内蒙古巴彦淖尔市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 函数的部分图象大致为， 已知函数在上有且仅有2个零点， 已知命题， 下列函数为奇函数的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题即可直接得答案.
【详解】命题“，”的否定是，，
故选：B.
2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】通过画图即可直接判断.
【详解】因为函数与函数的图象有1个交点，
所以中有1个元素.
故选：B.
3. 已知是幂函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，则，
所以.
故选：D.
4. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：A
5. 若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，,，
则的最小值为．
故选：C
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式并结合函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】对A、D：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故A、D错误；
对B、C：当时，因为，，所以，故B错误，故C正确.
故选：C.
7. 根据有关资料，围棋的状态空间复杂度的上限约为，记.光在真空中的速度约为，记.下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．
【详解】，
所以.
故选：B．
8. 已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解.
【详解】当时，.
因为在上有且仅有2个零点，
所以，解得.
故选：C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可.
【详解】由，解得.
要满足题意，只需在的子集中确定即可，
显然和都是命题成立的充分不必要条件.
故选：AB.
10. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用判断A，根据奇函数的定义判断B，根据函数的定义域判断C，根据偶函数定义判断D.
【详解】对于A，的定义域为R，，故A是奇函数.
对于B，的定义域为，，故B是奇函数.
对于C，由解得，的定义域不关于原点对称，故C不是奇函数.
对于D，的定义域为R，，故D不是奇函数，是偶函数.
故选：AB
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用周期公式可得A正确；由正弦型函数的单调性可得B正确；利用整体代换法以及正弦函数性质可得C错误；由平移规则可知D正确.
【详解】的最小正周期为，A正确.
当时，，
在上单调递增，B正确.
，的图象不关于直线对称，C错误.
的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出大致图象，根据图象对选项进行分析，结合基本不等式求得正确答案.
【详解】画出的大致图象如图所示.
若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且.
令，得；令，得，
则，，
，
当且仅当时，等号成立，因为，所以.
所以BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD
【点睛】求解函数的零点、方程的根等问题，可以考虑利用图象法来进行求解.分段函数的性质的研究，可以通过函数的图象来进行.画出函数的图象后，可以结合函数的对称性、基本不等式等知识来对问题进行求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上
13. 已知，的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由均值不等式求解即可.
【详解】，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：1
14. 已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为______.
【答案】4
【解析】
【分析】由扇形的面积公式以及弧长公式即可直接得答案.
【详解】由，可得，所以.
从而可得.
故答案为：4.
15. 已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质求函数值即可.
【详解】因为是奇函数，所以.
因为为偶函数，所以.
取，得，
所以.
故答案为：0
16. 函数在一个周期内的图象如图所示，若，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据的图象确定的解析式，然后利用拆角的思想得到，最后利用两角差的余弦公式得到结果．
【详解】由题意可知：的图象经过点，则，
且点在单调递减区间内，则，，
可得，
又因为的图象经过点，则，
且点在单调递增区间内，则，，解得，.
因为的最小正周期，且，
解得，可得，
所以.
因为，则，
可得，则，
可得，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求A、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若，求：
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的意义先确定M，再根据并集的概念计算即可；
（2）利用集合间的基本关系可确定，计算即可.
【小问1详解】
由题意易知，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
解得.
所以的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.
【答案】（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由配凑法可得函数解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
在上单调递减.
证明如下：
令，则，
，
即，
所以在上单调递减.
19. 已知函数.
（1）求的最大值；
（2）求成立的的取值集合.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可；
（2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
.
的最大值为.
【小问2详解】
，即，
所以，，
解得，，
故成立的的取值集合为.
20. 已知（且）是偶函数.
（1）求的值；
（2）若在上的最大值比最小值大，求的值.
【答案】（1）0. （2）或.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解；
（2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解.
【小问1详解】
若为偶函数，则恒成立，
所以，即恒成立，解得.
故的值为0.
【小问2详解】
由（1）可得（且）.
当时，在上单调递增，，解得.
当时，在上单调递减，，解得.
故的值为或.
21. 如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为.
（1）求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系；
（2）每秒钟小球能往复振动多少次？
【答案】（1），.
（2）次.
【解析】
【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式；
（2）由频率与周期的关系即可直接得答案.
【小问1详解】
因为小球振动过程中最高点与最低点距离为，所以.
因为在时，小球位于最高点，所以，解得，.
因为，所以.
所以，.
【小问2详解】
小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次.
22. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由复合函数的单调性，即可得到结果；
（2）根据题意，将原式化为在上恒成立，且，则可得在上恒成立，然后分与讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
令，得函数，
易得在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的性质可得的单调递减区间为.
【小问2详解】
不等式在上恒成立，
转化为在上恒成立，
因为当时，，所以，
则在上恒成立，即在上恒成立.
当时，，
当时，因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故的取值范围为.