湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题（Word版附解析）

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试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的概念求解．
【详解】因，
所以.
故选：B．
2. 设，“复数是纯虚数”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件；B. 必要不充分条件；
C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件.
【答案】A
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
3. 函数的一个对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数对称中心计算求解.
【详解】令，则,
当k=1时，对称中心为：，结合选项，ABC错误，
故选：D.
4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可.
【详解】
中，
，即
故选：A
5. 中国航天英雄太空旅程时间一览表如下，则太空旅程时间数据的下四分位数为（ ）
A. 3B. 8C. 9D. 183
【答案】C
【解析】
【分析】将数据从小到大排列后利用下四分位数的概念求解即可.
【详解】将数据从小到大排列后得到21时23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位数为第三个数和第四个数的平均数，即9天.
故选：C
6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用不同放置方式体积相等，再根据棱柱的体积公式计算即可.
【详解】设当底面水平放置时，液面高为，
依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，
所以水的体积，
解得.
故选：B.
7. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函数的对称中心，根据题意，再利用“常数代换法”求解最小值即可.
【详解】因为，
所以，
∴fx关于点2,1对称，
则直线经过点2,1，
即，所以
所以.
当且仅当且，即时，等号成立.
故选：A
8. 已知函数，且恒成立，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，分或进行讨论，研究的最小值，使得 恒成立的范围；时，利用导函数研究的单调性与最值，求出的取值范围为．
【详解】当时，
若，则，要使恒成立，即，
若，则，要使恒成立，
即，，即
当时，
∴fx在0,+∞上单调递增，
要使恒成立，即
综上所述，的取值范围为，
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（ ）
（参考数值：随机变量服从正态分布，则，.）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正态分布的概念判断A，B；根据正态分布的性质及题中所给数据求解判断C，D．
【详解】由题意可设，
由题意可得：，所以A正确，B错误；
，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确.
故选：AD．
10. 已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ）
A. 无论翻折到何处，
B. 四面体的体积的最大值为
C. 当时，四面体的外接球的体积为
D. 当时，二面角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取线段的中点，连接，即可证明平面，从而判断A；当平面平面时，四面体的体积最大，由锥体的体积公式判断B；依题意可得两两互相垂直，将四面体补成正方体，求出正方体外接球的半径，即可判断C；将四面体补成棱长为的正方体，再确定二面角的平面角，即可判断D.
【详解】对于：取线段的中点，连接，
是等边三角形，在中，，
，
又平面，
平面，
又平面，即无论翻折到何处，，故A正确；
对于B：当平面平面时，四面体的体积最大，
又，平面平面，平面，所以平面，
又，，
所以，故B错误；
对于C：当时，，，
所以，，又，即两两互相垂直，且，
将四面体补成棱长为的正方体，则正方体的外接球即为四面体的外接球，
所以外接球半径，
所以外接球体积为，故C正确；
对于D：当时，，，
所以，，
将四面体补成棱长为的正方体，
取中点，中点，则，，所以，
又,平面，平面，
所以，所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
是二面角的平面角，
又平面，平面，所以，
所以，则当时，二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知定义域为的函数满足：①若，则；②对一切正实数，则（ ）
A.
B.
C. ，恒有成立
D. 存在正实数，使得成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB，由赋值法即可判断；对于C，由基本不等式结合函数新定义即可判断；对于D，取，利用函数性质得到，结合即可判断.
【详解】对于A，在中，令，可得，无法确定f1的值，A错；
对于B，令，代入条件②中，，即，B对；
对于C，当时，，且当时，，则，C对；
对于D，取，由于
，从而成等差数列，即成等差数列，
即
而公差，所以当n充分大时，可使，D对.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键在于得到以及，由此即可顺利得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若平面内不共线的向量两两夹角相等，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解.
【详解】因为平面内不共线平面向量两两的夹角相等，
即两两的夹角为，
.
故答案为：.
13. 从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘积及条件概率公式计算即可.
【详解】用表示事件"第次摸到红球"，表示事件"第次摸到红球"，.
.
故答案为：
14. 已知抛物线，从抛物线内一点出发平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，直线与轴交点横坐标为__________；的面积为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式结合抛物线的焦点弦的性质求解.
【详解】，
设切线与轴交于点，由抛物线的光学性质可知，
过焦点，即与轴交点横坐标为；
，直线的斜率为
直线的倾斜角为60°，且，
即，
.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式，辅助角公式进行化简即可求角B；
（2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由题设及正弦定理得，
即.
，
整理得，
即，
，
即.
【小问2详解】
由
得，
由余弦定理得
即
.
16. 已知函数，
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）讨论关于方程的解的个数.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；有极小值，无极大值
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调性，进而得极值；
（2）将方程解的个数转化为函数y=fx的图象与直线的交点个数，结合函数性质与趋势分析，作出函数图象，数形结合可得图象交点的个数.
【小问1详解】
函数的定义域为
令，解得
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以当时，有极小值，且极小值为.
综上所述，的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为；
有极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
令，解得；
当时，；当时，.
当时，，当时，，
结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示，
方程的解的个数为函数y=fx的图象与直线的交点个数.
由（1）可得当时，有最小值；
由图可得，当时，方程无解；
当或时，方程有1个解；
当时，方程有两个解.
17. 如图，已知四棱锥中，平面，且.

