2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．﹣a一定是负数
C．+5是表示向东走5米
D．零既不是正数，也不是负数
2．（2分）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位）
D．0.0502（精确到0.0001）
3．（2分）下面计算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．3a2+2a3＝5a5
C．3+x＝3xD．﹣0.25ab+ba＝0
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c
5．（2分）下列四个有理数、0、1、﹣2，任取两个相乘，积最小为（ ）
A．B．0C．﹣1D．﹣2
6．（2分）下列语句中正确的是（ ）
A．单项式2mn2的次数是2
B．πr2的系数是1
C．是单项式
D．2x2y+3xy﹣4是三次三项式
7．（2分）若a2+2a﹣3＝0，则2a2+4a﹣3的值是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．3
8．（2分）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A．（x﹣8%）（x+10%）B．（x﹣8%+10%）
C．（1﹣8%+10%）xD．（1﹣8%）（1+10%）x
9．（2分）现定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，如：1※2＝22﹣1×2＝2，则（﹣1※2）※3等于（ ）
A．﹣9B．﹣6C．6D．9
10．（2分）四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（ ）
A．小沈B．小叶C．小李D．小王
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）据报道，截止2022年12月我国网民规模达10.67亿人．将10.67亿用科学记数法表示为 ．
12．（2分）请写出一个系数为﹣2的二次单项式 ．
13．（2分）计算：（﹣1）2007+（﹣0.125×8）2008＝ ．
14．（2分）的相反数是 ．
15．（2分）若关于x的多项式﹣2mx2﹣5x2+x2﹣2x+9中不含有x2项，则m＝ ．
16．（2分）数轴上点A表示﹣2，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ．
17．（2分）按如图所示的程序计算，若开始输入x＝﹣6，则最后输出的结果是 ．
18．（2分）若ab≠0，则++＝ ．
19．（2分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为﹣3，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为 ．
20．（2分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含a，b代数式表示）．
三、解答题（共60分）
21．（5分）如图，点A，B在数轴上，点C表示﹣3.5，点D表示+2．
（1）点A，B分别表示 ．
（2）在数轴上表示出点C和点D．
（3）用“＜”把点A，B，C，D表示的数连接起来．
22．（16分）计算：
（1）25.7+（﹣7.3）+7.3+13.6；
（2）；
（3）；
（4）．
23．（10分）化简：
（1）x﹣2y+y﹣3x；
（2）7x﹣（4x﹣3）﹣2x2+6．
24．（12分）先化简，再求值：
（1），其中x＝﹣3；
（2）3（4a2b﹣ab2）﹣2（﹣ab2+5a2b），其中（a+12）2+|b﹣1|＝0．
25．（5分）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+4，﹣3，+6，﹣8，+9，﹣2，﹣7，+1；
（1）请通过计算说明A站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
26．（5分）火车从北京出发时，车上有（5a﹣2b）人，途中经过武汉时下了一半人，但又上车若干人，这时车上人数有（10a﹣3b）人，问：中途上车多少人？当a＝250，b＝100时，中途上车多少人？
27．（7分）概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
（1）直接写出计算结果：3②＝ ；（﹣）③＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝ ；
（4）比较：（﹣2）⑩ （﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）
（5）计算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．
四、附加题（共10分）
28．（5分）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片，如图（1），分别记为Ⅰ，Ⅱ．Ⅲ．
（1）将卡片Ⅰ按如图（2）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并写出当a＝4.5，b＝4时，阴影部分的面积．
（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按如图（3）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并写出当a＝4.5，b＝4时，阴影部分的面积．
（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按如图（4）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，写出右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．
29．（5分）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
2023-2024学年北京市西城区育才学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．﹣a一定是负数
C．+5是表示向东走5米
D．零既不是正数，也不是负数
【分析】根据有理数和相反数的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、整数就是正整数，0和负整数，故A错误；
B、a可能为正数、负数、也可能是0，﹣a也可能是正数、负数、也可能是0，故B错误；
C、没有规定向哪个方向为正，故C错误；
D、零既不是正数也不是负数，故D正确．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的有关概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
2．（2分）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位）
D．0.0502（精确到0.0001）
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；
B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故B不符合题意；
C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故C符合题意；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解题的关键．
