2023-2024学年北京市汇文中学教育集团九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市汇文中学教育集团九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。

A．B．
C．D．
2．（2分）比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1的图象，则（ ）
A．开口方向相同B．开口大小相同
C．顶点坐标相同D．对称轴相同
3．（2分）指出下列事件中是必然事件的是（ ）
A．某人射击一次，中靶
B．抛掷两颗骰子，点数之和为16
C．设a，b为实数，如果a2+b2＝0，那么a＝b＝0
D．从分别写有号数1，2，3的3张标签中，任取一张，得到1号签
4．（2分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
5．（2分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞﹣
C．k＞﹣且k≠0D．k＜且k≠0
6．（2分）⊙O的半径为5cm，点A、B、C是直线a上的三点，OA、OB、OC的长度分别是5cm、4cm、7cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
7．（2分）如图△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，那么下列说法错误的是（ ）
A．BC平分∠ABEB．AB＝BD
C．AC∥BED．AC＝DE
8．（2分）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x
B．正方形的周长y与它的边长x
C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
二.填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 ．
10．（2分）如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线 ．
11．（2分）小兰画了一个函数y＝x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0的解是 ．
12．（2分）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则m2﹣5m+2023的值是 ．
13．（2分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a（b+1）+b＝ ．
14．（2分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为 ．
15．（2分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB＝，则BE＝ ．
16．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 ，线段BG的最大值是 ．
三.解答题（第17题6分，第18题5分，第19题6分，第20-25题每题5分，第26-28题每题7分）
17．（6分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
18．（5分）已知：关于x的方程x2+2x＝3﹣4k有两个不相等的实数根（其中k为实数）
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根．
19．（6分）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（1，4）．
（1）求b，c的值，并直接写出顶点坐标；
（2）在图中画出这个函数的图象；（不必列表）
（3）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
20．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
21．（5分）已知函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．
（1）求实数a的值；
（2）设一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标．
22．（5分）如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC
（1）AC的长等于 ．（结果保留根号）
（2）将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）画出将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，并写出A点对应点A1的坐标？
23．（5分）第24届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为 ；
（2）李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
24．（5分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
25．（5分）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.288（x﹣5）2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
26．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是 ，最大值是 ；
②在P1（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是 ；
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京市汇文中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1的图象，则（ ）
A．开口方向相同B．开口大小相同
C．顶点坐标相同D．对称轴相同
【分析】根据题意的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，
∴函数y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数y＝﹣x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1）；
故选项A、C错误，选项D正确；
∵二次函数y＝2x2中的a＝2，y＝﹣x2+1中的a＝﹣，
∴它们的开口大小不一样，故选项B错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2分）指出下列事件中是必然事件的是（ ）
A．某人射击一次，中靶
B．抛掷两颗骰子，点数之和为16
C．设a，b为实数，如果a2+b2＝0，那么a＝b＝0
D．从分别写有号数1，2，3的3张标签中，任取一张，得到1号签
【分析】根据必然事件的定义逐一进行分析，即可得到答案．
【解答】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误；
B、是不可能事件，不符合题意，选项错误；
C、是必然事件，符合题意，选项正确；
D、是随机事件，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查随机事件和非负数的性质，熟练掌握必然事件的定义是解题关键．
4．（2分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】连接OB，构建直角△OCB，根据垂径定理得：BC＝AB＝×8＝4，利用勾股定理可求OC的长．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝×8＝4，
∵OB＝5，
由勾股定理得：OC＝＝＝3cm；
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，明确垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中，常连接半径或作弦心距构建直角三角形，利用勾股定理求边长．
5．（2分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞﹣
C．k＞﹣且k≠0D．k＜且k≠0
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
6．（2分）⊙O的半径为5cm，点A、B、C是直线a上的三点，OA、OB、OC的长度分别是5cm、4cm、7cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【分析】根据直线与圆的位置关系，只要得出圆心与直线的距离与半径进行比较即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A、B、C是直线a上的三点，OA、OB、OC的长度分别是5cm、4cm、7cm，
∴点O到直线a的距离小于等于OB＝4cm，
∴点O到直线a的距离小于5cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是：相交．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系判定方法，比较出圆的半径与圆心到直线的距离，是解决问题的关键．
7．（2分）如图△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，那么下列说法错误的是（ ）
A．BC平分∠ABEB．AB＝BD
C．AC∥BED．AC＝DE
【分析】由△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，根据旋转的性质得到BD＝BA，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC，即可对选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，
∴BA的对应边为BD，BC的对应边为BE，
∴BD＝BA，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC，
所以A，B，D选项正确，C选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
8．（2分）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x
B．正方形的周长y与它的边长x
C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【解答】解：A．圆的面积y与它的半径x的关系式为y＝πx2，