（1）证明：平面；
（2）已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一和法二利用线面平行的判定定理即可证明；法三利用面面平行的性质定理证明线面平行.
（2）法一和法二用定义法作出二面角的平面角和二面角的平面角，结合已知在直角三角形中求解；法三建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的平面角余弦值即可.
【小问1详解】
法一：如图1，延长和相交于点，连接，

，，则，
又，，
则平面平面平面.
法二：如图2，过作平行交于点，

，则，
，
，，，
，均平行于平面，
且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
法三：如图2，过作平行交于点，连接，
，且，
平行，，则，
平行于，，
..均平行于平面，且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
【小问2详解】
法一：平面平面平面平面，
如图3，过点作交于平面平面，

平面平面.
过点作交于，又，
且平面，平面，
为二面角的平面角，则，
设，则，
平面平面，，
又，，
中，，则，
过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角，
，
综上所述，二面角余弦值为.
法二：如图4，在平面内过点作的垂线于的延长线交于点

过作交于，连接，
平面平面平面平面，
平面平面平面，
平面，
平面，
又平面，即为二面角的平面角，
平面平面，，又，
中，，则，
，
，
中，边上的高，
设二面角的平面角为平面，
，
综上所述，二面角的余弦值为.
法三：如图5，平面在平面内过点引的垂线记为轴，
以所在直线为轴，轴如图建立空间直角坐标系，

平面平面，，又，
，
中，，则，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
，取，则
得，平面法向量为n1=0,0,1，
二面角的正弦值为，①，
设二面角的平面角为，平面的法向量为，
②
由①解得，代入②中，得，
综上所述，二面角的余弦值为.
18. 已知点是圆上的任意一点，，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；已知直线与相交于点，与相交于点，线段和线段的中点分别为.
（1）求曲线和曲线的方程；
（2）已知的面积为，求直线的斜率的值.
【答案】（1），
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据椭圆及双曲线的定义求解标准方程即可；
（2）先分别联立方程组计算面积再构造函数，求导函数根据导数正负判断函数的单调性证明直线斜率的解的唯一性.
【小问1详解】
依题意可得，
点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即
依题意可得，
点的轨迹是以为焦点，1为实轴长的双曲线，即
【小问2详解】
设
联立消去得，，由韦达定理可得，
联立.去得，，由韦达定理可得，
则线段的长度为，
点到直线的距离为，
，
即，
，
，
法一：
，
令在上单调递增，
，
，使得在上单调递减，
在上单调递增，即当时，
在上无解.
综上所述，直线的斜率的值为1.
法二：设，显然f1=0
，
令，
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，
在上恒成立，即在单调递增，
在上有且仅有一解，
综上所述，直线的斜率的值为1.
【点睛】关键点点睛：关键点是构造函数，求导函数根据导数正负判断函数单调性证明直线斜率的解的唯一性
19. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
（1）当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
（2）当时，求数列的通项公式；
（3）是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）8 （2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）递推求出数列的项；
（2）先化简再根据等差和等比数列求通项公式；
（3）结合累乘法求出数列通项公式分段得出通项.
【小问1详解】
将数列1，2进行第一次"型拓展"得到1，2，2；进行第二次"型拓展"得到；进行第三次"型拓展"得到1，2，2，4，2，8，4，8，2；所以第6项为8；
【小问2详解】
当时，
所以，又
从而是首项为，公比为3的等比数列，
即bn是以2为首项，1为公差的等差数列，
【小问3详解】
将数列进行型拓展后得到数列
显然，
且，
可以看作是数列的前项和，
即分别对应
取
当时，
即.
【点睛】关键点睛：关键在于对新定义的理解，围绕新定义寻找数列前后项的关系得到递推公式，然后利用构造法求出通项即可解得.
神舟五号
神舟六号
神舟七号
神舟九号
神舟十号
神舟十一号
神舟十二号
神舟十三号
神舟十四号
神舟十五分
神舟十六
神舟十七号
21时23分
5天
3天
13天
15天
33天
90天
183天
183天
187天
154天
187天