3．（2分）下面计算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．3a2+2a3＝5a5
C．3+x＝3xD．﹣0.25ab+ba＝0
【分析】先判断是否为同类项，若是同类项则按合并同类项的法则合并．
【解答】解：A、3x2﹣x2＝2x2≠3，故A错误；
B、3a2与2a3不可相加，故B错误；
C、3与x不可相加，故C错误；
D、﹣0.25ab+ba＝0，故D正确．
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项法则：系数相加减，字母与字母的指数不变．
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c
【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可．
【解答】解：∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，
∴c，d互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，实数与数轴，掌握相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
5．（2分）下列四个有理数、0、1、﹣2，任取两个相乘，积最小为（ ）
A．B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】根据有理数的乘法和有理数的大小比较列式算式计算即可得解．
【解答】解：乘积最小为：（﹣2）×1＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟记运算法则并列出算式是解题的关键．
6．（2分）下列语句中正确的是（ ）
A．单项式2mn2的次数是2
B．πr2的系数是1
C．是单项式
D．2x2y+3xy﹣4是三次三项式
【分析】根据单项式和多项式的相关定义解答即可．
【解答】解：A、单项式2mn2的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、πr2的系数是π，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、的分母含有字母，不是单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、2x2y+3xy﹣4是三次三项式，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了单项式和多项式．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义．单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
7．（2分）若a2+2a﹣3＝0，则2a2+4a﹣3的值是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．3
【分析】首先把2a2+4a﹣3化成2（a2+2a﹣3）+3，然后把a2+2a﹣3＝0代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：∵a2+2a﹣3＝0，
∴2a2+4a﹣3
＝2（a2+2a﹣3）+3
＝2×0+3
＝0+3
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
8．（2分）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A．（x﹣8%）（x+10%）B．（x﹣8%+10%）
C．（1﹣8%+10%）xD．（1﹣8%）（1+10%）x
【分析】首先利用减小率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润．
【解答】解：由题意得3月份的利润为（1﹣8%）x，4月份的利润为（1﹣8%）（1+10%）x．
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，正确理解增长率以及下降率的定义是关键．
9．（2分）现定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，如：1※2＝22﹣1×2＝2，则（﹣1※2）※3等于（ ）
A．﹣9B．﹣6C．6D．9
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：﹣1※2＝22﹣（﹣1）×2＝4+2＝6，
则6※3＝32﹣6×3＝9﹣18＝﹣9．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．（2分）四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（ ）
A．小沈B．小叶C．小李D．小王
【分析】从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015﹣1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置即可．
【解答】解：去掉第一个数，每6个数一循环，
（2015﹣1）÷6
＝2014÷6
＝335…4，
则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．
故选：C．
【点评】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．（2分）据报道，截止2022年12月我国网民规模达10.67亿人．将10.67亿用科学记数法表示为 1.067×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10.67亿＝1067000000＝1.067×109，
故答案为：1.067×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（2分）请写出一个系数为﹣2的二次单项式 ﹣2xy ．
【分析】根据二次单项式的定义，只要系数为﹣2，字母的指数和为2即可，据此即可写出单项式．
【解答】解：系数为﹣2的二次单项式为﹣2xy．
故答案为：﹣2xy（答案不唯一）．
【点评】本题考查了单项式的系数与次数，单项式的数字因数叫单项式的系数，单项式的所有字母指数和叫单项式的次数，熟知单项式的系数与次数的定义是解题关键．
13．（2分）计算：（﹣1）2007+（﹣0.125×8）2008＝ 0 ．
【分析】先算括号里面的，再算乘方，加减即可．
【解答】解：原式＝（﹣1）2007+（﹣1）2008
＝﹣1+1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
14．（2分）的相反数是 ．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数先化简，然后根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：因为，的相反数是，
所以的相反数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了绝对值，相反数，熟知这两个定义是解题的关键．
15．（2分）若关于x的多项式﹣2mx2﹣5x2+x2﹣2x+9中不含有x2项，则m＝ ﹣2 ．
