甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题(含解析)

这是一份甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点的坐标为，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．分别以下列四组线段为三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，1，2
C．1，2，3D．9，16，25
4．下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．估计+1的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
6．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，在正方形网格中有A，B，C三个点，若建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，﹣2），则点C的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
8．在平面直角坐标系xOy中，函数与的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
9．下列命题中，是假命题的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等D．三角形的一个外角大于任何一个内角
10．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．已知点（－3，y1）、（4，y2）在函数 y＝2x＋1 图像上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
12．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离S（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km；②乙在途中停留了0.5h；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．的算术平方根为 ．
14．点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,则点P的坐标是 .
15．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象互相平行，且经过点A，则一次函数y=kx+b的表达式为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…分别在x轴上，点，，，…分别在直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解二元一次方程组
(1)
(2)；
19．已知的一个平方根是3，的立方根为．
(1)求与的值；
(2)求的立方根．
20．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．
21．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

22．如图，，分别是的角平分线，，求证：．

23．某中学为选拔一名选手参加我市“学宪法 讲宪法”主题演讲比赛，经研究，按表所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评．下图分别是是小明、小华在选拔赛中的得分表和各项权数分布表：
得分表
结合以上信息，回答下列问题：
（1）小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是 ，中位数是 ；
（2）评分时按统计表中各项权数考评．
①求出演讲技巧项目对应扇形的圆心角的大小．
②如此考评，小明和小华谁更优秀，派出哪位同学代表学校参加比赛呢？
24．在2019年端午节前夕，某商场投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，两种商品的成本价和销售价如下表所示：
（1）该商场购进两种商品各多少件？
（2）这批商品全部销售完后，该商场共获利多少元？
25．问题：探究函数y＝﹣|x|＋4的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝﹣|x|＋4的图象与性质进行了探究：
(1)在函数y＝﹣|x|＋4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值．
①表格中a的值为______；
②若（b，﹣8）与（12，﹣8）为该函数图象上不同的两点，则b＝______；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象；
(3)结合图象回答下列问题：
①函数的最大值为_____；
②写出该函数的一条性质______．
26．学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）求出y1、y2关于x的函数关系式？
（3）如果共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
27．如图，直线l的解析式为，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B坐标为．
(1)求出A点的坐标；
(2)在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)动点C从y轴上的点出发，以每秒的速度向负半轴运动，求出使得为轴对称图形时点C的坐标．（直接写答案即可）
28．小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角．小红还了解到三角形的内角和，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究．
尝试探究：
如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？
解：数量关系：．
理由：∵与分别为的两个外角，
∴．
∴．
∵三角形的内角和为，
∴．
∴．
小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．
(1)初步应用：
如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则=______；
(2)拓展提升：
请聪明的你帮小红解决下列问题．
如图3，在中，分别平分外角，小红很容易推导出与的数量关系为．
如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．)
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，，
根据无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，
故选B．
2．D
【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据象限特点，在第四象限内横坐标为正，纵坐标为负，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
【详解】∵点的坐标为，
∴点在第四象限，
故选：．
3．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：若a、b、c为三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此进行求解即可．
【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．
4．B
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义分析即可．
【详解】解：①的右边不是整式，不是一次函数；
②的右边不是整式，不是一次函数；；
③是一次函数；
④的自变量的次数是2，不是一次函数；
⑤是一次函数．
故选B．
5．C
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5．
故选C．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．
6．D
【分析】根据正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，可得k＜0，从而可以判断一次函数图像经过第二、三、四象限，由此求解即可．
【详解】解：∵正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+k与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴一次函数y＝kx+k的图像经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键在于能够求出k＜0．
7．D
【分析】根据点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，﹣2）可建立坐标系，进而问题可求解．
【详解】解：由点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，﹣2）可建立如下坐标系：
∴点C的坐标为（﹣2，﹣1）；
故选D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键是根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系．
8．C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为．
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查命题的真假，根据平行线的判定与性质、对顶角的性质、三角形的外角性质对选项逐一判断即可．
【详解】解：A.根据两直线平行的判定，A选项是真命题，不符合题意；
B.根据两直线平行的性质，B选项是真命题，不符合题意；
C.根据对顶角的性质，C选项是真命题，不符合题意；
D.根据三角形外角的性质“外角大于不相邻的任何一个内角”可知，D选项是假命题，符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】根据甲乙的平均数相同且大于丙丁的平均数，而乙的方差又最小，从而可得答案．
【详解】解：
即乙的方差最小，
乙的成绩最稳定，应派乙参赛，
故选：
【点睛】本题考查的是平均数，方差的含义，以及根据平均数与方差作决策，掌握方差越小数据波动性越小是解题的关键．
11．A
【分析】把自变量的值代入解析式求出函数值即可比较．
