）∵⊙T的圆心为T（t，0）半径为1，
∴d＝2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于L交于K，交y轴于H，
当KL＝2时，TL＝3，
∵M（1，0），N（0，），
∴OM＝1，ON＝，
在Rt△OMN中，MN＝2，
∵ON⊥OM，TL⊥MN，
∴∠ONM＝∠OTH，
又∵∠TLM＝∠NOM＝90°，
∴△TLM∽△NOM，
∴，
∴TM＝2，TO＝2﹣1，此时T（1﹣2，0），
当TM＝3时，M到圆T的最小距离为2，
此时OM＝1，
∴OT＝3﹣1＝2，
∵点T在x的负半轴上，
∴T（﹣2，0），
∴t＝﹣2，
∵线段NM上点M是离圆T最远的点，依据等距点是定义，t＞﹣2时，线段与圆T之间不存在最小值等于2，
∴1﹣2≤t≤﹣2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“等距点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM＝3时，OT＝OM+TM＝4，
此时T（4，0），
∴t＝4，
当NT＝3时，3＝，
解得t＝（负值已舍去），
∵圆T在x轴正半轴时，线段NM上点N是离圆T最远的点，依据等距点是定义，t＜时，线段与圆T之间不存在最小值等于2，
∴当≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“等距点”；
综上，1﹣2≤t≤﹣2或≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为OT的“等距点”．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的性质，两点之间的距离，解直角三角形等知识点，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，数形结合是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/12 10:33:33；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
…
﹣3
﹣1
x1
x2
5
…
y
…
m
0
﹣2
0
m
…
变形
m
n
p
（x+1）（x﹣6）＝﹣2
﹣1
6
﹣2
x（x﹣5）＝4
0
5
4
（x﹣1）（x﹣4）＝8
1
t
8
（x﹣2）（x﹣3）＝10
2
3
10
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.87
2.95
3.31
2.95
m
0.07
x
…
﹣3
﹣1
x1
x2
5
…
y
…
m
0
﹣2
0
m
…
变形
m
n
p
（x+1）（x﹣6）＝﹣2
﹣1
6
﹣2
x（x﹣5）＝4
0
5
4
（x﹣1）（x﹣4）＝8
1
t
8
（x﹣2）（x﹣3）＝10
2
3
10
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.87
2.95
3.31
2.95
m
0.07