【分析】直接利用多项式中不含有x2项，即x2的系数为零，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的多项式﹣2mx2﹣5x2+x2﹣2x+9中不含有x2项，
∴﹣2m﹣5+1＝0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了多项式，正确得出x2的系数为零是解题关键．
16．（2分）数轴上点A表示﹣2，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ﹣6或2 ．
【分析】显然，点B可以在A的左边或右边，即﹣2﹣4＝﹣6或﹣2+4＝2．
【解答】解：当B点在A的左边，则B表示的数为：﹣2﹣4＝﹣6；
若B点在A的右边，则B表示的数为﹣2+4＝2．
【点评】此题要考虑两种情况，熟练计算有理数的加减法．
17．（2分）按如图所示的程序计算，若开始输入x＝﹣6，则最后输出的结果是 ﹣2.5 ．
【分析】先根据程序框图列出算式[（﹣6）﹣（﹣2）+（﹣4）]÷2，计算其结果为﹣4，与﹣3比较，再执行计算，直到结果大于﹣3即可输出．
【解答】解：当x＝﹣6时，[（﹣6）﹣（﹣2）+（﹣4）]÷2＝（﹣6+2﹣4）÷2＝﹣8÷2＝﹣4＜﹣3；
当x＝﹣4时，[（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣4）]÷2＝（﹣4+2﹣4）÷2＝﹣6÷2＝﹣3；
当x＝﹣3时，[（﹣3）﹣（﹣2）+（﹣4）]÷2＝（﹣3+2﹣4）÷2＝﹣5÷2＝﹣2.5＞﹣3，即输出﹣2.5；
故答案为：﹣2.5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
18．（2分）若ab≠0，则++＝ 3或﹣1 ．
【分析】分为a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0四种情况化简计算即可．
【解答】解：当a＞0，b＞0时，则++＝1+1+1＝3；
当a＜0，b＜0时，则++＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1；
当a＞0，b＜0时，则++＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＞0时，则++＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故答案为3或﹣1．
【点评】本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键．
19．（2分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为﹣3，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为 0 ．
【分析】数轴上A、C两点间的单位长度是9cm，点C对齐刻度5.4cm，所以数轴的单位长度是0.6cm，AB的长度是1.8cm，除以0.6得AB在数轴上的单位长度．
【解答】解：∵5.4÷[6﹣（﹣3）]＝0.6（cm），
∴数轴的单位长度是0.6cm，
∵1.8÷0.6＝3，
∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，
∴点B所对应的数b为﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．
20．（2分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 a+8b （结果用含a，b代数式表示）．
【分析】方法1、用9个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分8个（a﹣b），即可得到拼出来的图形的总长度．
方法2、口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即可得出结论．
【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b
故答案为：a+8b．
方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形
∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，
而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，
即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，
故答案为a+8b．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
三、解答题（共60分）
21．（5分）如图，点A，B在数轴上，点C表示﹣3.5，点D表示+2．
（1）点A，B分别表示 ﹣1，3 ．
（2）在数轴上表示出点C和点D．
（3）用“＜”把点A，B，C，D表示的数连接起来．
【分析】（1）根据数轴的意义解答即可；
（2）根据数轴的意义解答即可；
（3）根据数轴上的点从左到右依次增大的特性比较即可．
【解答】解：（1）点A，B分别表示﹣1，3．
故答案为：﹣1，3；
（2）如图所示：
（3）由（2）得：﹣3.5＜﹣1＜2＜3．
【点评】本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，掌握数形结合是关键．
22．（16分）计算：
（1）25.7+（﹣7.3）+7.3+13.6；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】各个小题均按照混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，同级运算，谁在前面先算谁，进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝25.7﹣7.3+7.3+13.6
＝7.3﹣7.3+25.7+13.6
＝39.3；
（2）原式＝
＝﹣6﹣2
＝﹣8；
（3）原式＝
＝
＝；
（4）原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则．
23．（10分）化简：
（1）x﹣2y+y﹣3x；
（2）7x﹣（4x﹣3）﹣2x2+6．
【分析】（1）根据合并同类项法则即可化简；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）x﹣2y+y﹣3x
＝x﹣3x﹣2y+y
＝﹣2x﹣y；
（2）7x﹣（4x﹣3）﹣2x2+6
＝7x﹣4x+3﹣2x2+6
＝﹣2x2+3x+9．
【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握去括号和合并同类项法则是解题关键．
24．（12分）先化简，再求值：
（1），其中x＝﹣3；
（2）3（4a2b﹣ab2）﹣2（﹣ab2+5a2b），其中（a+12）2+|b﹣1|＝0．
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝2x3+4x﹣x2﹣x﹣3x2+2x3
＝4x3﹣x2+3x，
当x＝﹣3时，原式＝4×（﹣3）3﹣×（﹣3）2+3×（﹣3）＝﹣108﹣30﹣9＝﹣147；
（2）原式＝12a2b﹣3ab2+2ab2﹣10a2b
＝2a2b﹣ab2，
∵（a+12）2+|b﹣1|＝0，
∴a+12＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣12，b＝1，
