2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
2．（2分）下列抛物线不经过原点的是（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣2x2C．y＝x2﹣2D．y＝x2﹣2x
3．（2分）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）将二次函数y＝x2图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x﹣1）2+2
5．（2分）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+40x）B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x）D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
6．（2分）如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE．则的值为（ ）
A．B．C．D．2
9．（2分）下列函数中，如果x＞0，y的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝x2﹣1
10．（2分）如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2分）已知，那么的值为 ．
12．（4分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．
13．（2分）如图，要使△ABC∽△ACD需添加一个条件，这个条件为 ．
14．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
15．（4分）已知正比例函数y1＝kx与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点坐标是 ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
16．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+0.5如图所示，利用图象可得方程x2﹣2x+0.5＝0的近似解为 （精确到0.1）．
17．（2分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA+PC的最小值是
18．（2分）
已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中：①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于负半轴；③当x＝4时，y＞0；④方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间．其中正确的是 （选填序号）
三、解答题
19．（5分）解不等式组：
20．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ．
21．（5分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长．
22．（6分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
（3）点C（m，m）（其中m＞0）与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标．
23．（5分）如图，在△ABC和△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB＝3，DE＝2，BC＝6．求CD的长．
24．（5分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，并解决问题，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究，下面是小安的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）取几组y与x的对应值，填写在表格，其中m＝ ；
（3）如图，根据（2）中表里各组对应值（x，y），请把图象补充完整；
（4）若P（a，t），Q（b，t）是函数图象上的两点，则a+b＝ ．
25．（7分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
26．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（﹣1，yB），C（3，yc）在抛物线上，且yB＞yc，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
28．（6分）将平面直角坐标系xOy中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），称|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的最大值为点P和点Q的“联络量”，记作||P，Q||．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．
如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 ；
②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为 ；
（2）已知二次函数y＝4（x﹣h）2﹣3上的任一点K均满足将点A，B，C，D，E，K分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出h的取值范围 ．
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
2．（2分）下列抛物线不经过原点的是（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣2x2C．y＝x2﹣2D．y＝x2﹣2x
【分析】将x＝0分别代入各抛物线的解析式，如果求出y＝0，那么该抛物线经过原点，否则就不经过原点．
【解答】解：A、将x＝0代入，得y＝0，所以该抛物线经过原点，本选项不符合题意；
B、将x＝0代入，得y＝0，所以该抛物线经过原点，本选项不符合题意；
C、将x＝0代入，得y＝﹣2，所以该抛物线不经过原点，本选项符合题意；
D、将x＝0代入，得y＝0，所以该抛物线经过原点，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数的解析式．
3．（2分）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、D、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项A、D不符合题意；
B、因为＝，且γ＝γ，则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项B不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2分）将二次函数y＝x2图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（ ）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，
代入得：y＝（x+1）2﹣2．
∴所得图象的解析式为：y＝（x+1）2﹣2；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
5．（2分）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+40x）B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x）D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
【分析】根据降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，
根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x），
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
6．（2分）如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可解答．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C不正确，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
7．（2分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．（2分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE．则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠DAE＝∠BAC＝45°，＝＝，再证△BAD∽△CAE，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，＝＝，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2分）下列函数中，如果x＞0，y的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝C．y＝﹣x+1D．y＝x2﹣1
【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的增减性进而分析得出答案．
【解答】解：A、y＝﹣2x，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
B、y＝，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
C、y＝﹣x+1，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
