2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，6，8B．4，6，7C．5，6，12D．2，3，6
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．70°B．66°C．60°D．54°
5．（3分）如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB＝2cm，BD＝5cm，则CE的长度为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．5cm
6．（3分）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
7．（3分）如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1D．∠1+∠2＝180°
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
二.填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是 ．
12．（3分）一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是 边形．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，则∠B的度数为 ．
14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝8，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（﹣6，0），B（0，5），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴上，则点B'的坐标是 ．
16．（3分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 °．
17．（3分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝40°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 （填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．
三.解答题（本题共46分，第19，20，21题，每题5分，第22题4分，第23题6分，第24，25，26题，每题7分）解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（5分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC．求证：∠DAC＝∠BAC．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°．BE平分∠ABC．AD为BC边上的高．若∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
21．（5分）如图，点B，E，F，C在同一直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
22．（4分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请画出与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形．
23．（6分）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示．
（1）请你根据甲同学的做法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）请选择一种合适的方法补全证明过程．
24．（7分）如图，BE、CF为△ABC的高，点P在CF的延长线上，点D在BE上，且CP＝AB，BD＝AC，试判断AP与AD有什么关系？并说明你的理由．
25．（7分）已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．
（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别在线段OA，OB上，如果存在点M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段PQ的“关联点”，如图1，点M是线段PQ的“关联点”．
（1）如图2，已知点A（4，4），B（8，0），点P与点A重合．
①当点Q是线段OB中点时，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是线段PQ的“关联点”的是 ；
②已知点M（8，4）是线段PQ的“关联点”，则点Q的坐标是 ．
（2）如图3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．
①当点P与点A重合，点Q在线段OB上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段PQ的“关联点”，判断线段BM与OA的位置关系，并说明理由；
②当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，直接写出线段PQ的“关联点”M形成的区域的周长．
2023-2024学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断．
【解答】解：A、两个图形不全等，故此选项不合题意；
B、两个图形不全等，故此选项不合题意；
C、两个图形全等，故此选项符合题意；
D、两个图形不全等，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等图形的定义，是基础题，比较简单，准确识图即可．
2．（3分）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，6，8B．4，6，7C．5，6，12D．2，3，6
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+6＝8，长是2、6、8的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、4+6＞7，长是4、6、7的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、5+6＜12，长是5、6、12的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、2+3＜6，长是2、3、6的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．线段AEB．线段BEC．线段BFD．线段CF
【分析】利用三角形的高的定义可得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AE，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．70°B．66°C．60°D．54°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠1是a、c边的夹角，由图形可知∠1的对应角是66°，据此即可解答．
【解答】解：∵∠1是a、c边的夹角，a、c边的夹角是66°，
∴∠1的度数是66°．
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
5．（3分）如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB＝2cm，BD＝5cm，则CE的长度为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．5cm
【分析】根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EBD，
∴BE＝AB＝2cm，BC＝BD＝5cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5cm﹣2cm＝3cm，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．
6．（3分）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1D．∠1+∠2＝180°