∴原式＝2×（﹣12）2×1﹣（﹣12）×12＝2×144+12＝300．
【点评】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
25．（5分）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+4，﹣3，+6，﹣8，+9，﹣2，﹣7，+1；
（1）请通过计算说明A站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断A站的位置；
（2）计算所有站数绝对值的和，再乘以1.2即可．
【解答】解：（1）+4﹣3+6﹣8+9﹣2﹣7+1＝0．
∴A站是西单站．
（2）|+4|+|﹣3|+|+6|+|﹣8|+|+9|+|﹣2|+|﹣7|+|+1|＝40，
40×1.2＝48（千米）．
∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米．
【点评】本题主要考查了正数和负数，有理数的混合运算，理解绝对值、正负数的意义是解题的关键．
26．（5分）火车从北京出发时，车上有（5a﹣2b）人，途中经过武汉时下了一半人，但又上车若干人，这时车上人数有（10a﹣3b）人，问：中途上车多少人？当a＝250，b＝100时，中途上车多少人？
【分析】先根据中途下车人数＝最后车上人数﹣（车上原有人数﹣下车人数），列出算式，进行化简求值即可．
【解答】解：由题意得：
＝
＝10a﹣3b﹣2.5a+b
＝10a﹣2.5a﹣3b+b
＝7.5a﹣2b（人），
当a＝250，b＝100，中途上车的人数为：
7.5×250﹣2×100
＝1875﹣200
＝1675（人），
答：中途上车（7.5a﹣2b）人，当a＝250，b＝100时，中途上车1675人．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是理解题意，列出算式，熟练掌握合并同类项法则．
27．（7分）概念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
（1）直接写出计算结果：3②＝ 1 ；（﹣）③＝ ﹣3 ；
（2）下列关于除方说法中，错误的有 D ；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝ ；
（4）比较：（﹣2）⑩ ＞ （﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）
（5）计算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．
【分析】（1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值；
（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；
（3）根据题意，可以计算出所求式子的值；
（4）根据题意，可以分别计算出两个式子的值，然后比较大小即可；
（5）根据题意，可以求出所求式子的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，
故答案为：1，﹣3；
（2）任何非零数的圈2次方都等于1，故选项A正确，不符合题意；
任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意；
负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意；
圈n次方等于它本身的数是1，﹣1的圈偶数次方等于1，﹣1的圈奇数次方等于﹣1，故选项D错误，符合题意；
故选：D；
（3）有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a•••…•＝，
故答案为：；
（4）（﹣2）⑩＝（﹣）8＝，（﹣4）⑩＝（﹣）8＝，
∵＞，
∴（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩，
故答案为：＞；
（5）﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④
＝﹣1+196÷（﹣）×（﹣）4+48÷72
＝﹣1+196×（﹣2）×+48÷49
＝﹣1﹣+
＝﹣．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．
四、附加题（共10分）
28．（5分）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片，如图（1），分别记为Ⅰ，Ⅱ．Ⅲ．
（1）将卡片Ⅰ按如图（2）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并写出当a＝4.5，b＝4时，阴影部分的面积．
（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按如图（3）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，并写出当a＝4.5，b＝4时，阴影部分的面积．
（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按如图（4）所示的方式放置在长为a，宽为b的长方形中，写出右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．
【分析】（1）利用长方形与正方形的面积公式解答即可；
（2）利用长方形与正方形的面积公式解答即可；
（3）结合图形利用春风行动周长公式解答即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣32＝ab﹣9．
当a＝4.5，b＝4时，
阴影部分的面积＝4.5×4﹣9
＝18﹣9
＝9．
（2）阴影部分的面积＝ab﹣32﹣2（a﹣3）＝ab﹣2a﹣3．
当a＝4.5，b＝4时，
阴影部分的面积＝4.5×4﹣2×4.5﹣3
＝18﹣9﹣3
＝6．
（3）右上角阴影部分的周长＝2（a﹣3+b﹣1）＝2（a+b﹣4）＝2a+2b﹣8，
左下角阴影部分周长＝2（a﹣2﹣1+b﹣3）＝2a+2b﹣12，
∴右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差＝（2a+2b﹣8）﹣（2a+2b﹣12）
＝2a+2b﹣8﹣2a﹣2b+12
＝4．
答：右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差为4．
【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，正方形和长方形的性质，熟练掌握正方形，长方形的面积与周长公式是解题的关键．
29．（5分）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 1 ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【分析】（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8，
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5，
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
【点评】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
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