D、y＝x2﹣1，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而增大，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
10．（2分）如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C．
【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；
②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系．故排除C．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2分）已知，那么的值为 3 ．
【分析】由＝，可设a＝2k，b＝3k（k≠0），代入计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k（k≠0），
∴＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的基本性质，比较简单，利用“设k法”求解更简便．
12．（4分）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 AF ．
【分析】根据作图可知，∠ABD＝90°，AB＝，设DB＝DF＝a，则AB＝2a，求出AF＝AD﹣DF＝，得即可得出结论．
【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，
设DB＝DF＝a，则AB＝2a，
∴根据勾股定理可得：AB＝，
∴AF＝AD﹣DF＝，
∴，
∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确．
故答案为：AF．
【点评】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
13．（2分）如图，要使△ABC∽△ACD需添加一个条件，这个条件为 ∠ACD＝∠ABC ．
【分析】根据已知条件和三角形内角和为180°的性质，可得∠ADC＝∠ACB，即可证明△ABC∽△ACD，即可解题．
【解答】证明：∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ACB，
∴△ABC∽△ACD（AAA），
∴添加一个条件为∠ACD＝∠ABC即可证明△ABC∽△ACD．
故答案可以为：∠ACD＝∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的证明，考查了三角形内角和为180°的性质，本题中添加条件∠ACD＝∠ABC并且证明△ABC∽△ACD是解题的关键．
14．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝x2﹣5x上，则y1 ＞ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝x2﹣5x＝24；
当x＝2时，y2＝x2﹣5x＝﹣6；
∵24＞﹣6，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）已知正比例函数y1＝kx与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点坐标是 （﹣2，﹣3） ，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞2 ．
【分析】首先根据待定系数法求出正比例函数与反比例函数的解析式，然后将两个函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求出两个函数图象的另一个交点坐标；观察函数的图象即可得出当y1＞y2时，x的取值范围．
【解答】解：将点（2，3）代入y1＝kx，得：k＝1.5，
∴正比例函数的解析式为：y1＝1.5x，
将点（2，3）代入，得：k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y2＝，
解方程组：，得：，，
∴正比例函数y1＝kx与反比例函数（k＞0）的另一个交点坐标是（﹣2，﹣3）；
在同一直角坐标系中，画出正比例函数y1＝1.5x的图象，反比例函数的图象，如图：
观察函数的图象得：当y1＞y2时，x的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞2．
故答案为：（﹣2，﹣3）；﹣2＜x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解正比例函数与反比例函数图象的性质是解答此题的关键，数形结合思想在解题中的应用是解答此题的难点．
16．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+0.5如图所示，利用图象可得方程x2﹣2x+0.5＝0的近似解为 1.7或0.3 （精确到0.1）．
【分析】抛物线y＝x2﹣2x+0.5与x轴的两个交点，就是方程x2﹣2x+0.5＝0的两个根．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+0.5与x轴的两个交点分别是（0.3，0）、（1.7，0），
又∵抛物线y＝x2﹣2x+0.5与x轴的两个交点，就是方程x2﹣2x+0.5＝0的两个根，
∴方程x2﹣2x+0.5＝0的两个近似根是1.7或0.3．
【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．
17．（2分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA+PC的最小值是 3．
【分析】点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P 为所求，即可求解．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
函数的对称轴为：x＝1，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P 为所求，
则PA+PC的最小值＝BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．（2分）
已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中：①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于负半轴；③当x＝4时，y＞0；④方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间．其中正确的是 ④ （选填序号）
【分析】先根据表中x＝0时，y＝1；x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝1时，y＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c的解析式，再根据二次函数的性质对各小题进行逐一分析．
【解答】解：∵x＝0时，y＝1；x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝1时，y＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c的解析式得，
，解得，
∴此二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴此抛物线开口向下，故①错误；
∵c＝1＞0，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故②错误；
∵当x＝4时，y＝﹣42+3×4+1＝﹣3＜0，故③错误；
令﹣x2+3x+1＝0，则x＝，
∴方程的正根为x＝＝，
∵3＜＜4，
∴3+3＜3+＜3+4，
∴3＜＜3.5，
∴方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故④正确．
故答案为④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意得出抛物线的解析式是解答此题的关键．
三、解答题
19．（5分）解不等式组：
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
20．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 （3，0）（1，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣1≤t＜8 ．
【分析】运用二次函数与x轴相交时，y＝0，与y轴相交时，x＝0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．
【解答】解：（1）它与x轴交点的坐标为：（1，0）（3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；
故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，﹣1）
（2）列表：
图象如图所示．
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，
∵y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
若x2﹣4x+3﹣t＝0有解，方程有两个根，则：b2﹣4ac＝16﹣4（3﹣t）≥0，解得：﹣1≤t
当x＝﹣1，代入x2﹣4x+3﹣t＝0，t＝8，
当x＝，代入x2﹣4x+3﹣t＝0，t＝，
∵x＞﹣1，∴t＜8，
∴t的取值范围是：﹣1≤t＜8，
故填：﹣1≤t＜8
【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，以及用描点法画二次函数图象和结合图象判定一元二次方程的解的情况．
21．（5分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AE∥DF，
∴＝，即＝，
解得：EF＝6，
∴BE＝BF+EF＝9+6＝15（cm），
∵DE∥AC，
∴＝，即＝，
解得：EC＝10，
∴FC＝EF+EC＝6+10＝16（cm），
∴EF＝6cm，FC＝16cm．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
22．（6分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