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据题意和三角板的特点，可以得到∠E和∠ABC的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠BCE的度数，最后根据三角形外角的性质得到∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，
∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
二.填空题（共24分，每题3分）
11．（3分）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可．
【解答】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大．
12．（3分）一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是 七 边形．
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°＝900，
解得n＝7，
故答案为：七．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和公式是解题关键．
13．（3分）如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，则∠B的度数为 40° ．
【分析】由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，结合∠BAD＝∠BAE+∠EAD可求出∠BAD的度数，再在△ABD内利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝40°+10°＝50°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用角平分线的定义及∠BAD＝∠BAE+∠EAD，找出∠BAD的度数是解题的关键．
14．（3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝8，则△ABD的面积是 48 ．
【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DE＝DC＝8，
∴，
故答案为：48．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（﹣6，0），B（0，5），△OA'B'≌△AOB，若点A'在x轴上，则点B'的坐标是 （6，﹣5） ．
【分析】根据点A、B的坐标求出OA＝6，OB＝5，根据全等三角形的性质得出OA′＝OA＝6，OB′＝OB＝5，再求出点B′的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣6，0），B（0，5），
∴OA＝6，OB＝5，∠AOB＝90°，
∵△OA'B'≌△AOB，
∴OA′＝OA＝6，A′B′＝OB＝5，∠B′A′O＝90°，
∵点B′在第四象限，
∴点B′的坐标是（6，﹣5），
故答案为：（6，﹣5）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，能熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
16．（3分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 180 °．
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠1+∠GAH+∠2+∠EBF+∠3+∠MCN＝360°，∠MCN+∠EBF+∠GAH＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由三角形外角和可得：∠1+∠GAH+∠2+∠EBF+∠3+∠MCN＝360°，
∵三个全等三角形，
∴∠MCN+∠EBF+∠GAH＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
17．（3分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝40°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 40°或140° ．
【分析】由“HL”可证Rt△DPN≌Rt△DQH，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解；如图，过点D作DH⊥OA于H，DN⊥OB于N，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，
∴DH＝DN，
当点Q在点H的右侧时，
在Rt△DPN和Rt△DQH中，
，
∴Rt△DPN≌Rt△DQH（HL），
∴∠DPO＝∠DQO＝40°，
当点Q'在点H左侧时，同理可求∠DQ'H＝40°，
∴∠DQ'O＝140°，
综上所述：∠DQO的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 ①②④ （填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△ADE≌△CDF（ASA），△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠DAE＝∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），故①正确，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+CF，故②正确；
∵EF是变化的，而AD为定值，故③错误；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S2最小为×AB×AB＝S1，
当点E与A或B重合时，S2最大为S1，
∴S1≤S2≤S1，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三.解答题（本题共46分，第19，20，21题，每题5分，第22题4分，第23题6分，第24，25，26题，每题7分）解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（5分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC．求证：∠DAC＝∠BAC．
【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°．BE平分∠ABC．AD为BC边上的高．若∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
【分析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC＝90°，在△ADC中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠EBC＝30°，
∵∠BEC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣75°＝15°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．
21．（5分）如图，点B，E，F，C在同一直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．
【分析】利用AAS证明△ABF≌△DCE，根据“全等三角形的对应边相等”即可得解．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF＝DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（4分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），请画出与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形．
【分析】根据全等三角形的判定作图即可．
【解答】解：如图，△DBC，△ECB，△FCB，△BAG即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
23．（6分）在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示．
