2023-2024学年北京市朝阳外国语学校来广营校区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳外国语学校来广营校区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，5
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）
5．用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝2
6．已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列四个说法中：①a+2b＝0；②a+b+c＜0；③ax2+bx+c＝0的两个解是x1＝﹣2，x2＝4；④当x≤0时，y随x的增大而减小．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．下面的四个问题中都有两个变量：
①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；
②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；
③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；
④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，利润为y元．
其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式 ．
10．若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
11．若关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个不等实数根，则m的取值范围是 ．
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为 ．
13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝ ．（用含α的式子表示）
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将△DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
16．已知M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2（a≠0）上任意两点，其中0≤x1＜x2．若对于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共68分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣8x＝0；
（2）x2+6x+4＝0．
18．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式（m﹣2）2+（m+1）（m﹣1）的值．
19．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．
20．已知二次函数经过点（﹣1，0），（3，0），且最大值为4．（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当0＜x＜3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
21．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC＝1，求线段BD的长．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＜0，方程的两个实数根为x1、x2，且x1＜x2，若x2﹣2x1＝3，求m的值．
24．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合金条的宽度不计）．
（1）y与x之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
25．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与错点E的距离．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；
（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．
①当a＝2时，求PB+PC的值；
②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
27．在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．
（1）如图1，当α＝β＝90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM＝EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为 ．
（2）如图2，当α＝60°，β＝120°时，
①依题意补全图形；
②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明.
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P'，x轴正半轴上存在点Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如图1），则称点P与点Q为α﹣关联点．
（1）在点Q（3，1），Q2（5，2）中，与（1，3）为45°﹣关联点的是 ；
（2）如图2，M（6，4），N（8，4），P（m，8）（m＞1）．若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°﹣关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点A（1，8），B（n，6）（n＞1）．若线段AB上至少存在一对30°﹣关联点，直接写出n的取值范围 .
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