2022年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷

这是一份2022年广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（3分）如图，直线a∥b，若∠A＝∠1，则∠A的度数为（ ）
A．28°B．31°C．35°D．42°
6．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：
则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3B．2，3C．2，2D．3，5
7．（3分）Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则sinB＝（ ）
A．B．C．D．1
8．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
9．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（ ）
A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．（3分）国家统计局4月15日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额为44500亿元，“44500亿元”用科学记数法表示为 元．
12．（3分）不等式组解集是 ．
13．（3分）已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，那么x12+x22＝ ．
14．（3分）如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，当AC绕点O旋转90°时，则刮雨刷AC扫过的面积为 cm2．
15．（3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．
有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共102分，要写出演算和推理过程）
16．（9分）如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM＝CM．
17．（9分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．求乙队单独完成这项工程需要多少天？
18．（10分）先化简，再求值：．其中a是不等式组的整数解．
19．（10分）从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB为底边的等腰△ABD，并使得△ABD的面积尽可能大．
（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
（2）若AB＝2，∠CAB＝30°，求裁出的△ABD的面积．
20．（12分）为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七（1）班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
21．（12分）如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若斜坡FA的坡比，求大树的高度．（结果保留整数）
22．（12分）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．
23．（14分）如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC，∠CDE是直角，连接BD，点F在AE上且∠FBD＝45°，AB＝2，CD＝1．
（1）求证：AF＝FE；
（2）若将等腰直角CDE绕点C旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求的值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE沿直线BC右移k个单位，其它条件不变，如图3，试求的值（用含k的代数式表示）
24．抛物线过A（0，t）、B（﹣2，0）、C（8，0），过A作x轴的平行线交抛物线于一点D．
（1）如图1，求AD的长度；
（2）如图2，若sin∠BAO＝，P为x轴上方抛物线上的一个动点，△PAC的面积取何值时，相应的P点有且只有两个；
（3）如图3，设抛物线顶点为Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求t取值范围．
广东省广州市铁一中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】P3：轴对称图形．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看左边一个正方形，右边一个正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，注意所有看到的线的都用实线表示．
4．（3分）一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【考点】AA：根的判别式．
【专题】11：计算题．
【分析】根据判别式的值得到△＝m2+4，利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，
所以方程有两个不相等实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．（3分）如图，直线a∥b，若∠A＝∠1，则∠A的度数为（ ）
A．28°B．31°C．35°D．42°
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】由直线a∥b，根据平行线的性质，即可求得∠DBC的度数，由三角形外角的性质，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠ACE＝70°，
∴∠DBC＝∠ACE＝70°，
又∵∠A＝∠1，
∴∠A＝∠DBC＝35°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
6．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：
则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．3，3B．2，3C．2，2D．3，5
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】27：图表型．
【分析】由于小红随机调查了15名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众数的定义可以确定众数在第二组．
【解答】解：∵小红随机调查了15名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为3．
∵2出现了5次，它的次数最多，
∴众数为2．
故选：B．
【点评】此题考查中位数、众数的求法：
①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
7．（3分）Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则sinB＝（ ）
A．B．C．D．1
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】1：常规题型．
【分析】设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，根据三角形内角和定理可得x+2x+3x＝180，解方程可得x的值，进而可得∠B的度数，然后可得答案．
【解答】解：设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴∠B＝60°，
∴sinB＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是利用方程思想确定∠B的度数．
8．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定．
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．
【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．
9．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝4，DF＝6，那么下列结论正确的是（ ）
A．BC：EF＝1：1B．BC：AB＝1：2C．AD：CF＝2：3D．BE：CF＝2：3
【考点】S4：平行线分线段成比例．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出＝＝，由比例的性质得出＝，即可得出结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴BC：AB＝1：2；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出＝是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC＝6，BC＝8，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，推出△ACD∽△EDF，根据相似三角形的性质得到，当OE⊥BC时，EF有最大值，根据勾股定理得到AB＝10，由垂径定理得到BF＝BC＝4，求得EF＝2，即可得到结论．
【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BC于F，
∵∠C＝90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EDF，
∴，
∵AE⊥BE，
∴A，B，E，C四点共圆，
设AB的中点为O，连接OE，
当OE⊥BC时，EF有最大值，