（1）请你根据甲同学的做法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）请选择一种合适的方法补全证明过程．
【分析】证△ABD≌△ACD（AAS）或△ABE≌△ACE（AAS），即可得出结论．
【解答】解：能用甲、乙同学添加辅助线的方法完成证明，
甲的方法，证明如下：
如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，
则∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
乙的方法，证明如下
如图，过A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（7分）如图，BE、CF为△ABC的高，点P在CF的延长线上，点D在BE上，且CP＝AB，BD＝AC，试判断AP与AD有什么关系？并说明你的理由．
【分析】根据等角的余角相等可知∠DBA＝∠ACP，根据SAS可证明△ACP≌△DBA即可得到结论．
【解答】解：AP＝AD，AP⊥AD，理由如下：
∵BE，CF为△ABC的高，
∴∠DBA+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ACP＝90°，
∴∠DBA＝∠ACP，
在△ACP和△DBA中，
，
∴△ACP≌△DBA（SAS），
∴AP＝AD，∠BAD＝∠CPA，
∵CF⊥AB，
∴∠CPA+∠PAF＝90°，
∴∠BAD+∠PAF＝90°，
∴AP⊥AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．（7分）已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．
（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
【分析】（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD+BE＝AB．
（2）在AB上截取AG＝AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD＝AG．同理可证，BG＝BE，即AD+BE＝AB．
（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：
①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；
②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；
AD，BE，AB之间的关系．
【解答】解：（1）AD+BE＝AB．
（2）成立．
（方法一）：在AB上截取AG＝AD，连接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC＝AC，AD＝AG，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA＝∠ACG，
∵AM∥BN，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE＝180°，
∵∠DAC＝∠CAB，∠GBC＝∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC＝90°，
∴∠ACB＝90°即∠ACG+∠GCB＝90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠GCB＝∠ECB，
∵∠ABC＝∠CBE，BC＝BC，
∴△BGC≌△BEC．
∴BG＝BE，
∴AD+BE＝AG+BG，AD+BE＝AB．
（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．
由（1）得AF+BG＝AB，
∵AM∥BN，∠AFG＝90°，
∴∠BGF＝∠FGE＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，∠ABC＝∠CBE，
∴CF＝CH，CH＝CG，
∴CF＝CG，
∵∠FCD＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE．
∴DF＝EG，
∴AD+BE＝AF+BG＝AB．
（方法三）：
延长BC交AM于F，
∵AM∥BN
∴∠CFA＝∠CBE
∴∠CFA＝∠FBA
∴AF＝AB（等腰三角形）
∵AC⊥BC，
∴FC＝BC（等腰三角形三线合一）
∵∠FCD＝∠BCE
∴△FCD≌△BCE
∴DF＝BE
∴BE+AD＝DF+AD＝AB
（3）不成立．
存在．当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图①），AD﹣BE＝AB．
当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图②），BE﹣AD＝AB．
【点评】此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用全等三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别在线段OA，OB上，如果存在点M使得MP＝MQ，∠MPQ＝∠AOB（点M，P，Q逆时针排列），则称点M是线段PQ的“关联点”，如图1，点M是线段PQ的“关联点”．
（1）如图2，已知点A（4，4），B（8，0），点P与点A重合．
①当点Q是线段OB中点时，在M1（4，2），M2（6，2）中，其中是线段PQ的“关联点”的是 M2 ；
②已知点M（8，4）是线段PQ的“关联点”，则点Q的坐标是 （8，0） ．
（2）如图3，已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．
①当点P与点A重合，点Q在线段OB上运动时（点Q不与点O重合），若点M是线段PQ的“关联点”，判断线段BM与OA的位置关系，并说明理由；
②当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，直接写出线段PQ的“关联点”M形成的区域的周长．
【分析】（1）①画出图形，利用图象法解决问题；
②画出图形发现点Q与点B重合时满足条件；
（2）①证明△OAQ≌△BAM（SAS），推出∠AOQ＝∠ABM＝60°，可得结论；
②如图，当点Q与B重合时，得到△ABM′，△ABM′是边长为4的等边三角形，当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的“关联点”M形成的区域是边长都为4的四边形OAM′B．
【解答】解：（1）①如图2中，
观察图形可知，点M2是线段PQ的“关联点”．
故答案为：M2；
②∵△AMB是等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，MA＝MB，
∴当点Q与B重合时，满足条件，此时Q（8，0）．
故答案为：（8，0）；
（2）①BM∥OA，理由如下：
如图3.1中，连接AB，
∵AO＝OB＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵MA＝MQ，∠MAQ＝60°，
∴△AQM是等边三角形，
∴AO＝AB，AQ＝AM，∠OAB＝∠QAM＝60°，
∴∠OAQ＝∠BAM，
∴△OAQ≌△BAM（SAS），
∴∠AOQ＝∠ABM＝60°，
∴∠OAB＝∠ABM＝60°，
∴BM∥OA；
②线段PQ的“关联点”M形成的区域是边长都为4的四边形OAM′B，周长为16．理由如下：
如图，当点Q与B重合时，得到△ABM′，△ABM′是边长为4的等边三角形，
观察图形可知，当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的“关联点”M形成的区域是边长都为4的四边形OAM′B，周长为16．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/11 13:46:34；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
甲的方法：
证明：作∠BAC的平分线交BC于点D．
乙的方法：
证明：作AE⊥BC于点E．
丙的方法：
证明：取BC中点F，连接AF．
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
甲的方法：
证明：作∠BAC的平分线交BC于点D．
乙的方法：
证明：作AE⊥BC于点E．
丙的方法：
证明：取BC中点F，连接AF．