浙教版（2024）八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理导学案

这是一份浙教版（2024）八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理导学案，共10页。


课题
2.3等腰三角形的性质定理（2）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握等腰三角形三线合一的性质
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图
重点
理解并掌握等腰三角形三线合一的性质
难点
会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾旧知
你已经知道等腰三角形的哪些性质？
1.等腰三角形的轴对称性：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
几何语言：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
回忆思考
回忆学过的知识，引入课题
导入新课
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？
相等的线段:AB=AC,BD=CD
相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC
等腰三角形性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一
观察回答问题
通过提问引出等腰三角形的第二个性质
讲授新课
几何语言表述：
（1）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD.
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；
（3）∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD ,AD⊥CD；
证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．
已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
证明：∵AB=AC，
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180度，
∴∠ADB=90度，
即有AD⊥BC．
听课
讲解三线合一的几何表述
例题讲解
例3 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC
求证：AD⊥BC
证明：如图，延长AD，交BC于点E.
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
而AD=AD（公共边）
∠ADB=∠ADC（已知）
∴△ABD≌△ACD（ASA）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）
即AD⊥BC
听课思考
讲解例题，明白题型
即时演练
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的.否则梁就不是水平.
思考
及时练习，巩固所学
例题讲解
例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.
作法如图：
1.作线段BC=a；
2.作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
3.在直线MN上截取DA=h，连结AB，AC.
△ABC就是所求作的等腰三角形.
听课
讲解课本例题
即时演练
如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的中线等于a.
1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于BC
2.用任意半径,分别以BC点为半径画弧相交,连接交点与A点,此线为角A的角平分线.它与上一个圆弧相交于D点.
3.通过D点做一条直线使其垂直于直线AD
做练习
及时练习，巩固所学
达标测评
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ B ）
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
【解析】连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，
AB=AC
BO=CO
AO=AO
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．
2,.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．
3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架上∠B，∠C，∠BAD.∠CAD的度数.
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)
=40°(三角形内角和定理)
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
4.如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．
证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD；
②∵AF⊥CD，AC=AD，
∴CF=FD（三线合一性质）．
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为______．
【解析】∵∠ABC.∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9.
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是两腰上的高，且BD.CE相交于O．
（1）请你写出三类不同的正确的结论；
（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．
解：（1）三类不同的正确结论是：
①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；
（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．
其理由是：
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
即α+∠ACB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ β+2∠ACB=180°，
即β+2（90°-α）=180°，
∴ β=2α．
思考练习
通过猜想拓展学生思维
课堂小结
这节课我们学习了：
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一
回忆总结
带领学生回忆本课所学