（3）点C（m，m）（其中m＞0）与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标．
【分析】（1）用待定系数法（将图象上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点C（m，m）代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9），
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x﹣6；
（2）解：∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣10）；
（3）解：∵点C（m，m）函数图象上，
∴m＝m2﹣4m﹣6，
解得：m1＝﹣1，m2＝6，
∵m＞0，
∴m1＝﹣1舍去，
∴m＝6，
∵点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线x＝2，
∴D（﹣2，6）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
23．（5分）如图，在△ABC和△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB＝3，DE＝2，BC＝6．求CD的长．
【分析】根据直角三角形的性质，可得∠A+∠ACB，∠ACB+∠ECD，再根据余角的性质，可得∠A＝∠ECD根据相似三角形的判定与性质，可得＝，根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°．
∵AC⊥CE，
∴∠ACB+∠ECD＝90°．
∴∠A＝∠ECD．
∵在△ABC和△CDE中，
∠A＝∠ECD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△CDE．
∴＝，
∵AB＝3，DE＝2，BC＝6，
∴CD＝1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了余角的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质．
24．（5分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，并解决问题，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究，下面是小安的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ；
（2）取几组y与x的对应值，填写在表格，其中m＝ 2 ；
（3）如图，根据（2）中表里各组对应值（x，y），请把图象补充完整；
（4）若P（a，t），Q（b，t）是函数图象上的两点，则a+b＝ ﹣4 ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论；
（2）把x＝0代入函数解析式求出函数值即可．
（3）利用描点法画出函数图象即可．
（4）根据轴对称的性质即可求得a+b＝﹣4．
【解答】解：（1）函数的自变量x的取值范围是x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2；
（2）由题意x＝0时，＝2，
∴m＝2，
故答案为：2．
（3）函数图象如图所示：
（4）观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴x＝﹣2，
∵P（a，t），Q（b，t）是函数图象上的两点，
∴P、Q关于直线x＝﹣2对称，
∴a+b＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型．
25．（7分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 不能 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（3）根据OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，可求得点F的坐标为（5.2，0.7），当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，
∴点F的坐标为（5.2，0.7），
当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
26．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点B（﹣1，yB），C（3，yc）在抛物线上，且yB＞yc，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【分析】（1）依据题意，利用配方法求解即可；
（2）依据题意，根据点B（﹣1，yB），C（3，yC）在抛物线上代入x值，根据题意计算两数差值即可得解；
（3）依据题意，分三种情况进行讨论，对称轴在1左侧，在1和3之间，在3右侧，然后求出m的值进行取舍即可得到答案．
【解答】解：（1）y＝x2+2mx+2m2﹣m
＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m
＝（x+m）2+m2﹣m，
∴顶点A（﹣m，m2﹣m）．
（2）∵点B（﹣1，yB），C（3，yC）在抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m上，
∴yB＝1﹣2m+2m2﹣m，yC＝9+6m+2m2﹣m，
又∵yB＞yC，
∴yB﹣yC＝﹣8m﹣8＞0，
解得：m＜﹣1．
∴m的取值范围为m＜﹣1．
（3）分三种情况讨论：
①当对称轴x＝﹣m≤1即m≥﹣1时，如图，
当x＝1时，y＝6，
∴6＝1+2m+2m2﹣m，
整理得，2m2+m﹣5＝0，
解得：m1＝，m2＝（舍去），
∴m＝．
②当1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1时，如图，
当x＝﹣m，y＝6，
∴6＝m2﹣m，
整理得，m2﹣m﹣6＝0，
解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），
∴m＝﹣2；
③当﹣m＞3即m＜﹣3时，如图，
当x＝3时，y＝6，
∴6＝9+6m+2m2﹣m，
整理得，2m2+5m+3＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣，（两个都舍去），
综上所述：m＝﹣2或m＝．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特点，二次函数的最值，熟练掌握配方法和公式法是解第（1）问的关键，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是本题的难点．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，
∴∠ABE＝45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝α
∴∠FBE＝∠FEB＝45°．
（3）DE＝AF．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，
由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、互余关系及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
28．（6分）将平面直角坐标系xOy中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），称|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的最大值为点P和点Q的“联络量”，记作||P，Q||．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．
如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．
（1）①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有 点A，点C ；
②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为 45 ；
（2）已知二次函数y＝4（x﹣h）2﹣3上的任一点K均满足将点A，B，C，D，E，K分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出h的取值范围 或 ．
【分析】（1）①根据“联络量”的定义分别计算点B与其它各点的“联络量”即可；
②先确定点M向右和向左的边界点，构建矩形M2GM1H，可得答案；
（2）先计算当y＝2时，，将y＝4x2﹣3平移可得y＝4（x﹣h）2﹣3，对应y＝2时与抛物线的交点与x＝h的距离是，根据点A，B，C，D，E，K分为两类的最小“类筹”大于4，分两种情况可得结论．
【解答】解：（1）①∵A（﹣3，0），B（﹣1，1），C（0，﹣1），D（2，2），E（1，﹣3），
∴||A，B||＝|﹣3+1|＝2，
||B，C||＝|﹣1﹣1|＝2，
||B，D||＝|﹣1﹣2|＝3，
||B，E||＝|﹣3﹣1|＝4，
∴与点B的“联络量”是2的有点A，点C；
故答案为：点A，点C；
②∵||D，E||＝|2+3|＝5，
当点M在点E的右边时，M1（6，﹣3），
当点M在点D的左边时，M2（﹣3，2），
如图1，过M1和M2作x轴和y轴的平行线得动点M所在区域为：矩形M2GM1H，
∴动点M所在区域的面积＝[2﹣（﹣3）]×[[6﹣（﹣3）]＝45；
故答案为：45；
（2）如图2，由平移可知：y＝4（x﹣h）2﹣3可以看用由y＝4x2﹣3向左或向右平移所得，
当y＝2时，4x2﹣3＝2，
∴，
当抛物线在点D的右侧时，，
∴，
当抛物线在点D的左侧时，，
∴，
综上，h的取值是或．
【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查了新定义﹣“联络量”，“代表量”，“类筹”，有难度，注意新定义的理解和运用，用方程，不等式和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
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