∵π＞0，
∴该函数图象的开口应向上，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
B．∵正方形的周长y与它的边长x的关系式为y＝4x，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
C．设小丽从家骑车去学校的路程为s（s为常数），则y＝，
∴变量y与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；
D．设铁丝的长度为a（a为常数），则，
∴变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系式．
二.填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据点的坐标特点得出反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出k＜0．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，点B（2，y2）在第四象限，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k的值可以为﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
10．（2分）如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线 x＝3 ．
【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位得到的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2，
故所得到的新抛物线的对称轴是直线：x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
11．（2分）小兰画了一个函数y＝x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝1 ．
【分析】先利用交点式写出抛物线解析式得到a＝﹣3，b＝﹣4，则关于x的方程x2﹣ax+b＝0化为x2+3x﹣4＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵函数y＝x2+ax+b的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），
∴函数解析式为y＝（x+1）（x﹣4），
即y＝x2﹣3x﹣4，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴关于x的方程x2﹣ax+b＝0化为x2+3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12．（2分）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则m2﹣5m+2023的值是 2025 ．
【分析】根据m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，可以计算出m2﹣5m的值，然后将所求式子变形，再将m2﹣5m的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴m2﹣5m+2023
＝（m2﹣5m）+2023
＝2+2023
＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．
13．（2分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a（b+1）+b＝ 7 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得a+b＝4．ab＝3，
a（b+1）+b＝ab+a+b＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（2分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为 2m ．
【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540
整理得：x2﹣52x+100＝0
解得：x1＝50（舍去），x2＝2
故答案为：2
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
15．（2分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB＝，则BE＝ 1 ．
【分析】由等腰直角三角形ABC中，AB＝，由勾股定理可知AC＝AB＝1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE＝AC＝1．
【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，AB＝，
∴AC＝AB＝1，
∵等边△ABD和等边△DCE，
∴AD＝BD，CD＝ED，∠ADB＝∠CDE，
∴∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC＝1．
故答案为：1．
【点评】解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化．
16．（2分）如图，边长为2的正方形ABCD中，动点F在边CD上，射线BF上取一点G，使∠AGB＝30°，当动点F从点C出发向终点D运动时，点G的运动路径长为 π ，线段BG的最大值是 4 ．
【分析】以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，可知圆的半径为2，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，可知G点的运动路径为，根据弧长公式求解，BG的最大值为BH，根据圆的直角即可求解．
【解答】解：如图，以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，
则点G在⊙O上，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接BD并延长交⊙O于点M，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴点K、H、M在⊙O上，
∴∠BKA＝∠AHB＝∠AGB＝∠AMB＝30°，
∵F从点C运动到点D，则G点从K运动到M，
即G点的运动路径为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBK＝∠DBK＝45°，∠MOK＝90°，
∴的长为，
∵圆内最长的弦为直径，由图可知BG最大值为BH，
∵BH为⊙O的直径，即BH＝2r＝4，
∴BG最大值为4．
故答案为：π；4．
【点评】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题的关键．
三.解答题（第17题6分，第18题5分，第19题6分，第20-25题每题5分，第26-28题每题7分）
17．（6分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，
则x＝＝2，
即x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1），
∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
则（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（5分）已知：关于x的方程x2+2x＝3﹣4k有两个不相等的实数根（其中k为实数）
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）整理为一元二次方程的一般形式，只要让根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，求得k的取值即可；
（2）找到k的值，代入求解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x2+2x+4k﹣3＝0
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴4﹣4k＞0，
解得k＜1；
（2）∵k为非负整数，k＜1，
∴k＝0（4分）
此时方程为x2+2x＝3，
它的根为x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
19．（6分）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（1，4）．
（1）求b，c的值，并直接写出顶点坐标；
（2）在图中画出这个函数的图象；（不必列表）
（3）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，解方程组得到b、c的值，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用函数图象找出在0≤x≤3中y的最小值和最大值即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）如图，
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围为0≤y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k，a＞0，抛物线开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大；x＝h时，y取得最小值k；当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y取得最大值k．
20．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝ ．
∴∠PBA＝∠QPB（ 等弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据平行线的判定方法解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接PB，QB．
∵PA＝QB，
∴＝．
∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对的圆周角相等）．
∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．
故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）已知函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．
