浙江省县城教研联盟2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 展开式中的系数为（ ）
A. 4B. -4C. 6D. -6
4. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ）
A. 10500B. 12500C. 31500D. 52500
5. 在中，分别为角的对边，若，，，则 （ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 已知实数构成公差为d的等差数列，若，，则d的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，若直线l交C于A，B两点，且，点O关于l的对称点为D，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，夹角为 ，且，，则（ ）
A. B.
C. D. 在的方向上的投影向量为
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的图象关于对称
B. 当时，在上的最大值为
C. 当为的一个零点时，的最小值为1
D. 当在上单调递减时，的最大值为1
11. 已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据5，6，7，7，8，9，则该组数据的方差是______．
13. 若，则______．
14. 三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
16. 将号码为1，2，3，44个小球等可能地放入号码为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰放1个小球．
（1）求1号球不在1号盒中的概率；
（2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证：．
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，．
（1）若在点处的切线方程为，求，的值；
（2）当时，存极小值点，求证：．
19. 记点绕原点按逆时针方向旋转角得到点变换为.已知：，将上所有的点按变换后得到的点的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）已知：过点，记与的公共点为，点为上的动点，过作的平行线，分别交直线于两点，若外接圆的半径恒为，求四边形面积的取值范围.