如图2，∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF，OE重合，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴OE＝5，∵OE⊥BC，
∴BF＝BC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2，
∴＝＝，
∴的最大值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．（3分）国家统计局4月15日发布的初步测算数据显示，一季度我国社会消费品零售总额为44500亿元，“44500亿元”用科学记数法表示为 4.45×1012 元．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：44500亿元＝4450000000000元，
4450000000000元用科学记数法表示为4.45×1012元．
故答案为：4.45×1012．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）不等式组解集是 ﹣3＜x＜2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：x＞﹣3，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜2，
故答案为：﹣3＜x＜2
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，那么x12+x22＝ ．
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得“x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣”，利用完全平方公式将x12+x22变形为﹣2x1•x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣．
∵x12+x22＝﹣2x1•x2，
∴x12+x22＝﹣2×（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是得出“x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
14．（3分）如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，当AC绕点O旋转90°时，则刮雨刷AC扫过的面积为 1000π cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】刮雨刷AC扫过的面积＝大扇形AOA′的面积﹣小扇形COC′的面积．
【解答】解：刮雨刷AC扫过的面积＝＝1000πcm2．
【点评】本题的关键是理解刮雨刷AC扫过的面积为大扇形的面积﹣小扇形的面积，然后依公式计算即可．
15．（3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．
有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是 ①③④⑤ ．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】首先证明BN＝2BE，推出∠ENB＝30°，再利用翻折不变性以及直角三角形、等边三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：在Rt△BEN中，∵BN＝AB＝2BE，
∴∠ENB＝30°，
∴∠ABN＝60°，故①正确，
∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°，
∴AM＝AB•tan30°＝，故②错误，
∵∠ABG＝90°，
∴AB⊥CG，故③正确，
∵∠MBG＝∠BMG＝60°，
∴△BGM是等边三角形，故④正确，
连接PE．∵BH＝BE＝1，∠MBH＝∠MBE，
∴E、H关于BM对称，
∴PE＝PH，
∴PH+PN＝PE+PN，
∴E、P、N共线时，PH+PN的值最小，最小值＝EN＝，故⑤正确，
故答案为①③④⑤
【点评】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共102分，要写出演算和推理过程）
16．（9分）如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM＝CM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用正方形的性质得出∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC，
在△ABM和△CBM中
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM＝MC．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．
17．（9分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．求乙队单独完成这项工程需要多少天？
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】设乙队单独完成这项工程需要x天，工作量＝工作时间×工作效率，完成工作，工作量就是1，根据此可列方程求解．
【解答】解：设乙队单独完成这项工程需要x天．
×20+（+）×24＝1
x＝90
经检验x＝90是原分式方程的解，
故乙队单独完成这项工程需要90天．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是知道工作量＝工作时间×工作效率，以工作量做为等量关系可列方程求解．
18．（10分）先化简，再求值：．其中a是不等式组的整数解．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】11：计算题．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后a是不等式组的整数解和原分式可以确定a的值，从而可以解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝a﹣1，
由不等式组，得0＜a≤3，
∵a是不等式组的整数解，a﹣1≠0且a﹣2≠0，
∴a＝3，
∴原式＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（10分）从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB为底边的等腰△ABD，并使得△ABD的面积尽可能大．
（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
（2）若AB＝2，∠CAB＝30°，求裁出的△ABD的面积．
【考点】KH：等腰三角形的性质；N3：作图—复杂作图．
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线，交AC于点D，进而得出△ABD；
（2）利用锐角三角形关系得出DE的长，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△ABD即为所求；
（2）∵MN垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，∵tanA＝，
∴DE＝1×tan30°＝，
所以裁出的△ABD的面积＝×2×＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．（12分）为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动．弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七（1）班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该校七（1）班共有 50 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 144 度；并补全条形统计图；
（2）A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数；C的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补全条形统计图；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：
（1）由题意可知总人数＝4÷8%＝50人；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角＝20÷50×100%×360°＝144°；
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50，144；
（2）列表如下：
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（12分）如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若斜坡FA的坡比，求大树的高度．（结果保留整数）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】首先过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，由FA的坡比i＝1：，OA＝6，可求得AN与ON的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC＝，又由在△AOM中，＝，可得x﹣3＝（3+）•，继而求得答案．
【解答】解：过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，
则四边形OMCN是矩形，
∵OA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，