（1）求实数a的值；
（2）设一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标．
【分析】（1）把A（3，n）代入y＝（x＞0）可得n的值，进而可得A点坐标，再把A点坐标代入一次函数y＝ax﹣2可得a的值；
（2）首先求出一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交点B的坐标，再分两种情况①当C点在y轴的正半轴上；②当C点在y轴的负半轴上时进行计算即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象过A（3，n），
∴3n＝3，
n＝1，
∴A（3，1）
∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象过点A（3，1），
∴1＝3a﹣1，
解得a＝1；
（2）∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，
∴B（0，﹣2），
①当C点在y轴的正半轴上时，
设C（0，m），
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴×（m+2）×3＝2××2×3，
解得：m＝2，
②当C点在y轴的负半轴上时，
设C（0，h），
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴×（﹣2﹣h）×3＝2××2×3，
解得：h＝﹣6，
∴C（0，2）或（0，﹣6）．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，关键掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
22．（5分）如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC
（1）AC的长等于 ．（结果保留根号）
（2）将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 （1，2） ；
（3）画出将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，并写出A点对应点A1的坐标？
【分析】（1）利用勾股定理求解即可，
（2）利用平移的坐标变化特点求解，
（3）利用旋转的定义作图．
【解答】解：（1）AC＝＝，
故答案为：．
（2）A点的对应点A′的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）．
（3）如图，
A点对应点A1的坐标为：A1（3，0）．
【点评】本题主要考查了旋转及平移变换，解题的关键是旋转及平移变换的变化特征．
23．（5分）第24届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为 ；
（2）李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为，
故答案为：；
（2）把写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有4种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（5分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；
（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF，过点O作OH⊥GF于点H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．
【解答】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出HF的长是解题的关键．
25．（5分）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.288（x﹣5）2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1 ＞ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）根据表中数据得出“门高”，并找到顶点坐标，设出抛物线解析式的顶点式，再用待定系数法求出函数解析式；
（2）令y＝0，方别解方程求出方程的解，进而求出d1和d2，从而得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据可知，“门高”为7.2m，顶点坐标为（6，7.2），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+7.2，
把（2，4）代入解析式得：a（2﹣6）2+7.2＝4，
解得a＝﹣0.2，
∴拱门上的点满足的函数关系y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2；
（2）对于y＝﹣0.2（x﹣6）2+7.2，
令y＝0，则﹣0.2（x﹣6）2+7.2＝0，
解得x＝0或x＝12，
d1＝12﹣0＝12（m）；
对于y＝﹣0.288（x﹣5）2+7.2，
令y＝0，则﹣0.288（x﹣5）2+7.2＝0，
解得x＝0或x＝10
∴d2＝10﹣0＝10（m），
∴d1＞d2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且3m+3n≤﹣4，
∴≤﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可；
（2）延长BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据旋转的性质得出∠ACD＝∠ADC，由四边形内角和得出∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，求出∠DCE＝60°．可得出△CDE为等边三角形；
（3）作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，可根据AAS证明△ACP≌△DBQ，得出AP＝DQ．则PA﹣PB＝CD成立．
【解答】解：（1）补全图形如图1．
（2）△CDE为等边三角形，证明如下：
延长BC与DE交于F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，①
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC，②
∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③
∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，
即∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，
∴∠DCE＝60°．
∴△DCE是等边三角形；
（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，
证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，
由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE＝30°，
∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，
∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①
∵AG⊥BC，AC＝AB，
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC＝QB＝QC，
∴四边形PBQC是菱形，
∴PB＝QC，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，②
∵QB＝QC，
∴∠QBC＝∠QCB，
∴∠ABQ＝∠ACQ，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°＝∠PCQ，
∴∠ABQ﹣∠ABD＝∠ACQ﹣∠PCQ，
∴∠DBQ＝∠ACP，③
∴由①②③得△ACP≌△DBQ（AAS），
∴AP＝DQ．
∵CQ＝PB，
∴AP＝DQ＝DC+CQ＝DC+PB．
即PA﹣PB＝CD成立．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，四边形内角和，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，图形旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是 3 ，最大值是 ；
②在P1（，0），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是 P1 ；
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理得出结果；②由题意知P1；
（2）如图，可得OE1＝3，解得此时x＝，OE2＝7，解得x＝3，可求出范围；
（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．
【解答】解：（1）①由题意知：OA＝3，OB＝，则d的最小值是3，最大值是；
②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，
故答案为3，，P1；
（2）如图2中，
由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x＝，
同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝，
综上所述，满足条件的x的值为≤x≤3；
（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，
∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，
如图3﹣1中，当CK＝6时，作CM⊥HK于M．
则，解得：（舍去），
如图3﹣2中，当CH＝6时，同法可得a＝，b＝，
在两者中间时，a＝0，b＝5，观察图象可知：满足条件的b的值为≤b≤5．
【点评】本题属于圆综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点、两圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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