初中数学浙教版（2024）八年级上册2.7 探索勾股定理导学案

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册2.7 探索勾股定理导学案，共11页。

课题
探索勾股定理（1）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
了解拼图验证勾股定理的方法；
掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长；
会利用勾股定理解决实际问题．
重点
探索并掌握勾股定理
难点
运用勾股定理解决简单的问题
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
观看下面几幅图片
C
B
A
华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案
你知道这三个正方形的面积分别是多少吗？
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会(ICM—2002) 的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.
观察听课
开门见山引入勾股定理
合作学习
（1）剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），把它们按图2放入一个边长为c的正方形中.这样我们就拼成了一个形如图2的图形.
（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边的长a，b和斜边长c，分别计算图中的阴影部分的面积与大、小正方形的面积.
（3）比较图中阴影部分和大、小正方形的面积，你发现了什么？
大正方形的面积:c²
小正方形面积:（b-a）²
阴影部分面积:4×ab
它们之间的关系是：
化简得：a2+b2=c2
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
动手操作，思考探究
通过实践活动得出直角三角形两条直角边和斜边的关系
讲授新课
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（揭示直角三角形三边之间的关系）
几何语言表示：
在Rt△ABC中
∵∠C=90°
∴a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
听课思考
讲解勾股定理
例题讲解
例1：已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c.
(1)若a=1, b=2, 求c;
(2)若a=15,c=17,求b;
解：（1）根据勾股定理，得c²=a²+b²=1²+2²=5
∵c>0，∴c=
（2）根据勾股定理，得b²=c²-a²=17²-5²=64
∵b>0，∴b=8
听课思考
讲解例题，明白题型
即时演练
1.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2nB．n+1 C．n2-1 D．n2+1
解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：==n²+1
2.在直角三角形中，已知其中两边分别为3和4，则第三边等于__________．
解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，
则第三边为==5，
当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，
则第三边为==．
做练习
及时训练巩固所学
例题讲解
例2 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm）
由勾股定理，得
AB²=AC²+BC²
=50²+120²=16900（mm²）
∵AB>0,
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离为130mm
听课
讲解课本例题
即时演练
铁路上A,B两站（视为直线上两点）相距25km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站______km处．
解：∵C,D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2．
设AE为x，则BE=25-x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=（25-x）2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．
做练习
及时训练巩固所学
达标测评
1.下列几组数据：（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中是勾股数组的有几组（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，
∴82+152=172，即8，15，17是一组勾股数；
（2）∵72+122=49+144=193，152=225，
∴72+122≠152，即7，12，15不是一组勾股数；
（3）∵122+152=144+225=369，202=400，
∴122+152≠202，即12，15，20不是一组勾股数；
（4）∵72+242=49+576=625，252=625，
∴72+242=252，即7，24，25是一组勾股数，
则其中勾股数有2组．
故选B．
2.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米.
解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：
OB=6m，
根据题意，得：OB′=6+2=8m．
又∵梯子的长度不变，
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．
则AA′=8-6=2m．
3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，将△ABP绕点A旋转到△ACP′的位置，若AP=3，则PP′=______．
解：依题意，得旋转角∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′= =3 ．
故本题答案为：3 ．
4.已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm.△ABC的面积是6cm2.
（1）求AB的长度；
（2）求△ABD的面积.
解：（1）∵∠C=90°
∴S△ABC=×BC×AC=6，
∴AC=4（cm）．
∵BC2+AC2=AB2，
∴AB===5（cm）．
（2）∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2．
∴∠ABD=90°．
∴S△ABD=×AB×BD=×5×12=30（cm2）．
5.如图所示，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为 8 cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A沿棱柱的表面爬到顶点C＇处吃食物. 那么它需要爬行的最短路程的长是多少？
解：(1)沿侧枝BB＇,将侧面A＇B和侧面B＇C展开如图1所示，连接AC＇.
∵AB=BC=5 cm，CC＇=8 cm,
由勾股定理，得= =
(2)沿底边A‘B’. 将底面A‘C’和侧面A‘B展开如图2所示，连接AC’.
∵AB=5cm,BC’=BB’+B’C’=8+5=13cm,
由勾股定理，得==（cm）
∴易知沿DC展开和DD＇展开的情况同上述两种情况一致.
又∵>=2
∴蚂蚁需要爬行的最短路轻的长为2cm
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AB=BC．
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中，
∠AEB=∠BFC
∠BAE=∠CBF
AB=BC
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．
思考练习
拓展思维
课堂小结
这节课我们学习了：
1.勾股定理的证明
2.勾股定理
3.勾股定理的应用
回忆总结
带领学生回忆本课所学