【详解】当x=-3时，y=2x＋1=-2×（-3）+1=7；
当x=4时，y=2x＋1=-2×4+1=-7；
故y1＞y2
故选A．
【点睛】此题主要考查一次函数的函数值大小比较，解题的关键是把自变量x的值代入解析式求解．
12．B
【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．
【详解】解：由图可获取的信息是：他们都骑行了20km；乙在途中停留了0.5h；相遇后，甲的速度＞乙的速度，所以甲比乙早0.5小时到达目的地，所以（1）（2）正确．
故选B．
【点睛】本题考查的是学生从图象中读取信息的数形结合能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
13．
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
14．(−4，3)
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【详解】由点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，得
|y|=3，|x|=4.
由P是第二象限的点，得
x=−4，y=3.
即点P的坐标是(−4，3)，
故答案为(−4，3).
【点睛】此题考查象限及点的坐标的有关性质，坐标确定位置，解题关键在于掌握其性质.
15．y=2x-4
【分析】根据两图象平行得出k=2，再将A代入一次函数表达式中求得b值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象互相平行，
∴k=2，即y=2x+b，
∵一次函数y=2x+b的图象经过点A，
∴将A（1，﹣2）代入y=2x+b得：﹣2=2+b，
∴b=﹣4，
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=2x﹣4，
故答案为：y=2x﹣4．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，熟知两平行直线的k相等是解答的关键．
16．
【分析】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质， 根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标．此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
【详解】解：根据题意得：
和的横坐标为1，
把代入得：，
∴的纵坐标为1，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴和的横坐标为，
同理：和的横坐标为，
和的横坐标为，
依此类推，
的横坐标为，
故答案为：．
17．(1)
(2)6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
（2）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法，即可求解；
（2）利用加减消元法，即可求解．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得
把代入①得：
∴方程组的解为：；
（2）解：，
①×2得：③，
③-②得：，解得：，
把代入①得：，
解得：
∴方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
19．(1)，
(2)的立方根是2
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：的一个平方根是3，
，
解得；
的立方根为，
，
解得；
（2）解：，，
，
的立方根是2．
20．50°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
考点：平行线的性质．
21．米
【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
答：为米．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
22．见解析
【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，结合题意可得，最后根据平行线的判定定理得到．
【详解】证明：∵分别是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义．掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题关键．
23．（1）85分，82.5分；（2）①144°；②小明更优秀，应派出小明代表学校参加比赛
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）①根据扇形统计图中的数据，可以得到演讲技巧项目的百分比，进而求出圆心角大小；②根据加权平均数的定义列式计算出小明、小华的成绩，从而得出答案．
【详解】解：（1）小明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85分，中位数是=82.5（分）；
（2）①1-5%-15%-40%=40%
36040%=144°
答：演讲技巧项目对应扇形的圆心角为144°；
②小明分数为：
小华分数为：
80.75>77.75
∴小明更优秀，应派出小明代表学校参加比赛
【点睛】本题考查了众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、加权平均数的定义．
24．（1）该商场购进甲种商品300件，乙种商品200件，（2）该商场共获利6600元.
【分析】（1）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据“投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件”得到两个方程，联立方程组解方程组即可.
（2）分别算出甲、乙的利润相加即可.
【详解】（1）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意，得，
解得.
所以该商场购进甲种商品300件，乙种商品200件.
（2）（元）.
所以该商场共获利6600元.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于读懂题意列出方程组.
25．(1)①0；②
(2)答案见解析
(3)①4，②关于y轴对称（答案不唯一）
【分析】（1）代入x的值即可求出y，把代入求值，即可得出答案；
（2）描点，连线即可；
（3）根据函数图像可知最大值．
【详解】（1）解：①把代入，得，
故答案为：0；
②把代入，得，
解得或12，
∵（b，﹣8）与（12，﹣8）为该函数图象上不同的两点，
∴，
故答案为：
（2）描点，画出函数图像如图：
（3）根据函数图像可知：
①函数最大值为4；
故答案为：4；
②由图像可知该函数的一条性质：函数y＝﹣|x|＋4的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
故答案为：函数y＝﹣|x|＋4的图象关于y轴对称（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数图像上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确画出函数图像是解题的关键．
26．（1）当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同；（2）y2＝40x+600；（3）如果共有50人参加时，选择乙家旅行社合算，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以得到当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同；
（2）根据函数图象中的数据可以求得y1、y2关于x的函数关系式；
（3）根据函数图象可以得到如果共有50人参加时，选择哪家旅行社合算．
【详解】解：（1）由图象可得，
当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同；
（2）设y1关于x的函数关系式是y1＝ax，
30a＝1800，得a＝60，
即y1关于x的函数关系式是y1＝60x；
设y2关于x的函数关系式是y2＝kx+b，
，得，
即y2关于x的函数关系式是y2＝40x+600；
（3）由图象可得，
当x＞50时，乙旅行社比较合算，
∴如果共有50人参加时，选择乙家旅行社合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用、方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
27．(1)
(2)存在，
(3)当C点坐标为、、或时，能使为轴对称图形
【分析】（1）将点B代入直线l的解析式得到b的值，即可得到直线l的解析式，把代入解析式求出x的值，即可得到答案；
（2）设，根据勾股定理得到，列出方程求出x的值，即可得到答案；
（3）分三种情况分别进行求解即看．
此题考查了一次函数、勾股定理、等腰三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：将点B代入直线l的解析式得：
，
∴直线l的解析式为：，
令得：，
解得，
∴．
（2）存在．
∵Q在第一象限的角平分线上，
设，
根据勾股定理：
，
∴，
解得，
故．
（3）能使为轴对称图形，
则为等腰三角形，
在中，，
当时， 点C的的坐标是或，
当时，
∴，
∴C，
当时，
设点C的坐标为，
则，
解得，
∴C，
综上所述：当C点坐标为、、或时，能使为轴对称图形．
28．(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，角平分线性质．
（1）根据题意利用外角和定理即可得到本题答案；
（2）根据题意延长线段、线段交于点，利用图3中所得结论及外角和内角和定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：在纸片中剪去，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：数量关系为：，理由如下：
如图，延长线段、线段交于点，
，
∵通过图3可知，
∴，即，
∵，
又∵，
∴，
∴．
甲
乙
丙
丁
平均数（）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
项目
选手
服装
普通话
主题
演讲技巧
小明
85分
70分
80分
85分
小华
90分
75分
75分
80分
商品 单价（元/件）
成本价
销售价
甲
24
36
乙
33
48
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
1
2
3
4
3
2
1
a
…