初中数学2.6 直角三角形导学案

这是一份初中数学2.6 直角三角形导学案，共9页。


课题
直角三角形（2）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握两个角互余的三角形是直角三角形的判定定理
2.掌握判定等腰直角三角形的方法
重点
两个角互余的三角形是直角三角形的判定定理
难点
直角三角形的判定定理的应用
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾旧知
直角三角形的性质定理：
1.直角三角形的两个锐角互余
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
4.有一个角为90°的三角形是直角三角形.
回忆思考
回忆过去学过的知识，为学习本课奠定基础
讲授新知
说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎么判定的？
逆定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形
根据“三角形三个内角的和等于180°”，当一个三角形中有两个角互余时，它的第三个角就等于90°，所以这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
在△ABC中，∠A+∠C=90°
则△ABC是直角三角形
听课
讲解直角三角形的判定定理
做一做
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1
（1）∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴这个三角形有两个角互余
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形
（2）∵∠A=36°，∠B=54°
∴∠C=90°，根据直角三角形的定义可知，可以判断△ABC是直角三角形
（3）∵∠1+∠2=90°，
又∠B=∠1
∴∠B+∠2=90°
∴∠ACB=90°，
则△ABC是直角三角形
做题
思考应用所学知识
巩固练习
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）∠A，∠B，∠C的度数比为5:3:2
（2）∠A=∠B=∠C
解：（1）∠A,∠B,∠C的度数比为5：3：2，
∵三角形内角和为180°
∴∠A=90°
∴△ABC是直角三角形
（2）设∠A=x，则x+x+2x=180°
∴x=45°
∠A=45°，∠C=90°
∴△ABC是直角三角形
练习
及时练习，巩固所学
例题讲解
例2 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB
求证：△ABC是直角三角形
证明∵CD是AB边上的中线（已知）
∴AD=BD=AB（三角形中线的定义）
∵CD=AB
∴CD=AD
∴∠A=∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）
同理，∠B=∠BCD
∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°（三角形内角和为180°）
∴∠A+∠B= ∠ACD+∠BCD=×180°=90°
∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）
听课
讲解课本例题
讲授新知
根据例2，可得出直角三角形的判定定理2：
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
几何语言：
如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB
则△ABC是直角三角形
听课
讲授直角三角形判定定理2
即时演练
已知△ABC中，∠B=2∠A，AB=2BC.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD.
∵DE⊥AB，AE=BE
∴AD=BD
∴∠2=∠A
∵∠ABC=2∠A
∴∠1=∠2
∵AB=2BC
∴BE=BC
∴△EDB≌△CDB（SAS）
∴∠C=∠3=Rt∠
∴△ABC是直角三角形.
练习
及时做练习巩固所学
讲解新知
在△ABC中，∠A=45°，AC=BC，判断△ABC的形状
解：∵AC=BC
∴∠A=∠B（等边对等角）
∴∠C=180°-（∠A+∠B）
=90°（三角形内角和为180°）
∴△ABC为等腰直角三角形.
等腰直角三角形的判定定理：
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.
几何语言：
在△ABC中，∠A=45°，AC=BC
则△ABC是等腰直角三角形
听课
讲解直角三角形判定定理2
即时演练
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解：∵若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，
又∵等腰三角形的两个底角相等，
∴该等腰三角形的底角是45°，
∴顶角等于90°，
∴该三角形一定是等腰直角三角形．
故选D．
做练习
讲解例题，明白题型
达标测评
1.三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
解：设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），根据题意得
∠1=∠3-∠2，
∴∠1+∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴2∠3=180°，
∴∠3=90°．
2.如图在矩形方格纸上（小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点为格点，则以格点为顶点，面积为1的等腰直角三角形的个数为（ ）
A．6
B．12
C．16
D．20
解：如图所示，面积为1的等腰直角三角形的个数为12个，故选B
3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ ）
A.B. C. D.
解：根据题意，设∠A,∠B,∠C为k、2k、3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，2k=60°，3k=90°，
∵AB=a，∴BC=½AB=½a，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴DB=BC=×=．
故选A．
4.已知：如图所示，△ABC中，∠C=2∠B.BC=2AC，求证：∠A=90°
解：作CD平分ACB交AB于D，取BC中点E，连结DE，则∠ACB=2∠1=2∠2
∵∠ACB=2∠B，∴∠1=∠B
∴DB=DC
∵BC=2EC，∠DEC=90°，BC=2AC
∴EC=AC
在△ACD和△ECD中，
AC=EC,∠2=∠1，CD=CD
∴△ACD≌△ECD（SAS）
∴∠A=∠DEC=90°
5.已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．
求证：MN=(AB-CD)．
证明：如图，作DE∥CB，
∵∠A=36°，∠B=54°，
∴△ADE是直角三角形，其中AE=AB-CD，∠ADE=90°，
取AE中点F，连DF，则FN=AN-AF=-=，
∴FN∥DM且FN=DM，
∴DMNF是平行四边形，
∴DF=MN，
∵DF是直角△ADE斜边的中线，
∴2DF=AE=AB-CD，
∴2MN=AB-CD，∴MN=(AB-CD)．
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
如图，直线AB//CD，直线AB.CD被直线EF所截，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，试判断EFG的形状，并写出完整的说理过程.
解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，又∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°，
∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°．
∴△EFG是直角三角形．
思考练习
通过猜想拓展学生思维
课堂小结
这节课我们学习了：
直角三角形的判定定理
1.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
等腰直角三角形的判定定理：
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.
回忆总结
带领学生回忆本课所学