初中浙教版（2024）2.4 等腰三角形的判定定理学案设计

这是一份初中浙教版（2024）2.4 等腰三角形的判定定理学案设计，共12页。


课题
等腰三角形的判定定理
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.会阐述、推证等腰三角形的判定定理.
2.掌握等边三角形的判定定理
重点
等腰三角形的判定定理的探索和应用.
难点
等腰三角形的判定与性质的区别.
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾旧知
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两腰相等.
2.等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中,等边对等角)
3.等腰三角形三线合一
顶角平分线、底边上的中线和底边上的高
回忆、听课
帮助学生在已掌握知识的基础上展开新课，降低认知负担
导入新课
如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB，你知道为什么吗？
学完本节课内容就可以知道原因了
思考回答问题
提问引导学生思考
讲授新课
等腰三角形判定定理1：
如果一个三角形的两条边相等，那么可判定这个三角形是等腰三角形.
你还知道其他判定方法吗？
听课
用定义引出等腰三角形的一个判定定理
合作学习
在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？
相等
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
动手操作
通过实践探究来发现等腰三角形的第二个判定定理
讲授新知
等腰三角形的判定定理2：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
简单地说，在同一个三角形中,等角对等边.
用几何语言表示为：
在△ABC中，
∵∠B=∠C ( 已知 )
∴AC=AB. （在一个三角形中，等角对等边
）
如图，下列推理正确吗？
∵∠1=∠2
∴BD=DC
（等角对等边）
∵∠1=∠2
∴DC=BC
（等角对等边）
错，因为都不是在同一个三角形中.
证明上述定理：
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C
求证：△ABC是等腰三角形
证明：如图，作△ABC的角平分线AD
在△ABD和△ACD中，
∵∠1=∠2（角平分线的定义）
∠B=∠C（已知）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
∴△ABC是等腰三角形
听课
具体讲授等腰三角形判定定理2
例题讲解
一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长，它就是河的宽度AB(即A,B之间的距离).这个方法正确吗？请说明理由.
解：这一方法正确.理由如下：
∵∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°
∴∠B=∠C
∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）
听课、思考
讲解例题
即时演练
如图,上午8时,一艘船从A处出发以15海里/时的速度向正北方向航行,9时45分到达B处.从A处测得灯塔C在北偏西26°方向,从B处测得灯塔C在北偏西52°方向,求B处到灯塔C的距离.
解：∵∠A=26° ∠C=52°-26°=26°
∴∠A=∠C
∴△ABC是一个等腰三角形
∴AB=BC
AB=15×1.75=25.85海里
思考练习
及时做题，巩固知识
归纳小结
听课做笔记
归纳总结等腰三角形的性质和判定定理
讲授新知
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形
证明：∵∠A=∠B=∠C=60°
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理2：
有一个角是60°的三角形是等边三角形
证明：（1）假如顶角是60度，那么下面两个角之和为120度，又因为是等腰三角形，所以两个角相等，等于120÷2=60度，所以三个角相等，所以是等边三角形.
（2）假如60度角是一个底角，因为是等腰三角形，所以另外一个底角也是60度，那么顶角等于180-60-60=60度.所以三个角相等，所以是等边三角形.
听课思考
讲授等边三角形的判定定理
即时演练
1.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=______度．
【解析】如图，∵等边三角形
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-120°=240°．
故答案为240．
2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E.F分别为BC.CD的中点，则∠EAF等于______度．
【解析】连接AC
由题意可知，△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC，所以∠EAC=30°；
同理可得，∠FAC=30°，所以∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°
思考
通过思考得出
达标测评
1.如图，两根钢绳一端固定在地面两个铁勾上，另一端固定在电线杆上（电线杆垂直于地面），已知两根钢绳的长度相等，则两个铁柱到电线杆底部的距离即BO与CO相等吗？为什么？
解：BO与CO相等．
理由：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AO⊥BC，
∴BO=CO，
因此两个铁柱到电线杆底部的距离即BO与CO相等．
2.如图，已知OC是∠AOB的平分线，DC∥OB，那么△DOC一定是______三角形（填按边分类的所属类型）．
解：∵DC∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
又OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠BOC=∠DCO，
∴△DOC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
3.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE=7，AE=5，求AC的长．
解：∵由CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，即∠ECD=∠EDC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴CE=DE，
又∵AE=5，DE=7，
∴AC=AE+EC=5+7=12；
答：AC的长是12．
4.下列命题是假命题的是（ ）
（A）有两个内角是70与40的三角形是等腰三角形
（B）一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
（C）有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
（D）有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形
【解析】A.∵三角形中，2个内角是70°与40°，
∴第三个内角为180°-（70°+40°）=70°，
∴三角形中有两个角相等，都为70°，
则此三角形为等腰三角形，本选项不合题意；
B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形，理由如下：
如图所示：AD为△ABC外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠DAC，
又AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形，本选项不合题意；
C.有2个内角不等的三角形不一定是等腰三角形，也可以为等腰三角形，
例如：在△ABC中，∠A=∠C=50°，∠B=80°，
其中∠A≠∠B，但是∠A=∠C，可得出BA=BC，
此时三角形ABC为等腰三角形，本选项符合题意；
D.有2个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形，理由为：
已知：∠ABD与∠ACE为△ABC的外角，且∠ABD=∠ACE，
求证：△ABC为等腰三角形，
证明：∵∠ABD+∠ABC=180°，∠ACE+∠ACB=180°，
且∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，本选项不合题意．
5.已知，如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，且AO=OC.
求证：OB=OD.
证明：∵AC∥BD，
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠1= ∠3，
∴∠2= ∠4，
∴△DOB是等腰三角形，
∴OB=OD.
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
△ABC中，D. E分别是AC.AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC
（1）上述四个条件，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；
（2）选择第（1）题中的一种情况证明△ABC是等腰三角形.
解：（1）①③、①④、②③、②④
（2）①④
证明：∵BO=CO ∴△OBC就是等腰三角形
∴∠OBC=∠OCB
又∵∠EBO=∠DCO
∴∠EBC=∠DCB ∴△ABC是等腰三角形
思考练习
通过猜想拓展学生思维
课堂小结
这节课我们学习了：
1.等腰三角形的判定定理
2.等边三角形的判定定理
回忆总结
带领学生回忆本课所学