江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 的展开式中，的系数为， 已知，则， 下列给出的命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：强明 审核人：杨柳
（满分：150分 考试时间：120分钟）
2024.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 110B. 98C. 124D. 148
【答案】A
【解析】
【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.
【详解】.
故选：A.
2. 如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理进行求解.
【详解】因为，所以，
所以,
故选：B
3. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 20B. C. D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】化简后利用二项展开式的通项计算得到答案.
【详解】，其展开式通项为：，
取得到的系数为．
故选：B．
4. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.
【详解】∵，且空间向量满足，
∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.
故选：A.
5. 2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A. 720B. 960C. 1120D. 1440
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.
【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.
故选：B.
6. 若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质得到，再写出展开式的通项，即可求出常数项.
【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以，
则展开式的通项为（且），
令，解得，
所以，即展开式中常数项为.
故选：D
7. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A. 2018B. 2020
C. 2022D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用二项式定理化简，再确定被10除的余数，结合选项，即可求解.
【详解】因为
所以被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.
故选：A．
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A. 不存在点N满足B. 满足的点N的轨迹长度是
C. 满足平面的点N的轨迹长度是D. 满足的点M的轨迹长度是
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则有，，，，，
对于A选项，若，则，且，，
故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上，
也在底面内，故存在这样的点存在，A错误；
对于B选项，，，在底面内轨迹的长度是以A为圆心，
1为半径的圆周长的，故长度为，B错误；
对于C选项，，，设面的法向量
故有，解得，故，
平面， ，的轨迹方程为，
，在底面内轨迹的长度为，C错误；
对于D选项，，
，，的轨迹方程为，即，
，在底面内轨迹的长度为，D正确
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【解析】
【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
10. 下列给出的命题正确的是（ ）
A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则
C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】BC
【解析】
【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D.
【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误；
易知，则，故B正确；
若不能作为基底，
则存在，使得，
整理得，
又是空间一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确；
由空间四点共面推论可知：若，且时，
四点共面，所以D错误.
故选：BC
11. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C. 记第n行的第i个数为，则
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用图象及二项式系数计算可得A，利用组合数性质可判定B，利用二项式定理可判定C，利用组合数的计算可判定D.
【详解】由图象可知为第行第三个数，
所以，故A错误；
易知第n行的第i个数为，
则第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数分别为，
由组合数的性质知，故B错误；
易知，所以
，故C正确；
第20行中第8个数与第9个数之比为，故D正确.
故选：CD
【点睛】思路点睛：利用二项式系数与“杨辉三角”的关系结合组合数的性质与运算法则一一判定选项即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.
【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，
只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可.
【详解】易知向量在向量上的投影向量为
.
故答案为：
14. 在的展开式中，若的系数为，则______；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是______．
【答案】 ①. －1 ②.
【解析】
【分析】第一空，根据二项式展开式中的系数，列式求解，可得a的值；第二空，讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案.
【详解】由题意知在的展开式中，的系数为，
即，
若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意，
当时，所以项的系数均为正数，则需满足，
即得；
当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数，
则此时需满足，解得，
综合可得的取值范围是，
故答案为：-1；
【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，注意时，二项展开式中系数的正负情况，从而列式得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
【小问1详解】
因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
【小问2详解】
因为
所以与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
因为与互相垂直，
所以
或.
16. 如图，长方体中，，点为的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求的长，及二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）2；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接交于F，连接，证明，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求得相关点的坐标，根据空角位置关系的向量证明方法，可求得a的值，根据空间角的向量求法，即可求得二面角的余弦值；
（3）根据空间距离的向量求法，即可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
连接交于F，连接，
由于四边形为正方形，故O为的中点，
而点为的中点，故,
又平面，平面，故平面；
【小问2详解】
以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
则,
由于平面，故，
即，则，（负值舍），
故；
平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，
则，
由原图可知二面角为钝角，故其余弦值为；
【小问3详解】
由题意知，平面的法向量为，
故点到平面的距离为.
17. （1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【答案】；；
【解析】
【分析】（1）利用捆绑法计算即可；
（2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可；
（3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可.
【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法；
（2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况，
若是3,1,1,1分组，则有种，
若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法；
（3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出，
有种选法，再派去两地有2种方法，所以有72种派法；
若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生，
有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生，
此时派法有种，
②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种，
合计288种方法；
综上共有种派法.
18. 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数绝对值最大的项是第几项；
【答案】（1）
（2）
（3）第项和第项
【解析】
【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
（2）当为整数时为有理项，即可求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.
【小问1详解】
，，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
【小问2详解】
，，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
【小问3详解】
设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
19. 如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作
（1）求证：向量为平面OAB的法向量；
（2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
（3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）只需证明向量与垂直即可；
（2）根据平行四边形的面积公式可知，即可求出四边形的面积，根据新定义求出，再根据向量的模的计算即可得出结论；
（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，在根据，可以推出结论.
【小问1详解】
证明：因为
，
所以，即，
因为
，
所以，即，
又因，
所以向量为平面OAB的法向量；
【小问2详解】
解：，
则，
故，
由，，得，
所以，
所以；
【小问3详解】
解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
由（1）得向量为平面OAB的法向量，
则，
又，
．