∴ON＝AD＝3，AN＝AO•cs30°＝6×＝3，
设大树的高度为x，
∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，
∴tan48°＝≈1.11，
∴AC＝，
∴OM＝CN＝AN+AC＝3+，
∵在△AOM中，＝，
∴x﹣3＝（3+）•，
解得：x≈13．
答：树高BC约13米．
【点评】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
22．（12分）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）根据点D的坐标求出BD的长，再由点E是OB的中点可知S△DOE＝S△OBD，由此可得出结论；
（3）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得＝1，解得k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y＝2时，＝2，
解得x＝1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD＝3，OC＝2．
∵点E是OB的中点，
∴S△DOE＝S△OBD＝××3×2＝；
（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积＝4×2＝8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8＝3，
或×8＝5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2＝3，
解得OF＝2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2＝5，
解得OF＝4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y＝﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得．
此时，直线解析式为y＝﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y＝﹣2x+4或y＝﹣x+．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．
23．（14分）如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC，∠CDE是直角，连接BD，点F在AE上且∠FBD＝45°，AB＝2，CD＝1．
（1）求证：AF＝FE；
（2）若将等腰直角CDE绕点C旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求的值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE沿直线BC右移k个单位，其它条件不变，如图3，试求的值（用含k的代数式表示）
【考点】RB：几何变换综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（2）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△ABF≌△EGF，△ABF≌△EGF即可；
（3）由辅助线得到BD＝GD，再判断出△BC1D≌△GED，从而得出△ABF∽△EGF即可．
【解答】解：（1）证明：过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，CD＝ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC＝GE，∠DBC＝∠DGE，
∴AB＝BC＝EG，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF＝EF，
即AF＝FE．
（2）＝1．
如图2
过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG，
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
又∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，CD＝ED，
∴△BCD≌△GED，
∴BC＝GE，∠DBC＝∠DGE，
∴AB＝BC＝EG，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF≌△EGF，
∴AF＝EF，
即AF＝FE．
∴＝1．
（3）．
如图3，
过D作DG垂直于BD交BF的延长线于G，连结EG
∵∠FBD＝45°，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD＝GD，
∵∠BDC＝90°﹣∠BDE＝∠GDE，C1D＝ED，
∴△BC1D≌△GED，
∵BC1＝GE，∠ABF＝45°﹣∠DBC＝45°﹣∠DGE＝∠EGF，
∴△ABF∽△EGF，
∴，
∵AB＝2，BC1＝k+2，
＝．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的全等的判定和性质，相似三角形的性质和判定，作出辅助线，判断出三角形相似是解本题的关键．
24．抛物线过A（0，t）、B（﹣2，0）、C（8，0），过A作x轴的平行线交抛物线于一点D．
（1）如图1，求AD的长度；
（2）如图2，若sin∠BAO＝，P为x轴上方抛物线上的一个动点，△PAC的面积取何值时，相应的P点有且只有两个；
（3）如图3，设抛物线顶点为Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求t取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）如图1，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，再判断点A与点D为抛物线上的对称点，于是可得AD的长；
（2）在Rt△ABO中，利用正弦定义计算出AB，利用勾股定理计算出OA，从而得到A点坐标，接着利用待定系数法求出抛物线解析式和直线AC的解析式，过点P作PM∥AC，如图2，利用直线PM与抛物线只有唯一公共点和判别式的意义可计算出m，于是得到此时P点和Q点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△PAC＝S△PAQ+S△CPQ进行计算即可；
（3）如图3，作QH⊥BC于H，易得Q点的横坐标为3，△QBC为等腰三角形，当∠BQC＝60°时，△BCQ为等边三角形，再求出Q点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得到A点坐标，易得此时t的值；当∠BQC＝90°时，利用同样方法求t的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵B（﹣2，0）和C（8，0）为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵AD∥x轴，
∴点A与点D为抛物线上的对称点，
∴AD＝2×3＝6；
（2）在Rt△ABO中，∵sin∠BAO＝＝，
∴AB＝OB＝2，
∴OA＝＝＝4，则A（0，4），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a•2•（﹣8）＝4，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），即y＝﹣x2+x+4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（0，4），C（8，0）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
过点P作PM∥AC，如图2，当直线PM与抛物线只有唯一公共点P时，此时对于△APC的面积所取的值，P点有且只有两个与之对应（两P点在AC的两侧，到AC的距离相等），作PQ∥y轴交AC于Q，
设直线PM的解析式为y＝﹣x+m，
则方程﹣x2+x+4＝﹣x+m有两个相等的实数解，方程整理为x2﹣8x+4m﹣16＝0，△＝（﹣8）2﹣4×（4m﹣16）＝0，解得m＝8，解方程得x1＝x2＝4，此时P点坐标为（4，6），Q点坐标为（4，2）
S△PAC＝S△PAQ+S△CPQ＝×（6﹣2）×8＝16，
即△PAC的面积为16时，相应的P点有且只有两个；
（3）如图3，作QH⊥BC于H，
∵Q点为顶点，
∴Q点的横坐标为3，△QBC为等腰三角形，
当∠BQC＝60°时，△BCQ为等边三角形，则QH＝BC＝5，
则Q（3，5），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把Q（3，5）代入得a•5•（﹣5）＝5，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），即y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，则A（0，），此时t的值为，
当∠BQC＝90°时，△BCQ为等腰直角三角形，则QH＝BC＝5，
则Q（3，5），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
把Q（3，5）代入得a•5•（﹣5）＝5，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），即y＝﹣x2+x+，
当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，则A（0，），此时t的值为，
∴当60°≤∠BQC≤90°时，t取值范围为≤t≤．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会利用判别式判断直线与抛物线的交点个数；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式．每天使用零花钱
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